1、2015 年内蒙古呼和浩特市中考真题数学 一 .选择题 (每小题 3 分，共 30 分 ) 1.以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是 ( ) A.-3 B.15 C.-10 D.-1 解析 ： 15 -1 -3 -10 . 答案 ： C. 2.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故 A 正确； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 B 错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 C 错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 错误 . 答案 ： A. 3.如图，已知
2、1=70，如果 CD BE，那么 B 的度数为 ( ) A.70 B.100 C.110 D.120 解析 ： 如图， 1=70， 2= 1=70， CD BE， B=180 - 1=180 -70 =110 . 答案 ： C. 4.在一个不透明的袋中装着 3 个红球和 1 个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2 个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为 ( ) A.12B.13C.14D.16解析 ：画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，两球恰好是一个黄球和一个红球的有 6 种情况， 两球恰好是一个黄球和一个红球的为： 612=12. 答案： A. 5.如果两个变量 x、 y
3、 之间的函数关系如图所示，则函数值 y 的取值范围是 ( ) A.-3 y 3 B.0 y 2 C.1 y 3 D.0 y 3 解析 ： 图象的最高点是 (-2， 3)， y 的最大值是 3， 图象最低点是 (1， 0)， y 的最小值是 0，函数值 y 的取值范围是 0 y 3. 答案： D. 6.下列运算，结果正确的是 ( ) A.m2+m2=m4 B.(m+1m)2=m2+21m C.(3mn2)2=6m2n4 D.2m2n mn=2mn2 解析 ： m2+m2=2m2，选项 A 错误； (m+1m)2=m2+21m +2，选项 B 错误； (3mn2)2=9m2n4，选项 C 错误；
4、2m2n mn=2mn2，选项 D 正确 . 答案 ： D. 7.如图，有一块矩形纸片 ABCD， AB=8， AD=6，将纸片折叠，使得 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE，再将 AED 沿 DE 向右翻折， AE 与 BC 的交点为 F，则 CEF 的面积为 ( ) A.12B.98C.2 D.4 解析 ： AB=8， AD=6，纸片折叠，使得 AD 边落在 AB 边上， DB=8-6=2， EAD=45， 又 AED 沿 DE 向右翻折， AE 与 BC 的交点为 F， AB=AD-DB=6-2=4， ABF 为等腰直角三角形， BF=AB=4， CF=BC-BF=6-4=2，而 E
5、C=DB=2， 12 2 2=2. 答案 ： C. 8.以下是某手机店 1 4 月份的统计图，分析统计图，对 3、 4 月份三星手机的销售情况四个同学得出的以下四个结论，其中正确的为 ( ) A.4 月份三星手机销售额为 65 万元 B.4 月份三星手机销售额比 3 月份有所上升 C.4 月份三星手机销售额比 3 月份有所下降 D.3 月份与 4 月份的三星手机销售额无法比较，只能比较该店销售总额 解析 ： A、 4 月份三星手机销售额为 65 17%=11.05 万元，故 A 错误； B、 3 三星手机的销售额 60 18%=10.8 万元， 4 月份三星手机销售额为 65 17%=11.0
6、5 万元，故 B 正确； C、 3 三星手机的销售额 60 18%=10.8 万元， 4 月份三星手机销售额为 65 17%=11.05 万元，故 C 错误； D、 3 三星手机的销售额 60 18%=10.8 万元， 4 月份三星手机销售额为 65 17%=11.05 万元，故 D 错误 . 答案 ： B. 9.如图是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为 ( ) A.236 B.136 C.132 D.120 解析 ： 由三视图可知，几何体是由大小两个圆柱组成， 故该几何体的体积为： 22 2+ 42 8=8+128 =136 . 答案 ： B 10.函数 y= 2 2x
7、xx 的图象为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 当 x 0 时，函数解析式为： y=-x-2，函数图象为： B、 D， 当 x 0 时，函数解析式为： y=x+2，函数图象为： A、 C、 D. 答案 ： D 二 .填空题 (每小题 3 分，共 18 分 ) 11.某企业去年为国家缴纳税金达到 4100000 元，用科学记数法表示为 元 . 解析 ： 将 4100000 用科学记数法表示为 4.1 106. 答案： 4.1 106 12.分解因式： x3-x= . 解析 ： x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1). 答案： x(x+1)(x-1) 13.如图，四边形 ABC
8、D 是菱形， E、 F、 G、 H 分别是各边的中点，随机地向菱形 ABCD 内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是 . 解析 ： 四边形 ABCD 是菱形， E、 F、 G、 H 分别是各边的中点， 四边形 HGFE 的面积是菱形 ABCD 面积的 12，米粒落到阴影区域内的概率是 12. 答案： 1214.一个圆锥的侧面积为 8，母线长为 4，则这个圆锥的全面积为 . 解析 ： 16360n=8，解得 n=180， 则弧长 =180 4180=4 ， 2r=4 ， 解得 r=2，底面积为 4，全面积为 12 . 答案： 12 15.若实数 a、 b 满足 (4a+4b)(4a+4b-2)
9、-8=0，则 a+b= . 解析 ： 设 a+b=x，则由原方程，得 4x(4x-2)-8=0， 整理，得 (2x+1)(x-1)=0，解得 x1=-12， x2=1.则 a+b 的值是 -12或 1. 答案： -12或 1. 16. 以下四个命题： 若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角互补； 边数相等的两个正多边形一定相似； 等腰三角形 ABC 中， D 是底边 BC 上一点， E 是一腰 AC 上的一点，若 BAD=60且 AD=AE，则 EDC=30； 任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点 . 其中正确命题的序号为 . 解析 ： 若一个角的两边和
10、另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角相等或互补，错误； 边数相等的两个正多边形一定相似，正确； 如图所示， AED= C+ EDC= B+ EDC， ADC= ADE+ EDC= AED+ EDC= B+2 EDC， 又 ADC= B+ BAD= B+60， B+2 EDC= B+60， EDC=30，故正确； 任意三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，正确 . 答案 ： . 三 .解答题 (共 9 个小题，满分 72 分 ) 17.计算： (1)| 6 -3|-(13)-1+ 24 ； (2)先化简，再求值：2 2 3 22 3 75 1 0 2aba b a b a
11、b（ ），其中 a= 52 ， b=-12 . 解析： (1)根据绝对值、负整数指数幂以及二次根式的化简进行计算即可； (2)根据运算顺序，先算括号里面的，再算除法，最后把 a， b 的值代入计算即可 . 答案 ： (1)原式 =3- 6 -3+2 6 = 6 ； (2)原式 =322 3 75 1 0 2a b a b a b（ ） = 710ab 3227ab = 25ab， 当 a= 52， b=-12时，原式 =-18. 18.如图， 平行四边形 ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O， AE=CF. (1)求证： BOE DOF； (2)若 BD=EF，连接 DE、 BF，判
12、断四边形 EBFD 的形状，无需说明理由 . 解析： (1)先证出 OE=OF，再由 SAS 即可证明 BOE DOF； (2)由对角线互相平分证出四边形 EBFD 是平行四边形，再由对角线相等，即可得出四边形EBFD 是矩形 . 答案 (1)四边形 ABCD 是平行四边形， OA=OC， OB=OD， AE=CF， OE=OF，在 BOE 和 DOF 中，O B O DB O E D O FO E O F ， BOE DOF(SAS). (2)四边形 EBFD 是矩形；理由如下： OB=OD， OE=OF，四边形 EBFD 是平行四边形， BD=EF，四边形 EBFD 是矩形 . 19.如图
13、，热气球的探测器显示，从热气球 A 处看一栋高楼顶部 B 的仰角为 30，看这栋高楼底部 C 的俯角为 65，热气球与高楼的水平距离 AD 为 120m.求这栋高楼的高度 .(结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可 ) 解析： 要求楼高 BC，即求出 BD、 CD 的长度，分别在 Rt ABD和 Rt ADC 中求出 BD和 CD 的长度，继而可求解 . 答案 ：在 Rt ABD 中， tan BAD=BDAD， BD=ADtan30 =120 33=40 3 (米 )， 在 Rt ADC 中， tan CAD=CDAD， CD=ADtan65 =120tan65， BC=BD+CD=40
14、3 +120tan65 . 答：这栋高楼的高度为 (40 3 +120tan65 )米 . 20.若关于 x、 y 的二元一次方程组 2 3 224x y mxy ，的解满足 x+y -32 ，求出满足条件的 m 的所有正整数值 . 解析： 方程组两方程相加表示出 x+y，代入已知不等式求出 m 的范围，确定出正整数值即可 . 答案 ： 2 3 224x y mxy ， +得： 3(x+y)=-3m+6，即 x+y=-m+2， 代入不等式得： -m+2 -32，解得： m 72， 则满足条件 m 的正整数值为 1， 2， 3. 21.某玉米种子的价格为 a 元 /千克，如果一次购买 2 千克以
15、上的种子，超过 2 千克部分的种子价格打 8 折，某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出了函数图象，以下是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点 A 的坐标为 (2， 10)，请你结合表格和图象： (1)指出付款金额和购买量哪个变量是函数的自变量 x，并写出表中 a、 b 的值； (2)求出当 x 2 时， y 关于 x 的函数解析式； (3)甲农户将 8.8 元钱全部用于购买玉米种子，乙农户购买了 4165 克该玉米种子，分别计算他们的购买量和付款金 额 . 解析： (1)根据函数图象可得：购买量是函数的自变量 x，也可看出 2 千克的金额为 10
16、 元，从而可求 1 千克的价格，即 a 的值，由表格可得出：当购买量大于等于 2 千克时，购买量每增加 0.5 千克，价格增加 2 元，进而可求 b 的值； (2)先设关系式为 y=kx+b，然后将 (2， 10)，且 x=3 时， y=14，代入关系式即可求出 k， b 的值，从而确定关系式； (3)当 y=8.8 时，单价为 5 元，此时购买量为 8.8 5，然后将 x=4.165 代入关系式计算相应的 y 值 . 答案 ： (1)根据函数图象可得：购买量是函数的自变量 x， a=10 2=5 元， b=14； (2)当 x 2 时，设 y 与 x 的函数关系式为： y=kx+b， y=k
17、x+b 经过点 (2， 10)，且 x=3 时， y=14， 2 103 14kbkb，解得： 42kb，当 x 2 时，设 y 与 x 的函数关系式为： y=4x+2. (3)当 y=8.8 时， x=8.85=1.76， 当 x=4.165 时， y=4 4.165+2=18.66， 甲农户的购买量为 1.76 千克，乙农户的付款金额为 18.66 元 . 22.学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的成绩 (百分制 )如表： 选手表达能力阅读理解综合素质汉字听写 (1)由表中
18、成绩已算得甲的平均成绩为 80.25，请计算乙的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁； (2)如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们 2、 1、 3 和 4 的权，请分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁 . 解析： (1)先用算术平均数公式，计算乙的平均数，然后根据计算结果与甲的平均成绩比较，结果大的胜出； (2)先用加权平均数公式，计算甲、乙的平均数，然后根据计算结果，结果大的胜出 . 答案 ： (1)x乙=(73+80+82+83) 4=79.5， 80.25 79.5， 应选派甲 . (2)x甲=(85 2+78 1+85 3+73 4) (2+1+
19、3+4)=79.5， x乙 =(73 2+80 1+82 3+83 4) (2+1+3+4)=80.4， 79.5 80.4，应选派乙 . 23.如图，在平面直角坐标系中 A 点的坐标为 (8， y)， AB x 轴于点 B， sin OAB=45，反比例函数 y=kx的图象的一支经过 AO 的中点 C，且与 AB 交于点 D. (1)求反比例函数解析式； (2)若函数 y=3x与 y=kx的图象的另一支交于点 M，求三角形 OMB与四边形 OCDB的面积的比 . 解析： (1)先根据锐角三角函数的定义，求出 OA 的值，然后根据勾股定理求出 AB 的值，然后由 C 点是 OA 的中点，求出
20、C 点的坐标，然后将 C 的坐标代入反比例函数 y=kx中，即可确定反比例函数解析式； (2)先将 y=3x 与 y=12x联立成方程组，求出点 M 的坐标，然后求出点 D 的坐标，然后连接 BC，分别求出 OMB 的面积， OBC 的面积， BCD 的面积，进而确定四边形 OCDB 的面积，进而可求三角形 OMB 与四边形 OCDB 的面积的比 . 答案 ： (1) A 点的坐标为 (8， y)， OB=8， AB x 轴于点 B， sin OAB=45， 45OBOA， OA=10， 由勾股定理得： AB= 22OA OB =6， 点 C 是 OA 的中点，且在第一象限内， C(4， 3)
21、， 点 C 在反比例函数 y=kx的图象上， k=12， 反比例函数解析式为： y=12x； (2)将 y=3x 与 y=12x联立成方程组，得： 312yx，解得： 1126xy，2226xy， M 是直线与双曲线另一支的交点， M(-2， -6)， 点 D 在 AB 上，点 D 的横坐标为 8， 点 D 在反比例函数 y=12x的图象上，点 D 的纵坐标为 32， D(8， 32)， BD=32， 连接 BC，如图所示， S MOB=12 8 |-6|=24， S 四边形 OCDB=S OBC+S BCD=12 8 3+12 32 4=15， 24 815 5M OB OCDBSS 四 形
22、边. 24.如图， O 是 ABC 的外接圆， P 是 O 外的一点， AM 是 O 的直径， PAC= ABC (1)求证： PA 是 O 的切线； (2)连接 PB 与 AC 交于点 D，与 O 交于点 E， F为 BD 上的一点，若 M 为 弧 BC 的中点，且DCF= P，求证： B D F D C DP D E D A D. 解析： (1)连接 CM，根据圆周角定理得出 PAC= ABC， M= ABC，得出 PAC= M，由M+ MAC=90，得出 PAC+ MAC=90，即： MAP=90，就可证得结论； (2)连接 AE，根据垂径定理得出 AM BC，进而得出 AP BC，得出
23、 ADP CDB，根据相似三角形的性质得出 BD CDPD AD，然后证得 ADE CDF，得出 CD FDDA ED，从而证得B D F D C DP D E D A D. 答案 ： (1)连接 CM， PAC= ABC， M= ABC， PAC= M， AM 是直径， M+ MAC=90， PAC+ MAC=90， 即： MAP=90， MA AP， MA AP， PA 是 O 的切线； (2)连接 AE， M 为 BC 中点， 弧 AM 为 O 的直径， AM BC， AM AP， AP BC， ADP CDB， BD CDPD AD， AP BC， P= CBD， CBD= CAE，
24、P= DCF， DCF= CAE， ADE= CDF， ADE CDF， CD FDDA ED， B D F D C DP D E D A D. 25.已知：抛物线 y=x2+(2m-1)x+m2-1 经过坐标原点，且当 x 0 时， y 随 x的增大而减小 . (1)求抛物线的解析式，并写出 y 0 时，对应 x 的取值范围； (2)设点 A 是该抛物线上位于 x 轴下方的一个动点，过点 A作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 D，再作 AB x 轴于点 B， DC x 轴于点 C. 当 BC=1 时，直接写出矩形 ABCD 的周长； 设动点 A 的坐标为 (a， b)，将矩形 ABCD 的周
25、长 L 表示为 a 的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值？如果存在，求出这个最大值，并求出此时点 A 的坐标；如果不存在，请说明理由 . 解析： (1)根据待定系数法，可得函数解析式，根据函数的增减性，可得符合条件的函数解析式，根据函数与不等式的关系，可得答案； (2)根据 BC 关于对称轴对称，可得 A 点的纵坐标，根据矩形的周长公式，可得答案； 分类讨论 A 在对称轴左侧， A 在对称轴右侧，根据对称，可得 BC 的长， AB 的长，根据周长公式，可得函数解析式，根据函数的增 减性，可得答案 . 答案 ： (1)抛物线 y=x2+(2m-1)x+m2-1 经过坐标原点 (0
26、， 0)， m2-1=0， m= 1 y=x2+x 或 y=x2-3x， 当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小， y=x2-3x，由函数与不等式的关系，得 y 0 时， 0 x 3. (2)如图 1， 当 BC=1 时，由抛物线的对称性，得点 A 的纵坐标为 -2，矩形的周长为 6； A 的坐标为 (a， b)，当点 A 在对称轴左侧时，如图 2， 矩形 ABCD 的一边 BC=3-2a，另一边 AB=3a-a2， 周长 L=-2a2+2a+6.其中 0 a 32，当 a=12时， L 最大 =132， A 点坐标为 (12， -54)， 当点 A 在对称轴右侧时如图 3， 矩形的一边 BC=3-(6-2a)=2a-3，另一边 AB=3a-a2， 周长 L=-2a2+10a-6，其中 32 a 3，当 a=52时， L 最大 =132， A 点坐标为 (52， -54)； 综上所述：当 0 a 32时， L=-2(a-12)2+132， 当 a=12时， L 最大 =132， A 点坐标为 (12， -54)， 当 32 a 3 时， L=-2(a-52)2+132， 当 a=52时， L 最大 =132， A 点坐标为 (52， -54).
