1、工程硕士（GCT）数学-试卷 65 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：26，分数：52.00)1.选择题（25 题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若 2a 2 +3a-b=4，则 （分数：2.00）A.2B.4C.8D.163.若(4x 2 -8xy+3y-9) 2 +|5x+3|=0，则 25(8xy-3y)+190 的值是( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.-14.一批零件共 1100 个，如果甲先做 5 天后，乙加入合做，再做 8 天正好完成，如果乙先做 5 天后，甲加入合做，再做 9 天也恰好
2、完成，则甲、乙两人每天各做的零件数分别是( )（分数：2.00）A.60,40B.60,60C.40,40D.40,605.在 500m 长的大街两侧从起点到终点每隔 25m 栽一棵树现有 A、B 两种树苗，若要求 A、B 两种树苗相间且 A 树苗要在大街两端，则需要 A、B 两种树苗的棵数分别为( )（分数：2.00）A.22,20B.20,22C.11,10D.10,116.已知二次函数 y=ax 2 -2ax+b 的图像与 x 轴的一个交点是 A(3,0)点，直线 y=-x+b 经过点 A该二次函数的表达式为( )（分数：2.00）A.y=-x 2 +2x+3B.y=x 2 -2x+3C
3、.y=-x 2 +2x-3D.y=x 2 -2x-37.某种考试要在指定的三门课程中随机选取两门，两门都及格者为考试通过若某人对三门指定课程考试及格的概率分别是 0.5,0.6 和 0.9，则此人考试通过的概率是( )（分数：2.00）A.0.3B.0.45C.0.54D.0.438.i 是虚数单位，6R，已知 Re(b+i)=0，Im(b+i) 2 0，则 b=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.如果 a 1 ,a 2 ,a n 为正数的等差数列，且公差 d0，则( )（分数：2.00）A.a 1 a 8 a 4 a 5B.a 1 a 8 a 4 a 5C.a 1 +a 8 a 4
4、 +a 5D.a 1 a 8 =a 4 a 510.设 0a1，函数 f(x)=log a (a2 x -2a x -2)，则 f(x)0 的充分必要条件是 x( )（分数：2.00）A.(-,0)B.(0,+)C.(-,log a 3)D.(log a 3,+)11.不等式 （分数：2.00）A.(-1,0)(1,+)B.(-,-1)(0,1)C.(-1,0)(0,1)D.(-,-1)(1,+)12.函数 的最大值是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.13.过点 A(7,2)作圆 x 2 +y 2 +2x-4y-95=0 的弦，其中弦长为整数的共有( )（分数：2.00）A.8 条B.
5、9 条C.16 条D.18 条14.已知双曲线 (a0,b0)右焦点为 F，右准线 l 与两条渐近线分别交于 P 和 Q 点若PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率 e=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.15.如图，矩形 ABCD 中，由 8 个面积均为 1 的小正方形组成的 L 型模板如图放置，则矩形 ABCD 的周长为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.16.一个圆柱形的饮料瓶如题 15 图所示，其容积为 300mL现瓶内装有一些饮料该瓶正放时，饮料高度为 20cm，若该瓶倒放时，空余部分的高度为 5cm，瓶内现有饮料的体积为( )cm 3 （分数：2.00）A.160B.2
6、00C.240D.28017.设 f(x)在(-,+)内有定义，且则 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.18.曲线 有公切线，则 a=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.19.设函数 f(x)为可导函数，且 f(x)严格单调递增，则 （分数：2.00）A.有极大值B.有极小值C.单调增加D.单调减少20. （分数：2.00）A.B.C.D.21.设 （分数：2.00）A.I=aB.I=0C.I=+D.无法确定 I 的值22.设在a,b上 f(x)0，且在(a,b)内 f(x)0，f(x)0，记 I 1 =(b-a)f(b)，I 2 = （分数：2.00）A.I 1 I 3 I 2B
7、.I 1 I 2 I 3C.I 1 I 3 I 2D.I 3 I 1 I 223. （分数：2.00）A.B.C.D.24.对于齐次线性方程组 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.425.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关，且 1 能被 1 , 2 , 3 线性表出，而 2 不能被 1 , 2 , 3 线性表出则( )（分数：2.00）A. 1 , 2 , 1 线性相关B. 1 , 2 , 2 线性相关C. 1 , 2 , 1 , 2 线性相关D. 1 , 2 , 3 , 1 + 2 线性无关26.设三阶矩阵 （分数：2.00）A.6B.18C.-6D.-8工程硕士（GCT）数学-试卷
8、 65 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：26，分数：52.00)1.选择题（25 题）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若 2a 2 +3a-b=4，则 （分数：2.00）A.2B.4C.8 D.16解析：解析： 故选 C 另解：特殊值代入法取 a=1，b=1，则 2a 2 +3a-b=4，且 3.若(4x 2 -8xy+3y-9) 2 +|5x+3|=0，则 25(8xy-3y)+190 的值是( )（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.-1解析：解析：由(4x 2 -8xy+3y-9) 2 +|5x+
9、3|=0，可知 4.一批零件共 1100 个，如果甲先做 5 天后，乙加入合做，再做 8 天正好完成，如果乙先做 5 天后，甲加入合做，再做 9 天也恰好完成，则甲、乙两人每天各做的零件数分别是( )（分数：2.00）A.60,40 B.60,60C.40,40D.40,60解析：解析：设甲、乙每天各做的零件数分别为 x,y，则5.在 500m 长的大街两侧从起点到终点每隔 25m 栽一棵树现有 A、B 两种树苗，若要求 A、B 两种树苗相间且 A 树苗要在大街两端，则需要 A、B 两种树苗的棵数分别为( )（分数：2.00）A.22,20 B.20,22C.11,10D.10,11解析：解析
10、：每侧共需栽树6.已知二次函数 y=ax 2 -2ax+b 的图像与 x 轴的一个交点是 A(3,0)点，直线 y=-x+b 经过点 A该二次函数的表达式为( )（分数：2.00）A.y=-x 2 +2x+3 B.y=x 2 -2x+3C.y=-x 2 +2x-3D.y=x 2 -2x-3解析：解析：因为直线 y=-x+b 过点 A(3,0)，所以 b=3将点 A(3,0)的坐标代入 y=ax 2 -2ax+6 得 9a-6a+3=0，解得 a=-1 所以二次函数解析式为 y=-x 2 +2x+3 故选(A)7.某种考试要在指定的三门课程中随机选取两门，两门都及格者为考试通过若某人对三门指定课
11、程考试及格的概率分别是 0.5,0.6 和 0.9，则此人考试通过的概率是( )（分数：2.00）A.0.3B.0.45C.0.54D.0.43 解析：解析：记考试及格率为 0.5,0.6 和 0.9 的课程分别为 A、B、C 该考生选定 A、B 课程考试通过的概率为 0.50.6=0.3， 选定 B、C 课程考试通过的概率为 0.60.9=0.54， 选定 A、C 课程考试通过的概率为 0.50.9=0.45， 该考生选取 A、B 或 A、C 或 B、C 课程的概率均为 故该考生考试通过的概率为8.i 是虚数单位，6R，已知 Re(b+i)=0，Im(b+i) 2 0，则 b=( ) （分数
12、：2.00）A.B. C.D.解析：解析：b 是实数(b+i) 2 =b 2 -1+2bi，由 Re(b+i) 2 =0，即得 b 2 -1=0，解出 b=1 或 b=-1，再由 Im(b+i) 2 0，即得 2b0，所以 b=1故应选 B9.如果 a 1 ,a 2 ,a n 为正数的等差数列，且公差 d0，则( )（分数：2.00）A.a 1 a 8 a 4 a 5B.a 1 a 8 a 4 a 5 C.a 1 +a 8 a 4 +a 5D.a 1 a 8 =a 4 a 5解析：解析：a n 为正数的等差数列，所以 a 1 0，且 d0 10.设 0a1，函数 f(x)=log a (a2
13、x -2a x -2)，则 f(x)0 的充分必要条件是 x( )（分数：2.00）A.(-,0)B.(0,+)C.(-,log a 3) D.(log a 3,+)解析：解析：因为 0a1，所以 11.不等式 （分数：2.00）A.(-1,0)(1,+) B.(-,-1)(0,1)C.(-1,0)(0,1)D.(-,-1)(1,+)解析：解析：将原不等式写成12.函数 的最大值是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：13.过点 A(7,2)作圆 x 2 +y 2 +2x-4y-95=0 的弦，其中弦长为整数的共有( )（分数：2.00）A.8 条B.9 条C.16 条 D.
14、18 条解析：解析：圆方程写成(x+1) 2 +(y-2) 2 =100圆心为(-1,2)，半径 r=10(7,2)代入方程左边得 (7+1) 2 +(2-2) 2 =64100 所以 A 在圆内过 A 最长的弦为过 A 的直径，弦长为 20，最短的弦为过 A 与最长弦(直径)垂直的弦，其弦长为 14.已知双曲线 (a0,b0)右焦点为 F，右准线 l 与两条渐近线分别交于 P 和 Q 点若PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率 e=( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：15.如图，矩形 ABCD 中，由 8 个面积均为 1 的小正方形组成的 L 型模板如图放置，则矩形 AB
15、CD 的周长为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：设BAE=，则 AB=4cos，BC=4sin+4cos16.一个圆柱形的饮料瓶如题 15 图所示，其容积为 300mL现瓶内装有一些饮料该瓶正放时，饮料高度为 20cm，若该瓶倒放时，空余部分的高度为 5cm，瓶内现有饮料的体积为( )cm 3 （分数：2.00）A.160B.200C.240 D.280解析：解析：设圆柱形瓶的底面积为 S(cm 2 )如题 15 图(1)瓶内现有饮料的体积为 20S(cm 3 )由图(2)瓶内空余部分的体积为 5S(cm 3 ) 17.设 f(x)在(-,+)内有定义，且则 （分数：2.
16、00）A.0B.1C.2 D.解析：解析：18.曲线 有公切线，则 a=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：19.设函数 f(x)为可导函数，且 f(x)严格单调递增，则 （分数：2.00）A.有极大值B.有极小值C.单调增加 D.单调减少解析：解析：20. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：21.设 （分数：2.00）A.I=a B.I=0C.I=+D.无法确定 I 的值解析：解析：利用积分中值定理和重要极限可得22.设在a,b上 f(x)0，且在(a,b)内 f(x)0，f(x)0，记 I 1 =(b-a)f(b)，I 2 = （分数：2.00）A.I 1
17、 I 3 I 2B.I 1 I 2 I 3C.I 1 I 3 I 2 D.I 3 I 1 I 2解析：解析：23. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：24.对于齐次线性方程组 （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：这是一个三个方程三个未知数的齐次方程组，由系数矩阵的行列式来判断它的解比较方便设 Ax=025.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关，且 1 能被 1 , 2 , 3 线性表出，而 2 不能被 1 , 2 , 3 线性表出则( )（分数：2.00）A. 1 , 2 , 1 线性相关B. 1 , 2 , 2 线性相关C. 1 , 2 , 1 , 2 线性相关D. 1 , 2 , 3 , 1 + 2 线性无关 解析：解析：因 1 , 2 , 3 线性无关，而 1 能被 1 , 2 , 3 线性表出设 1 =k1 1 +k2 2 +k3 3 对下面的矩阵施行初等列变换 26.设三阶矩阵 （分数：2.00）A.6B.18C.-6 D.-8解析：解析：由于已知 AB，故 A 与召有相同的特征值。由|E-A|= 知矩阵 A 至少有一个特征值 1 =2
