1、2017年四川省内江市中考真题数学 一、选择题 (共 12 小题，每小题 3分，满分 36分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.下面四个数中比 -5小的数是 ( ) A.1 B.0 C.-4 D.-6 解析：有理数大小比较的法则：正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可 . 根据有理数比较大小的方法，可得 -5 1， -5 0， -5 -4， -5 -6， 四个数中比 -5小的数是 -6. 答案： D. 2.PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5 m(1 m=0.000001m)的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，
2、它们还有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响 .2.3 m用科学记数法可表示为 ( ) A.23 10-5m B.2.3 10-5m C.2.3 10-6m D.0.23 10-7m 解析：绝对值小于 1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a 10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定 . 2.3 m=2.3 0.000001m=2.3 10-6m. 答案： C. 3.为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行调查，下列抽取老人的方法最合适的是 ( ) A.随机抽取 100位女性老人
3、B.随机抽取 100位男性老人 C.随机抽取公园内 100 位老人 D.在城市和乡镇各选 10个点，每个点任选 5位老人 解析：利用抽取的样本得当，能很好地反映总体的情况可对各选项进行判断 . 为了解某市老人的身体健康状况，需要抽取部分老人进行调查，在城市和乡镇各选 10个点，每个点任选 5位老人，这种抽取老人的方法最合适 . 答案： D. 4.如图，直线 m n，直角三角板 ABC的顶点 A在直线 m上，则的余角等于 ( ) A.19 B.38 C.42 D.52 解析：过 C作 CD直线 m， m n， CD m n， DCA= FAC=52， = DCB， ACB=90， =90 -52
4、 =38， 则 a的余角是 52 . 答案： D. 5.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析：由已知条件可知，主视图有 3列，每列小正方数形数目分别为 1， 2， 3；据此可画出图形： 答案： A. 6.下列图形：平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图形的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解 . 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形， 矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形， 菱形
5、既是中心对称图形，也是轴对称图形， 圆既是中心对称图形，也是轴对称图形， 等腰三角形不是中心对称图形，只是轴对称图形， 所以，只是轴对称图形的有 1个 . 答案： A. 7.某中学对该校九年级 45名女学生进行了一次立定跳远测试，成绩如表： 这些立定跳远成绩的中位数和众数分别是 ( ) A.9， 9 B.15， 9 C.190， 200 D.185， 200 解析：根据中位数和众数的定义即可解决问题 . 45名女学生的立定跳远测试成绩的中位数是最中间第 23个数据 190，众数是出现次数最多的数据 200. 答案： C. 8.下列计算正确的是 ( ) A.3x2y+5xy=8x3y2 B.(x
6、+y)2=x2+y2 C.(-2x)2 x=4x D. 1yxx y y x解析：根据整式的运算法则即可求出答案 . A、 3x2y 与 5xy不是同类项，故 A不正确； B、原式 =x2+2xy+y2，故 B不正确； C、原式 =4x2 x=4x，故 C正确； D、原式 1yxx y x y ，故 D不正确 . 答案： C. 9.端午节前夕，某超市用 1680元购进 A、 B两种商品共 60 件，其中 A型商品每件 24 元， B型商品每件 36元 .设购买 A型商品 x件、 B型商品 y件，依题意列方程组正确的是 ( ) A. 603 6 2 4 1 6 8 0xyxyB. 602 4 3
7、 6 1 6 8 0xyxyC. 3 6 2 4 6 01680xyxyD. 2 4 3 6 6 01680xyxy解析：根据 A、 B两种商品共 60件以及用 1680元购进 A、 B两种商品分别得出等式组成方程组即可 . 设购买 A型商品 x件、 B型商品 y件，依题意列方程组： 602 4 3 6 1 6 8 0xyxy. 答案： B. 10.不等式组 3 7 22 9 1xx 的非负整数解的个数是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析：先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解，即可得出答案 . 3 7 22 9 1xx ， 解不等式得： x 53， 解不等式得： x 5
8、， 不等式组的解集为 53 x 5， 不等式组的非负整数解为 0， 1， 2， 3， 4，共 5个 . 答案： B. 11.如图，在矩形 AOBC 中， O为坐标原点， OA、 OB分别在 x 轴、 y轴上，点 B 的坐标为 (0，3 3 )， ABO=30，将 ABC沿 AB所在直线对折后，点 C落在点 D处，则点 D 的坐标为 ( ) A.(32， 3 32) B.(2， 3 32) C.(3 32， 32) D.(32， 3 3 32) 解析：根据翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出对应线段长，进而得出 D点坐标 . 四边形 AOBC是矩形， ABO=30，点 B的坐标为 (0， 33
9、)， AC=OB=3 3 ， CAB=30， t a n 3 0 33333B C A C g， 将 ABC沿 AB 所在直线对折后，点 C落在点 D处， BAD=30， AD=33， 过点 D作 DM x轴于点 M， CAB= BAD=30， DAM=30， 321 32D M A D， 93 c o s 3 032AM ， 33292MO ， 点 D的坐标为 (32， 3 32). 答案： A. 12.如图，过点 A0(2， 0)作直线 l： 33yx的垂线，垂足为点 A1，过点 A1作 A1A2 x轴，垂足为点 A2，过点 A2作 A2A3 l，垂足为点 A3，这样依次下去，得到一组线段
10、： A0A1， A1A2，A2A3，则线段 A2016A2107的长为 ( ) A. 201532B. 201632C. 201732D. 201832解析：由 33yx，得 l的倾斜角为 30， 点 A坐标为 (2， 0)， OA=2， 13 32O A O A，213322O A O A，323 3 324O A O A，439832O A O A， 33222nnnO A O A . 20162016 232OA， A2016A2107的长 2 0 1 6 2 0 1 621 3 32 2 2 . 答案： B. 二、填空题 (共 4小题，每小题 5分，满分 20分 ) 13.分解因式：
11、3x2-18x+27= . 解析：先提取公因式 3，再根据完全平方公式进行二次分解 . 3x2-18x+27=3(x2-6x+9)=3(x-3)2. 答案： 3(x-3)2. 14.在函数 1 23yxx 中，自变量 x的取值范围是 . 解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出 x的范围 . 根据题意得： x-2 0且 x-3 0， 解得： x 2且 x 3. 答案： x 2且 x 3. 15.如图， AB 是 O的直径，弦 CD AB 于点 E， O的半径为 3 ，弦 CD 的长为 3cm，则图中阴影部分面积是 . 解析：根据垂径定理得到 CE=
12、32，根据勾股定理得到 OE= 32，利用扇形和三角形的面积公式，求得阴影部分面积 . 弦 CD AB 于点 E， CE=32， OC= 3 ， OE= 32， OCE=30， COD=120， 图中阴影部分面积 23 1 3 3 32120 30 436 2 g . 答案： 334. 16.如图，正方形 ABCD 中， BC=2，点 M是边 AB 的中点，连接 DM， DM 与 AC交于点 P，点 E在 DC上，点 F在 DP上，且 DFE=45 .若 PF= 56，则 CE= . 解析：如图，连接 EF. 四边形 ABCD是正方形， AB=BC=CD=DA=2， DAB=90， DCP=4
13、5， AM=BM=1， 在 Rt ADM中， 2 2 2 22 1 5D M A D A M ， AM CD， 12AM M PD C PD， DP=2 53， PF= 56， DF=DP=PF= 52， EDF= PDC， DFE= DCP， DEF DPC， DF DEDC DP， 22 2355DE ， 56DE， 5 762 6C E C D D E . 答案： 76. 三、解答题 (共 5小题，满分 44分 ) 17.计算： 222 0 1 7 01 1 6 031 ()3 2 2 0 1 72t a n . 解析：直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简求出
14、答案 . 答案：原式 1 1 2 4 1 833 03 1 1 8 . 18.如图， AD 平分 BAC， AD BD，垂足为点 D， DE AC. 求证： BDE是等腰三角形 . 解析：直接利用平行线的性质得出 1= 3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出 B= BDE，即可得出答案 . 答案：证明：如图所示： DE AC， 1= 3， AD平分 BAC， 1= 2， 2= 3， AD BD， 2+ B=90， 3+ BDE=90， B= BDE， BDE是等腰三角形 . 19.小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间 t(单位：分 )，将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图 (A
15、： 0 t 10， B： 10 t 20， C： 20 t 30， D： t 30)，根据图中信息，解答下列问题： (1)这项被调查的总人数是多少人？ 解析： (1)根据 B组的人数和所占的百分比，即可求出这次被调查的总人数，从而补全统计图 . 答案： (1)调查的总人数是： 19 38%=50(人 ). (2)试求表示 A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图 . 解析： (2)用 360乘以 A组所占的百分比，求出 A 组的扇形圆心角的度数，再用总人数减去A、 B、 D组的人数，求出 C组的人数 . 答案： (2)A组所占圆心角的度数是： 360 1550=108 . C组的人数有：
16、 50-15-19-4=12(人 ). 补全条形图如图所示： (3)如果小明想从 D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率 . 解析： (3)画出树状图，由概率公式即可得出答案 . 答案： (3)画树状图： 共有 12 个可能的结果，恰好选中甲的结果有 6个， P(恰好选中甲 ) 1612 2. 20.如图，某人为了测量小山顶上的塔 ED的高，他在山下的点 A处测得塔尖点 D的仰角为45，再沿 AC方向前进 60m到达山脚点 B，测得塔尖点 D的仰角为 60，塔底点 E的仰角为 30，求塔 ED 的高度 .(结果保留根号 )
17、解析：先求出 DBE=30， BDE=30，得出 BE=DE，然后设 EC=xm，则 BE=2xm， DE=2xm，DC=3xm， BC= 3 xm，然后根据 DAC=45，可得 AC=CD，列出方程求出 x的值，然后即可求出塔 DE 的高度 . 答案：由题知， DBC=60， EBC=30， DBE= DBC- EBC=60 -30 =30 . 又 BCD=90， BDC=90 - DBC=90 -60 =30 . DBE= BDE. BE=DE. 设 EC=xm，则 DE=BE=2EC=2xm， DC=EC+DE=x+2x=3xm， 22 2 223B C B E E C x x x ，
18、由题知， DAC=45， DCA=90， AB=20， ACD为等腰直角三角形， AC=DC. 3 x+60=3x， 解得： x=30+10 3 ， 2x=60+20 3 . 答：塔高约为 (60+20 3 )m. 21.已知 A(-4， 2)、 B(n， -4)两点是一次函数 y=kx+b和反比例函数 myx图象的两个交点 . (1)求一次函数和反比例函数的解析式 . 解析： (1)先把点 A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到 m=-8，再把点 B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出 n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式 . 答案： (1)把 A(-4， 2)代入 myx，得 m
19、=2 (-4)=-8， 所以反比例函数解析式为 8yx， 把 B(n， -4)代入 8yx，得 -4n=-8， 解得 n=2， 把 A(-4， 2)和 B(2， -4)代入 y=kx+b，得 4224kbkb ， 解得 12kb， 所以一次函数的解析式为 y=-x-2. (2)求 AOB的面积 . 解析： (2)先求出直线 y=-x-2与 x轴交点 C的坐标，然后利用 S AOB=S AOC+S BOC进行计算 . 答案： (2)y=-x-2中，令 y=0，则 x=-2， 即直线 y=-x-2与 x轴交于点 C(-2， 0)， 2 2 21122 46A O B A O C B O CS S
20、S V V V. (3)观察图象，直接写出不等式 0mkx bx的解集 . 解析： (3)观察函数图象得到当 x -4或 0 x 2 时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集 . 答案： (3)由图可得，不等式 0mkx bx的解集为： x -4或 0 x 2. 四、填空题 (共 4小题，每小题 6分，满分 24分 ) 22.若实数 x满足 x2-2x-1=0，则 2x3-7x2+4x-2017= . 解析：把 2x2分解成 x2与 x2相加，然后把所求代数式整理成用 x2-x表示的形式，然后代入数据计算求解即可 . 答案： x2-2x-1=0， x2-2x=1， 2x3-
21、7x2+4x-2017 =2x3-4x2-3x2+4x-2017， =2x(x2-2x)-3x2+4x-2017， =6x-3x2-2017， =-3(x2-2x)-2017 =-3-2017 =-2020. 答案： -2020. 23.如图，四边形 ABCD 中， AD BC， CM是 BCD的平分线，且 CM AB， M为垂足， AM=13AB.若四边形 ABCD的面积为 157，则四边形 AMCD的面积是 . 解析：延长 BA、 CD，交点为 E.依据题意可知 MB=ME.然后证明 EAD EBC.依据相似三角形的性质可求得 EAD 和 EBC的面积，最后依据 S 四边形 AMCD=12
22、S EBC-S EAD求解即可 . 如图所示：延长 BA、 CD，交点为 E. CM平分 BCD， CM AB， MB=ME. 又 AM=13AB， AE=13AB. AE=14BE. AD BC， EAD EBC. 116EADEBCSS VV. 1 5 1 51 6 7EBCA D B CSSV四 边 形. 167EBCS V. 1 6 1 17 1 6 7EADS V. 81 171 72 E B C E A DA M C DS S S VV四 边 形. 答案： 1. 24.设、是方程 (x+1)(x-4)=-5的两实数根，则 33. 解析：方程 (x+1)(x-4)=-5可化为 x2-
23、3x+1=0， 、是方程 (x+1)(x-4)=-5的两实数根， + =3， =1， ( + )2= 2+ 2+2， 2+ 2=7， ( 2+ 2)2= 4+ 4+2 2 2， 4+ 4=47， 3 3 4 4 47 . 答案： 47. 25.如图，已知直线 l1 l2， l1、 l2之间的距离为 8，点 P到直线 l1的距离为 6，点 Q到直线l2的距离为 4， PQ=4 30 ，在直线 l1上有一动点 A，直线 l2上有一动点 B，满足 AB l2，且PA+AB+BQ最小，此时 PA+BQ= . 解析：作 PE l1于 E交 l2于 F，在 PF 上截取 PC=8，连接 QC 交 l2于
24、B，作 BA l1于 A，此时 PA+AB+BQ最短 .作 QD PF于 D. 在 Rt PQD中， D=90， PQ=430， PD=18， 22 156D Q P Q P D ， CD=PD-PC=18-8=10， AB=PC=8， AB PC， 四边形 ABCP是平行四边形， PA=BC， 2 2 21 5 6 1 0 1 6P A B Q C B B Q Q C D Q C D . 答案： 16. 五、解答题 (共 3小题，满分 36分 ) 26.观察下列等式： 第一个等式：1 222 1 11 3 2 2 2 2 1 2 1a 第二个等式： 22 2 23222 1 12 1 2 1
25、1 3 2 2 2a 第三个等式： 33 2 34332 1 12 1 2 11 3 2 2 2a 第四个等式： 24 4 44 45112 1 3 2 2 2 2 1 2 1a 按上述规律，回答下列问题： (1)请写出第六个等式： a6= = . 解析： (1)根据已知 4 个等式可得 . 答案： (1)由题意知， 66 2 67662 1 12 1 2 11 3 2 2 2a . 故答案为： 626621 3 2 2 2 ；67112 1 2 1. (2)用含 n的代数式表示第 n个等式： an= = . 解析： (2)根据已知等式得出答案 . 答案： (2) 2 12 1 12 1 2
26、11 3 2 2 2nnnnnna . 故答案为： 221 3 2 2 2nnn ；1112 1 2 1nn. (3)a1+a2+a3+a4+a5+a6= (得出最简结果 )； 解析： (3)利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得 . 答案： (3)原式2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 71 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 71 1 1 42 1 2 1 4 3 . 故答案为： 1443. (4)计算： a1+a2+ +an. 解析： (4)根据已知等式规律
27、，列项相消求解可得 . 答案： (4)原式 12 2 3 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 1nn n n n . 27.如图，在 O中，直径 CD垂直于不过圆心 O的弦 AB，垂足为点 N，连接 AC，点 E在 AB上，且 AE=CE. (1)求证： AC2=AE AB. 解析： (1)证明 AEC ACB，列比例式可得结论 . 答案： (1)证明：如图 1，连接 BC， CD为 O的直径， AB CD， BC AC ， A= ABC， EC=AE， A= ACE， ABC= ACE， A= A， AEC
28、ACB， AC AEAB AC， AC2=AE AB. (2)过点 B作 O的切线交 EC的延长线于点 P，试判断 PB与 PE是否相等，并说明理由 . 解析： (2)如图 2，证明 PEB= COB= PBN，根据等角对等边可得： PB=PE. 答案： (2)PB=PE，理由是： 如图 2，连接 OB， PB为 O的切线， OB PB， OBP=90， PBN+ OBN=90， OBN+ COB=90， PBN= COB， PEB= A+ ACE=2 A， COB=2 A， PEB= COB， PEB= PBN， PB=PE. (3)设 O半径为 4，点 N为 OC中点，点 Q在 O上，求线
29、段 PQ 的最小值 . 解析： (3)如图 3，先确定线段 PQ 的最小值时 Q的位置：因为 OQ 为半径，是定值 4，则 PQ+OQ的值最小时， PQ 最小，当 P、 Q、 O三点共线时， PQ最小，先求 AE的长，从而得 PB的长，最后利用勾股定理求 OP的长，与半径的差就是 PQ的最小值 . 答案： (3)如图 3， N为 OC的中点， 1122O N O C O B， Rt OBN中， OBN=30， COB=60， OC=OB， OCB为等边三角形， Q为 O任意一点， 连接 PQ、 OQ， 因为 OQ 为半径，是定值 4， 则 PQ+OQ的值最小时， PQ最小， 当 P、 Q、 O
30、三点共线时， PQ 最小， Q为 OP与 O的交点时， PQ最小， A=12 COB=30， PEB=2 A=60， ABP=90 -30 =60， PBE是等边三角形， Rt OBN中， 224 2 2 3BN ， AB=2BN=4 3 ， 设 AE=x，则 CE=x， EN=2 3 -x， Rt CNE中， x2=22+(2 3 -x)2， x=43 3， 3 4843333B E P B ， Rt OPB中， 22 2 2844 2 1333O P P B O B ， 4 4 2 1 1 22 1 433PQ . 则线段 PQ的最小值是 4 21 123. 28.如图，在平面直角坐标系中
31、，抛物线 y=ax2+bx+c(a 0)与 y轴交与点 C(0， 3)，与 x轴交于 A、 B两点，点 B 坐标为 (4， 0)，抛物线的对称轴方程为 x=1. (1)求抛物线的解析式 . 解析： (1)把点 A、 B、 C的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数 a、 b、 c的解析式，通过解方程组求得它们的值 . 答案： (1)点 B坐标为 (4， 0)，抛物线的对称轴方程为 x=1. A(-2， 0)， 把点 A(-2， 0)、 B(4， 0)、点 C(0， 3)，分别代入 y=ax2+bx+c(a 0)，得 4 2 3 01 6 4 3 0abab ， 解得38343abc， 所以该抛
32、物线的解析式为： 2 33384y x x . (2)点 M从 A点出发，在线段 AB上以每秒 3个单位长度的速度向 B点运动，同时点 N从 B点出发，在线段 BC上以每秒 1个单位长度的速度向 C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设 MBN的面积为 S，点 M运动时间为 t，试求 S与 t的函数关系，并求 S的最大值 . 解析： (2)设运动时间为 t秒 .利用三角形的面积公式列出 S MBN与 t的函数关系式 29911 0 1 0M B NSt V .利用二次函数的图象性质进行解答 . 答案： (2)设运动时间为 t秒，则 AM=3t， BN=t. MB=6-3t. 由题
33、意得，点 C的坐标为 (0， 3). 在 Rt BOC中， 223 4 5BC . 如图 1，过点 N作 NH AB于点 H. NH CO， BHN BOC， HN BNOC BC，即35HN t， 35HN t. 221122 3 9 9 9 96 3 15 1 0 5 1 0 1 0M B NS M B H N t t t t t V gg， 当 PBQ存在时， 0 t 2， 当 t=1时， S PBQ最大 =910. 答：运动 1秒使 PBQ 的面积最大，最大面积是 910. (3)在点 M运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 MBN为直角三角形？若存在，求出 t 值；若不存在，请说明理由 . 解析： (3)根据余弦函数，可得关于 t的方程，解方程，可得答案 . 答案： (3)如图 2， 在 Rt OBC中， 4c o s5OBB BC . 设运动时间为 t秒，则 AM=3t， BN=t. MB=6-3t. 当 MNB=90时， 4c o s5BNB MB ，即 46 3 5t t ， 化简，得 17t=24，解得 t=2417， 当 BMN=90时， 6 3 4c o s5tB t ， 化简，得 19t=30，解得 3019t， 综上所述： t=2417或 t=3019时， MBN为直角三角形 .
