1、MPA公共管理硕士综合知识数学概率论（随机变量的数字特征）-试卷 1及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、数学部分(总题数：31，分数：56.00)1.选择题_2.设连续型随机变量 X的密度函数为 p(x)，则当( )时， - + p(x)dx称其为随机变量 X的数学期望（分数：2.00）A. - + xp(x)dx收敛B.p(x)为有界函数C.D. - + xp(x)dx，绝对收敛3.X为正态分布的随机变量，概率密度 p(x)= （分数：2.00）A.2E(X 2 )一 1=1B.2D(X)+E(X) 2 =6C.4E(X 2 )=4D.2D(X)+1一 1=94.设离散型
2、随机变量 X仅取两个可能值：x 1 和 x 2 ，X 取值 x 1 的概率为 06，又知 E(X)=14，D(X)=024，则 X的分布律为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.两个随机变量 X和 Y，若 E(XY)=E(X).E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X).D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X和 Y独立D.X和 Y不独立6.一辆长途汽车送 20名乘客到 10个站，假设每一位乘客都等可能地在任一站下车，并且他们下车与否相互独立长途汽车只有当有人要下车时才停车，则该长途汽车停车次数 X的数学期望等于( )（分数：2.00）A.1-09 20B.
3、09 20C.1-01 20D.10(1-09 20 )7.设 X的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）A.=2，=2B.=-2，=2C.D.8.若随机变量 X服从泊松分布，随机变量 YB(3，06)，并且 P(X=0)=P(Y=1)，则 e -E(X) 等于( )（分数：2.00）A.0255B.0432C.0096D.02889.设一工人每月的收入服从指数分布，月平均收入 500元按规定月收入超过 800元应缴个人所得税，设此工人在一年内各月的收入相互独立，又设此工人每年有 X个月需缴个人所得税，则他平均每年需缴个人所得税的月份数为( )（分数：2.00）A.e -1.6B.12e
4、-1.6C.e -400000D.12e -40000010.设随机变量 X的密度函数为 f(x)= 则使 P(Xa)=P(Xa)成立的常数 a为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.填空题_12.随机变量 X在a，b上服从均匀分布，已知 XE(X)=D(X).X，则 a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量(2X+1)服从标准正态分布，则 E(X 2 )的值为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X的分布律为 P(X=k)= （分数：2.00）填空项 1:_15.有 10个球，球上分别标有“1”“2”，“3”，“10”的记号；另有 10个箱子，箱子
5、上也分别标有“1”，“2”，“10”的记号现将球放入箱中，每个箱中只能放一个球，当箱中的球号与该箱号相同时称为一个匹配，设 X表示匹配数，则 E(X)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X服从标准正态分布，则 E(X 2 +e X )= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X服从参数为 的泊松分布，且已知 E(X一 1)(X一 4)=0，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_18.已知 E(X)=一 1，D(X)=3，则 E3(X 2 一 2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_19.计算题_20.某足球彩票售价 1元，中奖率为 01，如果中奖则可得
6、 8元某人购买了若干张，如果它中奖 2张，则恰好不赚也不赔，求此人收益的期望值（分数：2.00）_21.设离散型随机变量 X服从参数为 2的泊松分布，Y=X 2 +X一 2，求 E(Y)（分数：2.00）_22.某网络公司一业务员的保底工资为 500元月，他还可以从联系成的营业额中提取 10按统计规律，每月联系成的营业额 X(元)服从参数为 10 -4 的指数分布求这个业务员每月工资的期望值（分数：2.00）_23.掷 6枚骰子，求点数之和的期望与方差（分数：2.00）_24.设随机变量 X的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_25.设随机变量 X的概率函数为 （分数：2.00）_26
7、.设随机变量 XB(1，p)(0p1)，求 E(X)和 D(X)（分数：2.00）_27.设随机变量 X的概率函数为 P(X=k)= （分数：2.00）_28.某产品的次品率为 01，质量检验员每天检验 4次，每次随机地取 10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于 1，就要调整设备用 X表示一天中调整设备的次数，试求 E(X)(设各产品是否为次品是相互独立的)（分数：2.00）_29.设随机变量 X的概率密度函数为 p(x)= （分数：2.00）_30.求参数为 n，p 的二项分布 X的数学期望和方差（分数：2.00）_31.求指数分布的数学期望和方差（分数：2.00）_MPA公共管理硕士综
8、合知识数学概率论（随机变量的数字特征）-试卷 1答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、数学部分(总题数：31，分数：56.00)1.选择题_解析：2.设连续型随机变量 X的密度函数为 p(x)，则当( )时， - + p(x)dx称其为随机变量 X的数学期望（分数：2.00）A. - + xp(x)dx收敛B.p(x)为有界函数C.D. - + xp(x)dx，绝对收敛 解析：解析：根据数学期望的定义求得3.X为正态分布的随机变量，概率密度 p(x)= （分数：2.00）A.2E(X 2 )一 1=1B.2D(X)+E(X) 2 =6C.4E(X 2 )=4D.2D(X)+1一
9、 1=9 解析：解析：根据正态分布的特点，有 XN(-1，4) 2D(X)+1一 1=24+21=94.设离散型随机变量 X仅取两个可能值：x 1 和 x 2 ，X 取值 x 1 的概率为 06，又知 E(X)=14，D(X)=024，则 X的分布律为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为随机变量 X的全部值的概率之和等于 1，所以 X取 x 2 的概率为 1-06=04于是 由题设 E(X)=14，D(X)=024，则 E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 =024+(14) 2 =22， 由期望的定义有 5.两个随机变量 X和 Y，若 E(XY)=E(X).E(Y)
10、，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X).D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y) C.X和 Y独立D.X和 Y不独立解析：解析：X 与 Y独立,X 与 Y互不相关，反之不真 E(XY)=E(X).E(Y) X与 Y互不相关6.一辆长途汽车送 20名乘客到 10个站，假设每一位乘客都等可能地在任一站下车，并且他们下车与否相互独立长途汽车只有当有人要下车时才停车，则该长途汽车停车次数 X的数学期望等于( )（分数：2.00）A.1-09 20B.09 20C.1-01 20D.10(1-09 20 ) 解析：解析：用 A k 表示“第 k位乘客在第 i站下车”，则 因 A 1 ，
11、A 2 ，A 20 相互独立，所以第 i站无人下车(因此不需要停车)的概率为 7.设 X的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）A.=2，=2B.=-2，=2C.D. 解析：解析： 这是期望 =一 2，方差 2 =2的正态分布的密度函数，所以有 =一 2， 8.若随机变量 X服从泊松分布，随机变量 YB(3，06)，并且 P(X=0)=P(Y=1)，则 e -E(X) 等于( )（分数：2.00）A.0255B.0432C.0096D.0288 解析：解析： 9.设一工人每月的收入服从指数分布，月平均收入 500元按规定月收入超过 800元应缴个人所得税，设此工人在一年内各月的收入相互独立
12、，又设此工人每年有 X个月需缴个人所得税，则他平均每年需缴个人所得税的月份数为( )（分数：2.00）A.e -1.6B.12e -1.6 C.e -400000D.12e -400000解析：解析：此工人月收入的概率密度函数为 所以此工人需缴税的概率 10.设随机变量 X的密度函数为 f(x)= 则使 P(Xa)=P(Xa)成立的常数 a为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：常数 a必定满足 0a1因此 P(Xa)= a 1 4x 3 dx=x 4 | a 1 =1一 a 4 ， P(Xa)= 0 a 4x 3 dx=a 4 由 1 一 a 4 =a 4 ， 11.填空题
13、_解析：12.随机变量 X在a，b上服从均匀分布，已知 XE(X)=D(X).X，则 a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：XE(X)=D(X).X，即 ，因而 E(X)=0，D(X)=1 由于 X是在a，b上服从均匀分布，所以13.设随机变量(2X+1)服从标准正态分布，则 E(X 2 )的值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为(2X+1)N(0，1)，14.设随机变量 X的分布律为 P(X=k)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：15.有 10个球，球上分别标有
14、“1”“2”，“3”，“10”的记号；另有 10个箱子，箱子上也分别标有“1”，“2”，“10”的记号现将球放入箱中，每个箱中只能放一个球，当箱中的球号与该箱号相同时称为一个匹配，设 X表示匹配数，则 E(X)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 因为 Xi服从 0-1分布，所以 由数学期望的性质，得16.设随机变量 X服从标准正态分布，则 E(X 2 +e X )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E(X 2 +e X )=E(X 2 )+E(e X )，而 E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 =1+0
15、=1， 17.设随机变量 X服从参数为 的泊松分布，且已知 E(X一 1)(X一 4)=0，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：随机变量 X服从参数为 的泊松分布，则 E(X)=， D(X)=， E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 = 2 + 由已知 E(X 一 1)(X-4)=E(X 2 一 5X+4)=E(X 2 )一 5E(X)+4 = 2 + 一 5+4= 2 -4+4=( 一 2) 2 =0， 解得 =218.已知 E(X)=一 1，D(X)=3，则 E3(X 2 一 2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
16、6）解析：解析：由于 E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 ，因此 E3(X 2 一 2)=3E(X 2 )一 2 =3D(X)+E(X) 2 一 2 =33+(一 1) 2 一 2 =619.计算题_解析：20.某足球彩票售价 1元，中奖率为 01，如果中奖则可得 8元某人购买了若干张，如果它中奖 2张，则恰好不赚也不赔，求此人收益的期望值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设他购了 n张，记 是中奖张数，X 是收益，则 X=8 一 n由条件知当 =2时 X=0，于是 n=16所求期望 E(X)=8E()一 16=8160116=一 32(元)解析：21.设离散型随机变量 X服从参数
17、为 2的泊松分布，Y=X 2 +X一 2，求 E(Y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(Y)=E(X 2 )+E(X)-2 X 服从 =2 的泊松分布，从而 E(X)=D(X)=2， 于是 E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 =6， 代入上式得 E(Y)=6+22=6)解析：22.某网络公司一业务员的保底工资为 500元月，他还可以从联系成的营业额中提取 10按统计规律，每月联系成的营业额 X(元)服从参数为 10 -4 的指数分布求这个业务员每月工资的期望值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所求即 01E(X)+500按指数分布的期望公式 )解析：23.掷 6枚骰子，
18、求点数之和的期望与方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 X i 是第 i个骰子的点数，则 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 ，X 6 相互独立，并且 X=X 1 +X 2 +X 3 +X 4 +X 5 +X 6 容易求出 E(X i )=35， D(X i )=3512， E(X)=6E(X i )=21， )解析：24.设随机变量 X的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 E(X)存在，且 E(x)= - + xf(x)dx= 0 1 x 2 dx+ 1 2 x(2一 x)dx = E(X 2 )= - + x 2 f(x)dx=
19、0 1 x 3 dx+ 1 2 x 2 (2一 x)dx = D(X)=E(X 2 )一E(X) 2 = )解析：25.设随机变量 X的概率函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)根据定义， E(X)=(一 3)02+003+305=09， E(X 2 )=(一 3) 2 02+0 2 03+3 2 05=63， E(3X 2 5)=E(3X 2 )+E(一 5)=3E(X 2 )一 5 =3635=1895=139 (2)根据方差的定义和(1)的计算结果， D(X)=E(XE(X) 2 =E(X-09) 2 =(一 39) 2 02+(一 09) 2 03+(21) 2 05
20、 =549 我们也可以用方差的另一个计算公式计算 D(X)： D(X)=E(X 2 )一E(X) 2 =63 一 09 2 =549 由方差的性质可知， D(一 2X+3)=D(一 2X)=(一 2) 2 D(X)=4549=2196)解析：26.设随机变量 XB(1，p)(0p1)，求 E(X)和 D(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 服从参数为 p的 01分布，因此其概率函数为 )解析：27.设随机变量 X的概率函数为 P(X=k)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 X的数学期望 令 i=k一 1，则有 为了求 D(X)，我们先来求 E(X 2 )： 再次令
21、 i=k一 1，则有 )解析：28.某产品的次品率为 01，质量检验员每天检验 4次，每次随机地取 10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于 1，就要调整设备用 X表示一天中调整设备的次数，试求 E(X)(设各产品是否为次品是相互独立的)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 X i =1表示第 i次检验时发现的次品数多于 1，因此需要调整设备，i=1，2，3，4，则 PX i =0=P第 i次检验时发现的次品数为 0或 1 =(09) 10 +C 10 1 (09) 9 01 =0736 1 PX i =1=1-0736 1=0263 9 故 X i B(1，0263 9)， E(X
22、 i )=0263 9， i=1，2，3，4 因为 X=X 1 +X 2 +X 3 +X 4 ， 则 E(X)=E(X 1 )+E(X 2 )+E(X 3 )+E(X 4 ) =40263 9=1055 6)解析：29.设随机变量 X的概率密度函数为 p(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 - + p(x)dx=1，得 再由 D(X)=1(因为密度函数为偶函数，故 E(X)=0)，得到 )解析：30.求参数为 n，p 的二项分布 X的数学期望和方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：XB(n，p)，X 的概率函数为 PX=k=C n k p k (1一 p) n-k ， 则 X的数学期望 =np1=np 为了求 D(X)，我们先求 E(X 2 )： )解析：31.求指数分布的数学期望和方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：参数为 的指数分布 X的概率密度函数为 则其数学期望为 E(X)= - + xp(x)dx = 0 + x.e -x dx 为了计算 D(X)，先计算 E(X 2 )： E(X 2 )= - + x 2 .p(x)dx = 0 + x 2 .e -x dx )解析：
