1、概率论与数理统计自考题分类模拟 11 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单选选择题(总题数：9，分数：27.00)1.X 服从参数为 1 的泊松分布，则有_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.2.设随机变量 X 有期望 E(X)与方差 D(X)则对任意正数 1 ，有_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.3.设随机变量 X 的方差 D(X)=2，则利用切比雪夫不等式估计概率 P|X-E(X)|8的值为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.4.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，它们满足大数定理，则 X i 的分
2、布可以是_ A BX i 服从参数为 指数分布 CX i 服从参数为 i 的泊松分布 DX i 的密度函数 （分数：3.00）A.B.C.D.5. 1 ， 2 ，相互独立， i (x)，(x)=2x -3 (x1，i=1，2，)，则有_（分数：3.00）A.对每一个 i(i=1，2，)都满足切比雪夫不等式B.i(i=1，2，)都不满足切比雪夫不等式的条件C.1，2，满足切比雪夫大数定律D.1，2，满足切比雪夫大数定律的条件6.X i N(， 2 )，i=1，2，n，对任意 0， 所满足的切比雪夫不等式为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X
3、 n 是相互独立的随机变量序列，且服从相同的概率分布设 E(X i )=，D(X i )= 2 (0，i=1，2，)，记 ，则当 n 充分大时，有 Z n 的分布近似于_ A正态分布 N(n，n 2 ) B标准正态分布 N(0，1) C正态分布 N(， 2 ) D正态分布 （分数：3.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，S n =X 1 +X 2 +X n ，则根据林德伯格列维(LindebergLevy)中心极限定理，当 n时，S n 近似服从正态分布，只要 X 1 ，X 2 ，X n _（分数：3.00）A.有相同的数学期望B.有相同的方差C.服从同
4、一指数分布D.服从同一离散型分布9.在贝努利试验中，若事件 A 发生的概率为 P又设 m 为 n 次独立重复试验中 A 发生的频数，则当 n 充分大时，有_（分数：3.00）A.m 近似服从二项分布 B(np，npq)B.m 近似服从正态分布 N(p，pq)C.m 近似服从正态分布 N(np，npq)D.m 近似服从标准正态分布 N(0，1)二、填空题(总题数：5，分数：15.00)10.设随机变量 X 的数学期望 E(X)=11，方差 D(X)=9，则根据切比雪夫不等式估计 P2X20 1 （分数：3.00）11.设随机变量 X 的数学期望 E(X)=，方差 D(X)= 2 ，则根据切比雪夫
5、不等式估计 P|X-|k 1 （分数：3.00）12.设随机变量 X 1 ，X 2 ，相互独立同服从参数为 2 的指数分布则当 n时， （分数：3.00）13.设随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，独立同分布，且 E(X i )=，D(X i )= 2 0，i=1，2，则对任意实数 （分数：3.00）14.设总体 XN(， 2 )，其中 ， 2 为已知，x 1 ，x 2 ，x n 为其一个样本，(n3)， ，s 2 分别为样本均值和样本方差，则统计量 （分数：3.00）三、计算题(总题数：6，分数：20.00)15.随机掷 6 个骰子，利用切比雪夫不等式估计 6 个骰子出现点数之和在
6、15 点到 27 点之间的概率 （分数：2.50）_某电站供应一万户用电，假设用电高峰时，每户用电的概率为 0.9（分数：5.00）(1).求同时用电户在 9030 户以上的概率（分数：2.50）_(2).若每户用电 200 瓦，问电站至少应具有多大的发电量才能以 95%的概率保证用电?（分数：2.50）_16.设有独立随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，具有如下分布列： （分数：2.50）_17.机器生产零件，其长度 N(10.05，0.06 2 )，规定 落在 10.050.12 内为合格品，求一零件不合格的概率(已知 (2)=0.9772) （分数：2.50）_某矿区为井下工人开
7、展人身保险业备，规定年初每人交纳 20 元，一年保险期内若意外死亡可获赔 2000元假定工人死亡率(由历史资料统计而得)为 0.0036，现有 10000 工人投保，求：（分数：5.00）(1).一年内井下工人死亡数不超过 30 人的概率（分数：2.50）_(2).保险公司一年获利不少 86000 元的概率（分数：2.50）_18.某学样有 1000 名住校生，每人都以 80%费的概率去图书馆上自习，问图书馆至少应设多少个座位，才能以 99%的概率保证去上自习的学生都有座位? （分数：2.50）_四、综合题(总题数：2，分数：10.00)19.设 X 1 ，X 2 ，为互不相关的随机变量序列，
8、并且 E(X n )= n ， ，n=1，2，证明：若当 n时， ，则 （分数：5.00）_20.设 X n ，是 n 次伯努利试验中事件 A 出现的次数，p(0p1)为 A 在每次试验中出现的概率，用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理证明对任意正整数 k，总有 （分数：5.00）_五、应用题(总题数：6，分数：28.00)21.某电教中心有 100 台 20 英寸彩电，各台彩电发生故障的概率都是 0.02各台彩电工作是相互独立的，试分别用二项分布、泊松分布、中心极限定理计算彩电出故障的台数不小于 1 的概率 （分数：3.00）_22.利用某种仪器测量圆形零件直径为真值 时，所发生的随机误差的分布在
9、独立试验过程中不变，设 X 1 ，X 2 ，X n 是各次测量的结果那么能否取 （分数：3.00）_23.对某一目标进行多次同等规模的轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，假设其数学期望为 2，标准差为 1.3，计算在 100 次轰炸命中目标的炸弹总数在 180 颗到 220 颗的概率 （分数：3.00）_某种电子元件的使用寿命 X 服从指数分布，如果它的年均寿命为 100 小时，现在某一线路由三个这种元件并联而成，求：（分数：9.00）(1).X 的分布函数（分数：3.00）_(2).P100X150（分数：3.00）_(3).这个线路能正常工作 100 小时以上的概率(附：e -
10、1 0.37，e -1.5 0.22)（分数：3.00）_24.某单位内部有 1000 台电话，每个分机有 5%的时间使用外线通话，假定每个分机是否使用外线是相互独立的，该单位总机至少应安装多少条外线，才能以 95%以上的概率保证每个分机需用外线时不被占用?附：(1.65)=0.9505 （分数：3.00）_计算机在进行加法时，对每个加数取整(取最接近于它的整数)，设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在(-0.5，0.5)上服从均匀分布（分数：7.00）(1).若取 1500 个数相加，问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少?（分数：3.50）_(2).可将几个数加在一起使得误差总和的绝
11、对值小于 10 的概率为 0.90?（分数：3.50）_概率论与数理统计自考题分类模拟 11 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单选选择题(总题数：9，分数：27.00)1.X 服从参数为 1 的泊松分布，则有_ A B C D （分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 由切比雪夫大数定律的定理得2.设随机变量 X 有期望 E(X)与方差 D(X)则对任意正数 1 ，有_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由切比雪夫不等式定理，3.设随机变量 X 的方差 D(X)=2，则利用切比雪夫不等式估计概率 P|X-E(X)|8的值为_ A B
12、C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 即4.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，它们满足大数定理，则 X i 的分布可以是_ A BX i 服从参数为 指数分布 CX i 服从参数为 i 的泊松分布 DX i 的密度函数 （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 只要判断此序列是否独立同分布，且数学期望存在；或独立但分布不同，而数学期望、方差都存在，且方差一致有界即可选项 A 中 X i 独立同分布，且 ，级数 收敛，因此 E(X i )存在选项 D 中 X i 独立同分布，但 E(X i )不存在，因为 5. 1 ， 2 ，相互独立， i (x)，(x)
13、=2x -3 (x1，i=1，2，)，则有_（分数：3.00）A.对每一个 i(i=1，2，)都满足切比雪夫不等式B.i(i=1，2，)都不满足切比雪夫不等式的条件 C.1，2，满足切比雪夫大数定律D.1，2，满足切比雪夫大数定律的条件解析：解析 由切比雪夫不等式定理知， i (i=1，2，)都不满足切比雪夫不等式的条件，故选 B6.X i N(， 2 )，i=1，2，n，对任意 0， 所满足的切比雪夫不等式为_ A B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 根据切比雪夫大数定律定理知，7.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 是相互独立的随机变量序列，且服从相同的概率分布
14、设 E(X i )=，D(X i )= 2 (0，i=1，2，)，记 ，则当 n 充分大时，有 Z n 的分布近似于_ A正态分布 N(n，n 2 ) B标准正态分布 N(0，1) C正态分布 N(， 2 ) D正态分布 （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 由中心极限定理知：当 n 充分大时，独立同分布的随机变量之和8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，S n =X 1 +X 2 +X n ，则根据林德伯格列维(LindebergLevy)中心极限定理，当 n时，S n 近似服从正态分布，只要 X 1 ，X 2 ，X n _（分数：3.00）A.有相同的数学期望B.
15、有相同的方差C.服从同一指数分布 D.服从同一离散型分布解析：解析 只需分析随机变量 X 1 ，X 2 ，是否满足林德伯格列维(Lindeberg-Levy)中心极限定理所要求的条件：相互独立、同分布、数学期望与方差存在即可 选项 C 中 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且服从同一指数分布，故数学期望与方差存在，从而满足林德伯格列维中心极限定理的所有条件，所以当 n时，S n 近似服从正态分布，故选 C 选项 A 和选项 B 不能保证 X 1 ，X 2 ，同分布；选项 D 不能保证 X 1 ，X 2 ，的数学期望存在9.在贝努利试验中，若事件 A 发生的概率为 P又设 m 为 n 次独立
16、重复试验中 A 发生的频数，则当 n 充分大时，有_（分数：3.00）A.m 近似服从二项分布 B(np，npq)B.m 近似服从正态分布 N(p，pq)C.m 近似服从正态分布 N(np，npq) D.m 近似服从标准正态分布 N(0，1)解析：解析 拉普拉斯中心极限定理：二、填空题(总题数：5，分数：15.00)10.设随机变量 X 的数学期望 E(X)=11，方差 D(X)=9，则根据切比雪夫不等式估计 P2X20 1 （分数：3.00）解析： 解析 由切比雪夫不等式 有 P2X20=P11-9X11+9 11.设随机变量 X 的数学期望 E(X)=，方差 D(X)= 2 ，则根据切比雪
17、夫不等式估计 P|X-|k 1 （分数：3.00）解析： 解析 令 =k，由切比雪夫不等式 有 P|X-|k=1-P|X-|k 12.设随机变量 X 1 ，X 2 ，相互独立同服从参数为 2 的指数分布则当 n时， （分数：3.00）解析： 解析 因为随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，所以 也相互独立同分布 于是由辛钦大数定理知当 n时， 依概率收敛于其数学期望 13.设随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，独立同分布，且 E(X i )=，D(X i )= 2 0，i=1，2，则对任意实数 （分数：3.00）解析：1-(x)解析 14.设总体 XN(， 2 )，其中
18、 ， 2 为已知，x 1 ，x 2 ，x n 为其一个样本，(n3)， ，s 2 分别为样本均值和样本方差，则统计量 （分数：3.00）解析：t(n-1) 解析 XN(， 2 )， 由 t 分布的定义知 三、计算题(总题数：6，分数：20.00)15.随机掷 6 个骰子，利用切比雪夫不等式估计 6 个骰子出现点数之和在 15 点到 27 点之间的概率 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解：设 X i (i=1，2，6)为第 i 个骰子出现点数，则 X 1 ，X 2 ，X 6 相互独立同分布，且 X=X 1 +X 2 +X 6 ，又 E(X)=E(X 1 )+E(X 2 )+E(X 6 )
19、=21， 由切比雪夫不等式有 P15X27=P|X21|6 =1-P|X21|6 某电站供应一万户用电，假设用电高峰时，每户用电的概率为 0.9（分数：5.00）(1).求同时用电户在 9030 户以上的概率（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：用 X 表示同时用电户数，XB(10000，0.9)，E(X)=9000，D(X)=900 近似地，XN(9000，900) (1) (2).若每户用电 200 瓦，问电站至少应具有多大的发电量才能以 95%的概率保证用电?（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：设发电量为 a，则应满足 P200X0.95 即 反查正态分布表，知 (1.65
20、)=0.95053 只须 16.设有独立随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，具有如下分布列： （分数：2.50）_正确答案：()解析：解：为了使随机变量序列能运用于切比雪夫大数定律，要求这些随机变量：(1)独立；(2)具有相同的数学期望；(3)具有相同方差，且方差为有限值 (1)独立性由题设已给定； (2)数学期望 (3) 17.机器生产零件，其长度 N(10.05，0.06 2 )，规定 落在 10.050.12 内为合格品，求一零件不合格的概率(已知 (2)=0.9772) （分数：2.50）_正确答案：()解析：解：一零件合格的概率为 某矿区为井下工人开展人身保险业备，规定年初每
21、人交纳 20 元，一年保险期内若意外死亡可获赔 2000元假定工人死亡率(由历史资料统计而得)为 0.0036，现有 10000 工人投保，求：（分数：5.00）(1).一年内井下工人死亡数不超过 30 人的概率（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：用 X 表示井下工人意外死亡人数，XB(10000，0.0036)，E(X)=36，D(X)=35.87 近似地，XN(36，35.87) (2).保险公司一年获利不少 86000 元的概率（分数：2.50）_正确答案：()解析：解：保险公周年初收保险费 2010000=200000(元) 年终赔偿款为 2000X，获利为 200000-20
22、00X，所求概率为 18.某学样有 1000 名住校生，每人都以 80%费的概率去图书馆上自习，问图书馆至少应设多少个座位，才能以 99%的概率保证去上自习的学生都有座位? （分数：2.50）_正确答案：()解析：解：用 X 表示同时上自习的人数，XB(1000，0.8)，E(X)=800，D(X)=160，近似地XN(800，160)设有 n 个座位，欲使 PXn0.99 即 反查正态分布表，知 (2.33)=0.990097 只须 四、综合题(总题数：2，分数：10.00)19.设 X 1 ，X 2 ，为互不相关的随机变量序列，并且 E(X n )= n ， ，n=1，2，证明：若当 n时
23、， ，则 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：因为 X 1 ，X 2 ，为互不相关，所以 E(X i - i )(X j - j )=0(ij)， 于是对任意给定的 0，由切比雪夫不等式有 因此 故 ，即 20.设 X n ，是 n 次伯努利试验中事件 A 出现的次数，p(0p1)为 A 在每次试验中出现的概率，用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理证明对任意正整数 k，总有 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：因为 X n B(n，p)，所以 E(X n )=np，D(X n )=np(1-p) 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理知： P|X n -np|k=P-kX n -npk 因此
24、 五、应用题(总题数：6，分数：28.00)21.某电教中心有 100 台 20 英寸彩电，各台彩电发生故障的概率都是 0.02各台彩电工作是相互独立的，试分别用二项分布、泊松分布、中心极限定理计算彩电出故障的台数不小于 1 的概率 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：设彩电出故障的台数为 X (1)XB(100，0.02) P(X1)=1-P(X1)=1-P(X=0) =1-(0.98) 100 =0.8674 (2)n=100，p=0.02，=np=2 P(X1)=1-P(X=0) (3)np=2， 由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理 P(X1)=1-P(0X1) 22.利用某种仪器测量
25、圆形零件直径为真值 时，所发生的随机误差的分布在独立试验过程中不变，设 X 1 ，X 2 ，X n 是各次测量的结果那么能否取 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：若对任何 0，有 则当 n 充分大时，有 下面讨论上式是否成立 由题设知，X 1 ，X 2 ，X n ，独立同分布，即有 E(X 1 )=E(X 2 )=E(X n )= D(X 1 )=D(X 2 )=D(X n )= 于是，仪器的误差的期望与方差为： E(X k -)=E(X k )-； D(X k -)=D(X k )(k=1，2，) 再引入新随机变量 Y k =(X k -) 2 (k=1，2) 显然 Y 1 ，Y
26、2 ，Y n ，也是独立同分布的，于是 E(Y k )=E(X k -) 2 =D(X k )+(E(X k ) 2 -2E(X k )+ 2 =D(X k )+E(X k )- 2 由于仪器无系统偏差，故 E(X k -)=0，即 E(X k )=； E(Y k )=D(X k )=D(X k -)= 2 ，(k=1，2，) 由独立同分布序列的切比雪夫大数定律知，对任意 0，有 即 可见当 n 充分大时， 23.对某一目标进行多次同等规模的轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，假设其数学期望为 2，标准差为 1.3，计算在 100 次轰炸命中目标的炸弹总数在 180 颗到 220
27、颗的概率 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：设 X k (k=1，2，n)表示第 k 次命中目标的炸弹数，则 为 100 次轰炸命中目标的炸弹总数，并有 X 1 ，X 2 ，X 100 独立同分布，且已知 E(X k )=2， ，k=1，2，100 由独立同分布的(林德伯格-列维)中心极限定理知： 某种电子元件的使用寿命 X 服从指数分布，如果它的年均寿命为 100 小时，现在某一线路由三个这种元件并联而成，求：（分数：9.00）(1).X 的分布函数（分数：3.00）_正确答案：()解析：解：E(X)=100，X 的分布函数为 (2).P100X150（分数：3.00）_正确答案：
28、()解析：解：P100X150=F(150)-F(100)=(1-e -1.5 )-(1-e -1 )=e -1 -e -1.5 0.37-0.22=0.15(3).这个线路能正常工作 100 小时以上的概率(附：e -1 0.37，e -1.5 0.22)（分数：3.00）_正确答案：()解析：解：用 A i 表示第 i 个元件寿命不少于 100，i=1，2，3，B 表示线路能正常工作 100 小时以上 P(A i )=PX100=1-PX100=1-F(100)=e -1 0.37 P(B)=P(A 1 A 2 A 3 ) 24.某单位内部有 1000 台电话，每个分机有 5%的时间使用外
29、线通话，假定每个分机是否使用外线是相互独立的，该单位总机至少应安装多少条外线，才能以 95%以上的概率保证每个分机需用外线时不被占用?附：(1.65)=0.9505 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：设同时使用外线的分机数为 X，XB(1000，0.05) E(X)=10000.05=50， D(X)=500.95=47.5 若安装 m 条外线，由中心极限定理，近似地 XN(50，47.5) 欲使 P0Xm 由 计算机在进行加法时，对每个加数取整(取最接近于它的整数)，设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在(-0.5，0.5)上服从均匀分布（分数：7.00）(1).若取 1500 个数相加，问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少?（分数：3.50）_正确答案：()解析：解：设每个数的误差为 X i (i=1，2，1500)， 由此有 (1)记 ，由题意和独立同分布序列的中心极限定理 P(|X|15)=1-P(|X|15)=1-P(-15X15) (2).可将几个数加在一起使得误差总和的绝对值小于 10 的概率为 0.90?（分数：3.50）_正确答案：()解析：解：设加数的个数为 n，由题意要求 n 使 由独立同分布序列的中心极限定理 即 查表得
