1、概率论与数理统计自考题分类模拟 10 及答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：18，分数：32.00)1.盒中有 5 白 3 红共 8 个球，依次从中不放回的抽取，每次抽到一个，令 X 表示抽到红球前的抽取次数，求 X 的分布列、数学期望和方差 （分数：1.50）_2.若 服从泊松分布且 P(=1)=P(=2)，问：E()与 D()各为多少? （分数：1.50）_3.设 X 的密度函数为 （分数：1.50）_设 的密度函数 （分数：3.50）(1).常数 C（分数：1.75）_(2).E()（分数：1.75）_4.若有 n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能
2、打开门上的锁，用它们去试门上的锁，设取到每只钥匙是等可能的若每把钥匙试开一次后除去，试求试开次数 X 的数学期望 （分数：1.50）_5.设随机变量 X 服从柯西分布，其概率密度 （分数：1.50）_6.设随机向量(，)联合概率密度 （分数：1.50）_7.已知连续型随机变量 的分布函数为 （分数：1.50）_8.已知 X 在区间0，2上服从均匀分布，试求 Y=sin(X)的期望 （分数：1.50）_9.设随机变量 X 的概率密度 （分数：1.50）_10.已知随机向量(X，Y)服从二维正态分布，E(X)=E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，Cov(X，Y)=12，求(X，Y)的概率
3、密度 （分数：1.50）_11.设随机变量 ， 相互独立，其概率密度分别为 （分数：1.50）_12.设二维随机变量(X，Y)服从圆域 G：x 2 +y 2 R 2 上的均匀分布，令 （分数：1.50）_13.已知随机变量 X 与 Y 的相关系数 ，求 X 1 =aX+b 与 X 2 =cY+d 的相关系数，其中 a，b，c，d 均为常数，且 a，c0 （分数：1.50）_14.设 XN(， 2 )，YN(， 2 )，且设 X，Y 相互独立，试求 Z 1 =aX+Y，Z 2 =X-Y 的相关系数(其中 ， 是不为零的常数) （分数：1.50）_设 ，其中 XN(1，3 2 )，YN(0，4 2
4、 )且 （分数：4.50）(1).求 Z 的数学期望 E(Z)及方差 D(Z)（分数：1.50）_(2).求 X 与 Z 的相关系数（分数：1.50）_(3).X 与 Z 是否相互独立?为什么?（分数：1.50）_15.已知随机向量 X 服从标准正态分布 N(0，1)，令 Y=X 3 ，求 X 与 Y 的相关系数 XY （分数：1.50）_16.(X，Y)的分布律为 （分数：1.50）_二、综合题(总题数：15，分数：44.00)二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：4.50）(1).关于 X 的边缘密度 f X (x)（分数：1.50）_(2).X 的期望 E(X)（分数：1.5
5、0）_(3).E(XY)（分数：1.50）_17.设连续型随机变量 X 在区间a，b以外的任何区间上取值的概率为 0，而在区间a，b内每一子区间内取值的概率与该子区间的长度成正比，证明：X 的均值 （分数：1.50）_18.设随机变量 X 1 、X 2 的概率密度分别如下： 求 （分数：1.50）_设(X，Y)的概率密度 （分数：6.00）(1).关于 X、Y 的边缘概率密度 f X (x)，f Y (y)（分数：1.50）_(2).E(X)，E(y)（分数：1.50）_(3).E(XY)（分数：1.50）_(4).E(X 2 +Y 2 )（分数：1.50）_设随机变量 X 的概率密度为 （分
6、数：4.50）(1).常数 c（分数：1.50）_(2).E(X)，D(X)（分数：1.50）_(3).P|X-E(X)|D(X)（分数：1.50）_19.设随机变量 X 的概率密度 （分数：1.50）_20.设随机变量 服从参数为 2 的泊松(poisson)分布，随机变量 服从区间(0，6)上均匀分布，且它们的相关系数 （分数：1.50）_设二维随机变量(X，Y)的分布为 （分数：3.99）(1).E(X)，E(Y)（分数：1.33）_(2).D(X)，D(Y)（分数：1.33）_(3). XY （分数：1.33）_21.证明：若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 D(X-Y)=D(X)+
7、D(Y) （分数：1.50）_22.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的概率密度分别如下： （分数：1.50）_设随机变量 X 1 、X 2 ，X n 相互独立，且服从同一分布，期望为 ，方差为 2 ，令 （分数：3.00）(1). （分数：1.50）_(2). （分数：1.50）_设二维随机变量(X，Y)的分布律为 （分数：2.50）(1).(X，Y)分别关于 X，Y 的边缘分布律（分数：1.25）_(2).D(X)，D(Y)，Cov(X，Y)（分数：1.25）_23.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为： （分数：3.00）_设二维随机变量(X，Y)的概率密度 （分数：4.50）(1)
8、.E(X)，E(Y)（分数：1.50）_(2).D(X)，D(Y)（分数：1.50）_(3).Cov(X，Y)（分数：1.50）_24.设 =aX+b，=cY+d，其中 a0，c0，证明：随机变量 与 的相关系数 (，) 等于随机变量 X 与 Y 的相关系数 (X，Y) （分数：3.00）_三、应用题(总题数：8，分数：24.00)25.甲、乙两台自动机床，生产同一种标准件，生产 1000 只所出的次品数分别用 X、Y 来表示，经过一段时间的考察，X、Y 的分布分别为： X 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 Y 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 问哪一台加工的产
9、品质量好些? （分数：1.50）_26.游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光，电梯于每个整点的第 5 分钟，第 25 分钟和第 55 分钟，从底层起行，一游客在早八点的第 X 分钟到达底层候梯处，且 X 在0，60上服从均匀分布，求该游客等候时间 Y 的数学期望 （分数：2.50）_27.设国际市场上对某种出口商品每年的需求量 X(单位：吨)是随机变量，它服从区间2000，4000上的均匀分布，每销售一吨商品，可为国家赚取外汇 3 万元；若销售不出，则每吨商品需贮存费 1 万元问应组织多少货源，才能使国家收益最大 （分数：2.50）_28.某射手有 3 发子弹，射一次命中的概率为 （分数：7.5
10、0）_29.某车间生产的圆盘直径服从均匀分布 Ua，b，求圆盘的面积的期望 （分数：2.50）_30.设市场上每年对某厂生产的 18 寸彩色电视机的需求量是随机变量 X(单位：万台)，它均匀分布于10，20每出售一万台电视机，厂方获得利润 50 万元，但如果因销售不出而积压在仓库里，则每一万台需支付保养及其他各种损失费用 10 万元，问 18 寸彩色电视机的年产量应定为多少台，才能使厂方的收益期望最大? （分数：2.50）_31.一台设备由三大部件构成，在设备运转中部件需要调整的概率分别为 0.1，0.2，0.3假设备部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，试求 X 的期望与方差
11、 （分数：2.50）_32.设随机变量 服从参数为 2 的泊松(poisson)分布，随机变量 服从区间(0，6)上均匀分布，且它们的相关系数 （分数：2.50）_概率论与数理统计自考题分类模拟 10 答案解析(总分：99.99，做题时间：90 分钟)一、计算题(总题数：18，分数：32.00)1.盒中有 5 白 3 红共 8 个球，依次从中不放回的抽取，每次抽到一个，令 X 表示抽到红球前的抽取次数，求 X 的分布列、数学期望和方差 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解：X 的所有可能值为 0，1，2，3，4，5，并且 所以 X 的分布列为 2.若 服从泊松分布且 P(=1)=P(=2
12、)，问：E()与 D()各为多少? （分数：1.50）_正确答案：()解析：解：因为 ，k=0，1，2， 由于 P(=1)=P(=2)，故 3.设 X 的密度函数为 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解： 设 的密度函数 （分数：3.50）(1).常数 C（分数：1.75）_正确答案：()解析：解：因为 故(2).E()（分数：1.75）_正确答案：()解析：解：由第一小题 4.若有 n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试门上的锁，设取到每只钥匙是等可能的若每把钥匙试开一次后除去，试求试开次数 X 的数学期望 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解：由题意
13、知 X 的所有可能取值为：1，2，n且有 干暑 X 的分布律为： 因此 5.设随机变量 X 服从柯西分布，其概率密度 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解：由于 6.设随机向量(，)联合概率密度 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解：7.已知连续型随机变量 的分布函数为 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解：要求 E()和 D()，由公式， ，其中 p(x)为 的密度函数，故只需求出 P(x)即可求 D()可用公式 D()=E( 2 )-(E() 2 因为分布函数 所以 从而 故 8.已知 X 在区间0，2上服从均匀分布，试求 Y=sin(X)的期望 （分数：1.50）_正确
14、答案：()解析：解：由于 X 在0，2上服从均匀分布，所以 X 的概率密度 从而有 9.设随机变量 X 的概率密度 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解：由于 f(x)为偶函数，xf(x)为奇函数，所以有 10.已知随机向量(X，Y)服从二维正态分布，E(X)=E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，Cov(X，Y)=12，求(X，Y)的概率密度 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解：由于(X，Y)服从二维正态分布，则(X，Y)的概率密度 关于 X、Y 的边缘概率密度分别为： 由服从正态分布的随机变量的期望、方差的值可得： 1 =E(X)=0， 2 =E(Y)=0， 又 Co
15、v(X，Y)= 1 2 =20=12 所以有 =0.6 从而二维随机变量(X，Y )的概率密度 11.设随机变量 ， 相互独立，其概率密度分别为 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解： 服从指数分布 服从正态分布E()=0，D()= 2 12.设二维随机变量(X，Y)服从圆域 G：x 2 +y 2 R 2 上的均匀分布，令 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解：由于(X，Y)服从圆域 G：x 2 +y 2 R 2 上的均匀分布，所以(XY)的概率密度 从而有 13.已知随机变量 X 与 Y 的相关系数 ，求 X 1 =aX+b 与 X 2 =cY+d 的相关系数，其中 a，b，c，
16、d 均为常数，且 a，c0 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解：Cov(X 1 ，X 2 )=Cov(aX+b，cY+d)=acCov(X，Y) D(X 1 )=D(aX+b)=a 2 D(X) D(X 2 )=D(cY+d)=c 2 D(Y) 14.设 XN(， 2 )，YN(， 2 )，且设 X，Y 相互独立，试求 Z 1 =aX+Y，Z 2 =X-Y 的相关系数(其中 ， 是不为零的常数) （分数：1.50）_正确答案：()解析：解：解法一： 因 E(X)=E(Y)=，D(X)=D(Y)= 2 ，且 X，Y 相互独立，所以 E(Z 1 )=E(X+Y)=(+)， E(Z 2 )=
17、E(X-Y)=(-)， E(Z 1 Z 2 )=E( 2 X 2 - 2 Y 2 )= 2 E(X 2 )- 2 E(Y 2 ) =( 2 - 2 )( 1 + 2 )， D(Z 1 )=D(X+Y)= 2 D(X)+ 2 D(Y) =( 2 + 2 ) 2 ， D(Z 2 )=D(X-Y)= 2 D(X)+ 2 D(Y) =( 2 + 2 ) 2 ， 因此 Cov(Z 1 ，Z 2 )=E(Z 1 Z 2 )-E(Z 1 )E(Z 2 ) =( 2 + 2 ) 2 ， 解法二：因为 Cov(Z 1 ，Z 2 )=Cov(aX+Y，X-Y) = 2 Cov(X，X)-Cov(X，Y)+Cov(
18、Y，X)- 2 Cov(Y，Y) = 2 D(X)- 2 D(Y) =( 2 - 2 ) 2 ， 又 X，Y 相互独立，所以 D(Z 1 )=D(X+Y)= 2 D(X)+ 2 D(Y)=( 2 + 2 ) 2 ， D(Z 2 )=D(X-Y)= 2 D(X)+ 2 D(Y)=( 2 + 2 ) 2 ， 故 设 ，其中 XN(1，3 2 )，YN(0，4 2 )且 （分数：4.50）(1).求 Z 的数学期望 E(Z)及方差 D(Z)（分数：1.50）_正确答案：()解析：解：由数学期望与方差的性质有 (2).求 X 与 Z 的相关系数（分数：1.50）_正确答案：()解析：解： 故 (3).
19、X 与 Z 是否相互独立?为什么?（分数：1.50）_正确答案：()解析：解：因 Z 不一定服从正态分布，从而二维随机变量(X，Z)的分布更不一定为正态分布，故尽管 X与 Z 不相关，X 与 Z 仍不一定相互独立15.已知随机向量 X 服从标准正态分布 N(0，1)，令 Y=X 3 ，求 X 与 Y 的相关系数 XY （分数：1.50）_正确答案：()解析：解：E(XY)=E(X 4 ) D(X)=1， D(Y)=E(Y 2 )-(E(Y) 2 =E(X 6 )-(E(X 3 ) 2 而 则 D(Y)=15， 16.(X，Y)的分布律为 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解：先求边缘分布
20、 二、综合题(总题数：15，分数：44.00)二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：4.50）(1).关于 X 的边缘密度 f X (x)（分数：1.50）_正确答案：()解析：解： 当 0x1 时， 当 x0 或 x1 时，f X (x)=0 (2).X 的期望 E(X)（分数：1.50）_正确答案：()解析：解：(3).E(XY)（分数：1.50）_正确答案：()解析：解：17.设连续型随机变量 X 在区间a，b以外的任何区间上取值的概率为 0，而在区间a，b内每一子区间内取值的概率与该子区间的长度成正比，证明：X 的均值 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解：由已知条件
21、，对于任意(，)a，b， 有 P(X)=k(-)，其中 k 为常数 由于 P(-X+)=1， 而 P(-X+)=P(aXb)=k(b-a)=1， 所以 ，因此 X 的分布函数为 所以 X 的密度函数为 即 X 服从a，b上盼均匀分布，所以 18.设随机变量 X 1 、X 2 的概率密度分别如下： 求 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解：E(X 1 +X 2 )=E(X 1 )+E(X 2 ) 设(X，Y)的概率密度 （分数：6.00）(1).关于 X、Y 的边缘概率密度 f X (x)，f Y (y)（分数：1.50）_正确答案：()解析：解： (2).E(X)，E(y)（分数：1.50）_正确答案：()解析：解：(3).E(XY)（分数：1.50）_正确答案：()解析：解：(4).E(X 2 +Y 2 )（分数：1.50）_正确答案：()解析：解：设随机变量 X 的概率密度为 （分数：4.50）(1).常数 c（分数：1.50）_正确答案：()解析：解：由 得 ，故(2).E(X)，D(X)（分数：1.50）_正确答案：()解析：解： (3).P|X-E(X)|D(X)（分数：1.50）_正确答案：()解析：解：19.设随机变量 X 的概率密度 （分数：1.50）_正确答案：()解析：解：D(X)=E(X 2
