1、河南省专升本考试高等数学模拟 1 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.(-1，1)B.0，4C.0，1)D.0，12.设 f(x)是奇函数且 （分数：2.00）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.无法判断3.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点4.在 x=0 处_ （分数：2.00）A.有定义B.极限存在C.左极限存在D.右极限存在5.当 x0 时，与 ln(1+x 2 )等价的无穷小是_ A.x B.sinx C.x2 D.cosx-1（分数：2.00
2、）A.B.C.D.6.如果 则必有_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.7.函数 在 x=0 处连续，则 k=_ A0 B2 C （分数：2.00）A.B.C.D.8. _ A1 B2 C0 D （分数：2.00）A.B.C.D.9.设函数 f(x)在 x=1 处可导，则 （分数：2.00）A.5f“(1)B.-f“(1)C.2f“(1)D.-3f“(1)10.曲线 y=x+e x 在点(0，1)处的切线方程为_（分数：2.00）A.y+1=2(x-0)B.y=2x+1C.y=2x-3D.y-1=x11.设 x=atcost，y=atsint(a0，且为常数)，则 _ A0 B
3、 C D （分数：2.00）A.B.C.D.12.下列函数在-1，1上满足罗尔定理条件的是_ A （分数：2.00）A.B.C.D.13.下列说法正确的是_（分数：2.00）A.函数的极值点一定是函数的驻点B.函数的驻点一定是函数的极值点C.二阶导数非零的驻点一定是极值点D.以上说法都不对14.设 f“(x)=(x-1)(x+1)，x(-，+)，则曲线 f(x)在区间(1，+)内_（分数：2.00）A.单调增加且是凹的B.单调减少且是凹的C.单调增加且是凸的D.单调减少且是凸的15.曲线 （分数：2.00）A.只有水平渐近线B.只有垂直渐近线C.既有水平又有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线
4、16.设 f(x)是连续函数，且f(x)dx=F(x)+C，则下列等式成立的是_ Af(x 2 )dx=F(x 2 )+C Bf(3x+2)dx=F(3x+2)+C Cf(e x )e x dx=F(e x )+C D （分数：2.00）A.B.C.D.17.设 f(x)为连续函数，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.18.下列定积分中等于零的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19.设 （分数：2.00）A.a=bB.abC.abD.a，b 无法比较20.连续曲线 y=f(x)与直线 x=a，x=b(ab)及 x 轴围成的曲边梯形的面积为_ A B
5、C D （分数：2.00）A.B.C.D.21.下列方程中为可分离变量方程的是_ A.y“=exy B.xy“+y=ex C.(x-xy2)dx+(y+x2y)dy=0 D.yy“+y+x=0（分数：2.00）A.B.C.D.22.方程 y“-2y“+y=(x+1)e x 的特解形式可设为_ A.x2(ax+b)ex B.x(ax+b)ex C.(ax+b)ex D.aex（分数：2.00）A.B.C.D.23.设 ab=ac，a、b、c 均为非零向量，则_（分数：2.00）A.b=cB.a/(b-c)C.a(b-c)D.|b|=|c|24.设 z=x 2 ln(x 2 +y 2 )，则 _
6、A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.25.设 z=e xy +3ln(x+y)，则 dz| (1,2) =_ A.(e2+1)(dx+dy) B.(2e2+1)dx+(e2+1)dy C.e2dx D.e2（分数：2.00）A.B.C.D.26.设 D 是由圆 x 2 +y 2 =1 和两坐标轴围成的第一象限内的闭区域，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.27.二重积分 交换积分次序后为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.L 为从点(0，1)到(1，1)的有向线段，则 _ A B C （分数：2.00）A.B.C.D.29.下列级数中
7、，条件收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.30.若幂级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.一定发散D.可能收敛也可能发散二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 f(x)=2x+5，则 f -1 f(x)-1= 1 （分数：2.00）32. （分数：2.00）33.函数 （分数：2.00）34.如果函数 f(x)在 x 0 处可导，且 f(x 0 )为 f(x)的极大值，则 f“(x 0 )= 1 （分数：2.00）35. （分数：2.00）36.若 则 （分数：2.00）37.设 f(x，y，z)=ln(xy+z)，则 f x (1，2，0
8、)= 1 （分数：2.00）38.函数 z=x 2 +y 2 在点 P(1，2)处沿从点 P(1，2)到点 （分数：2.00）39.微分方程 xy“-3y=x 2 的通解为 1 （分数：2.00）40.若 则正项级数 （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41. （分数：5.00）_42.已知 求 （分数：5.00）_43.求不定积分 （分数：5.00）_44.已知 xe x 为 f(x)的一个原函数，且 f(0)=e，求 （分数：5.00）_45.求过点(2，-1，3)与直线 （分数：5.00）_46.求函数 f(x，y)=x 2 +xy+y 2 +x-y+1 的极值
9、 （分数：5.00）_47.求二重积分 （分数：5.00）_48.求微分方程 xdy+2(y-lnx)dx=0 的通解 （分数：5.00）_49.求级数 （分数：5.00）_50.将函数 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.过点(1，0)作抛物线 （分数：7.00）_52.设有 A、B 两个工厂位于同一条公路的同一侧，A、B 到公路的垂直距离分别为 1km 和 2km，两工厂到公路的两个垂足 C、D 之间的距离为 6km，现欲在公路旁建一货物转运站(如图)，并从 A、B 两工厂各修一条大道通往转运站 M，问转运站 M 建于何处才能使大道的总长最短? （分数：7.
10、00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.证明：若 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，g(x)0，则至少存一点(a，b)，使 f“()g()+2g“()f()=0. （分数：6.00）_河南省专升本考试高等数学模拟 1 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.(-1，1)B.0，4C.0，1) D.0，1解析：解析 要使函数有意义，须令 1-x 2 0 且 2.设 f(x)是奇函数且 （分数：2.00）A.偶函数 B.奇函数C.非奇非偶函数D.
11、无法判断解析：解析 3.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点 C.跳跃间断点D.第二类间断点解析：解析 因为4.在 x=0 处_ （分数：2.00）A.有定义B.极限存在C.左极限存在 D.右极限存在解析：解析 因为5.当 x0 时，与 ln(1+x 2 )等价的无穷小是_ A.x B.sinx C.x2 D.cosx-1（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 x0 时，显然 ln(1+x 2 )x 2 ，故应选 C6.如果 则必有_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然7.函数 在 x=0 处连续，则 k=_ A0 B2 C （分数：2.00
12、）A.B.C.D. 解析：解析 8. _ A1 B2 C0 D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 9.设函数 f(x)在 x=1 处可导，则 （分数：2.00）A.5f“(1) B.-f“(1)C.2f“(1)D.-3f“(1)解析：解析 10.曲线 y=x+e x 在点(0，1)处的切线方程为_（分数：2.00）A.y+1=2(x-0)B.y=2x+1 C.y=2x-3D.y-1=x解析：解析 因为 y“=1+e x ，y“| x=0 =1+e 0 =2. 所以切线方程为 y-1=2(x-0)，即 y=2x+1，应选 B11.设 x=atcost，y=atsint(a0，且为常
13、数)，则 _ A0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 所以 12.下列函数在-1，1上满足罗尔定理条件的是_ A （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 选项 A 和 B 在 x=0 处不可导，而 D 选项在 x=-1 处无定义，只有 C 选项符合题意，故选 C13.下列说法正确的是_（分数：2.00）A.函数的极值点一定是函数的驻点B.函数的驻点一定是函数的极值点C.二阶导数非零的驻点一定是极值点 D.以上说法都不对解析：解析 函数的极值在驻点或导数不存在的点处取得，y=|x|在 x=0 处取得极小值，但在该点导数不存在，A 项不正确；x0 是 y=x 3
14、的驻点，但不是极值点，故 B 项不正确；C 选项正确14.设 f“(x)=(x-1)(x+1)，x(-，+)，则曲线 f(x)在区间(1，+)内_（分数：2.00）A.单调增加且是凹的 B.单调减少且是凹的C.单调增加且是凸的D.单调减少且是凸的解析：解析 在区间(1，+)内有 f“(x)=(x-1)(x+1)0，f“(x)=2x0，故应选 A15.曲线 （分数：2.00）A.只有水平渐近线B.只有垂直渐近线C.既有水平又有垂直渐近线 D.既无水平又无垂直渐近线解析：解析 因为 16.设 f(x)是连续函数，且f(x)dx=F(x)+C，则下列等式成立的是_ Af(x 2 )dx=F(x 2
15、)+C Bf(3x+2)dx=F(3x+2)+C Cf(e x )e x dx=F(e x )+C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 f(e x )e x dx=f(e x )d(e x )=F(e x )+C故应选 C17.设 f(x)为连续函数，则 _ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 18.下列定积分中等于零的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 根据奇偶函数在对称区间上的积分性质，可以判定 C 是正确的故应选 C19.设 （分数：2.00）A.a=b B.abC.abD.a，b 无法比较解析：解析 20.连
16、续曲线 y=f(x)与直线 x=a，x=b(ab)及 x 轴围成的曲边梯形的面积为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由定积分的几何意义知，曲边梯形的面积为21.下列方程中为可分离变量方程的是_ A.y“=exy B.xy“+y=ex C.(x-xy2)dx+(y+x2y)dy=0 D.yy“+y+x=0（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由(x-xy 2 )dx+(y+x 2 y)dy=0，得 x(1-y 2 )dx+y(1+x 2 )dy=0，y(1+x 2 )dy=x(y 2 -1)dx，所以 22.方程 y“-2y“+y=(x+1)e x 的
17、特解形式可设为_ A.x2(ax+b)ex B.x(ax+b)ex C.(ax+b)ex D.aex（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为特征方程 r 2 -2r+1=0 有二重特征根 r 1 =r 2 =1，又自由项 f(x)=(x+1)e x 中 =1为特征重根，故方程的特解应设为 y * =x 2 (ax+b)e x ，故应选 A23.设 ab=ac，a、b、c 均为非零向量，则_（分数：2.00）A.b=cB.a/(b-c) C.a(b-c)D.|b|=|c|解析：解析 由 ab=ac 得 a(b-c)=0， 所以 a/(b-c)故应选 B24.设 z=x 2 ln(x
18、2 +y 2 )，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 25.设 z=e xy +3ln(x+y)，则 dz| (1,2) =_ A.(e2+1)(dx+dy) B.(2e2+1)dx+(e2+1)dy C.e2dx D.e2（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 26.设 D 是由圆 x 2 +y 2 =1 和两坐标轴围成的第一象限内的闭区域，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 27.二重积分 交换积分次序后为_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 积分区域可表示为 28.L 为从点(0
19、，1)到(1，1)的有向线段，则 _ A B C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 29.下列级数中，条件收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 选项 A、C、D 是绝对收敛的，选项 B 是条件收敛的30.若幂级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.一定发散D.可能收敛也可能发散 解析：解析 级数二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 f(x)=2x+5，则 f -1 f(x)-1= 1 （分数：2.00）解析： 解析 因为 所以 32. （分数：2.00）解析：解析 33.函数 （分数：2.00）解析：x 2 -x+
20、2 解析 34.如果函数 f(x)在 x 0 处可导，且 f(x 0 )为 f(x)的极大值，则 f“(x 0 )= 1 （分数：2.00）解析：0 解析 因为 f(x)在 x=x 0 处可导，且 f(x 0 )为函数的极大值所以 x 0 也一定是函数的驻点，即 f“(x 0 )=0.35. （分数：2.00）解析：解析 36.若 则 （分数：2.00）解析：2-f(0)-f()解析 37.设 f(x，y，z)=ln(xy+z)，则 f x (1，2，0)= 1 （分数：2.00）解析：1解析 38.函数 z=x 2 +y 2 在点 P(1，2)处沿从点 P(1，2)到点 （分数：2.00）解
21、析：解析 39.微分方程 xy“-3y=x 2 的通解为 1 （分数：2.00）解析：y=Cx 3 -x 2 解析 方程化为 40.若 则正项级数 （分数：2.00）解析：发散解析 由正项级数比较判别法的极限形式知 具有相同的敛散性，而调和级数 是发散的，所以三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41. （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.已知 求 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 所以 43.求不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：44.已知 xe x 为 f(x)的一个原函数，且 f(0)=e，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：由题可知 其中
22、f(x)=(xe x +C)“=(1+x)e x ，f(1)=2e， 所以 45.求过点(2，-1，3)与直线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 s 1 =1，0，-1，n=4，3，0， 由题设知 又因直线过点(2，-1，3)，所以所求直线方程为 46.求函数 f(x，y)=x 2 +xy+y 2 +x-y+1 的极值 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解方程组 47.求二重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：积分区域如图所示 在极坐标系下， 48.求微分方程 xdy+2(y-lnx)dx=0 的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：方程可化为 所求通解为
23、49.求级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：这是一个缺项的幂级数 因为 由 解得-3x3，所以级数的收敛区间为(-3，3) 当 x3 时，得级数 50.将函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.过点(1，0)作抛物线 （分数：7.00）_正确答案：()解析：设切点为 由 解得切点为(3，1)， 所以切线方程为 即 所以求旋转体的体积为 52.设有 A、B 两个工厂位于同一条公路的同一侧，A、B 到公路的垂直距离分别为 1km 和 2km，两工厂到公路的两个垂足 C、D 之间的距离为 6km，现欲在公路旁建一货物转运站(如图)，并
24、从 A、B 两工厂各修一条大道通往转运站 M，问转运站 M 建于何处才能使大道的总长最短? （分数：7.00）_正确答案：()解析：设转运站 M 距 C 的距离为 xkm，大道总长为 ykm， 则 令 y“=0，解得 x=2 或 x=-6(舍去)， 由于实际问题的最小值存在，且只能在区间(0，6)内部取得，所以 x=2 是最小值点 故距离 C 两千米处建转运站 M，可使大道总长最短 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.证明：若 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，g(x)0，则至少存一点(a，b)，使 f“()g()+2g“()f()=0. （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 设 F(x)=f(x)g 2 (x) 因为 f(x)，g(x)均在a，b上连续，在(a，b)内可导， 所以 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导 又 f(a)=f(b)=0，则 F(a)=F(b)=0， 则由罗尔定理知，在(a，b)内至少存在一点 ， 使 F“()=0，即 f“()g 2 ()+f()2g“()g()=0， 又因为 g(x)0，所以 g()0，两边同除以 g()， 得 f“()g()+2f()g“()=0.
