1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）-试卷 3及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、逻辑推理(总题数：40，分数：74.00)1.单项选择题_2.设 n阶方阵 A，B，C 满足 ABC=I，I 表示相应的单位矩阵，则下列各式中必成立的是( )。（分数：2.00）A.ACB=IB.CBA=IC.BAC=ID.BCA=I3.设 A为 N阶非零矩阵，E 为 n阶单位矩阵，若 A 3 =O，则( )。（分数：2.00）A.EA不可逆，E+A 可逆B.EA不可逆，E+A 也不可逆C.EA可逆，E+A 可逆D.EA可逆，E+A 不可逆4.设 A，B，A+B，A -1 +B -1
2、 均为 n阶可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 =( )。（分数：2.00）A.A+BB.A -1 +B -1C.A(A+B) -1 BD.(A+B) -15. （分数：2.00）A.AP 1 P 2B.AP 1 P 3C.AP 3 P 1D.AP 2 P 36.设 A，B 为 n阶矩阵，A*，B*分别为 A，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵 ，则 C的伴随矩阵 C*=( )。（分数：2.00）A.B.C.D.7.设矩阵 B= （分数：2.00）A.2B.3C.4D.58.设 A是任一 n(n3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又 k为常数，且 k0，1，则必有(kA) * =( )。（分数：
3、2.00）A.kA*B.k n-1 A*C.k n A*D.k -1 A*9.设 A，P 均为 3阶矩阵，P T 为 P的转置矩阵，且 p T AP= 若 P=( 1 ， 2 ， 3 )，Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3 )，则 Q T AQ为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 A是三阶方阵，将 A的第 1列与第 2列交换得 B，再把 B的第 2列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C的可逆矩阵 Q为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.11.设 A，B，C 均为 n阶矩阵，E 为 n阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 BC为( )。（分数：2.00）A.E
4、B.一 EC.AD.一 A12.设 A和 B均为 n阶矩阵(n1)，m 是大于 1的整数，则必有( )。（分数：2.00）A.(AB) T =A T B TB.(AB) m =A m B mC.|AB T |=|A T |B T |D.|A+B|=|A|+|B|13.设矩阵 A= ，E 为单位矩阵，BA=B+2E，则 B=( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.14.填空题_15.已知 =(1，2，3)， （分数：2.00）填空项 1:_16.ABB=A，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_17.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 n为向量 =(a，0，0，a) T
5、，a0；E 为 n阶单位矩阵，矩阵 A=E一 T ，B=E+ （分数：2.00）填空项 1:_19.若 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 A，B 均为 n阶矩阵，且满足 A 2 一 2AB=E，则 r(ABBA+A)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_22.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_23.设 A 2 一 BA=E，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_24.设 XA=A T +X，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_25.计算题_26.设 A= （分数：2.00）_27.已知 A= （分数：2.00）
6、_28.已知矩阵 A=P -1 BP，B= （分数：2.00）_29.设矩阵 A满足(2EC -1 B)A T =C -1 ，其中 E是单位矩阵，且 （分数：2.00）_30.确定 k为何值时，矩阵 （分数：2.00）_31.求矩阵 （分数：2.00）_32.设 A为 n(n2)阶方阵，证明 r(A)= （分数：2.00）_33.已知 n阶矩阵 A满足关系式 A 2 +2A一 3E=0，求(A+4E) -1 。（分数：2.00）_34.设矩阵 A可逆，且 A的每一行元素之和均等于常数 a，试证：(1)a0； (2)A -1 的每行元素之和都等于 （分数：2.00）_35.设 ， 为 3维列向量
7、，矩阵 A= T + T ，其中 T ， T 分别是 ， 的转置，证明： (1)r(A)2 (2)若 ， 线性相关，则 r(A)2。（分数：2.00）_36.设矩阵 A的伴随矩阵 （分数：2.00）_37.设 A为 n阶可逆矩阵， 为 n维列向量，b 为常数，记分块矩阵 （分数：2.00）_38.设 A是 n阶反对称矩阵，证明(EA)(E+A) -1 是正交矩阵。（分数：2.00）_39.已知 A，B 均是 n阶矩阵，A 2 =A，B 2 =B，(A+B) 2 =A+B，证明 AB=0。（分数：2.00）_40.某企业对其职工进行分批脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调 30的人参加培训，而参加
8、培训的职工中有 60的人结业回岗，假设现有在岗职工 800人，参加培训人员是 200人，试问两年后在岗与脱产培训职工各有多少人(假设职工人数不变)?（分数：2.00）_经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）-试卷 3答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、逻辑推理(总题数：40，分数：74.00)1.单项选择题_解析：2.设 n阶方阵 A，B，C 满足 ABC=I，I 表示相应的单位矩阵，则下列各式中必成立的是( )。（分数：2.00）A.ACB=IB.CBA=IC.BAC=ID.BCA=I 解析：解析：由 ABC=I，则(A)(BC)=I，即 BCA=I，即应选择 D。
9、3.设 A为 N阶非零矩阵，E 为 n阶单位矩阵，若 A 3 =O，则( )。（分数：2.00）A.EA不可逆，E+A 可逆B.EA不可逆，E+A 也不可逆C.EA可逆，E+A 可逆 D.EA可逆，E+A 不可逆解析：4.设 A，B，A+B，A -1 +B -1 均为 n阶可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 =( )。（分数：2.00）A.A+BB.A -1 +B -1C.A(A+B) -1 B D.(A+B) -1解析：5. （分数：2.00）A.AP 1 P 2B.AP 1 P 3 C.AP 3 P 1D.AP 2 P 3解析：6.设 A，B 为 n阶矩阵，A*，B*分别为 A，
10、B 对应的伴随矩阵，分块矩阵 ，则 C的伴随矩阵 C*=( )。（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于 所以当 A可逆时，A*=|A|A -1 。 7.设矩阵 B= （分数：2.00）A.2B.3C.4 D.5解析：解析：因为矩阵 A相似与矩阵 B，所以存在可逆矩阵 P，使得 B=P -1 AP，从而 B一 2E=P -1 (A一2E)P，BE=P -1 (AE)P 即 B一 2E与 A一 2E相似，BE 与 AE相似， 由于相似矩阵具有相同的秩， 8.设 A是任一 n(n3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又 k为常数，且 k0，1，则必有(kA) * =( )。（分数：2.00）A
11、.kA*B.k n-1 A* C.k n A*D.k -1 A*解析：9.设 A，P 均为 3阶矩阵，P T 为 P的转置矩阵，且 p T AP= 若 P=( 1 ， 2 ， 3 )，Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3 )，则 Q T AQ为( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：10.设 A是三阶方阵，将 A的第 1列与第 2列交换得 B，再把 B的第 2列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C的可逆矩阵 Q为( )。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：11.设 A，B，C 均为 n阶矩阵，E 为 n阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 BC为( )。（分数：2.
12、00）A.E B.一 EC.AD.一 A解析：12.设 A和 B均为 n阶矩阵(n1)，m 是大于 1的整数，则必有( )。（分数：2.00）A.(AB) T =A T B TB.(AB) m =A m B mC.|AB T |=|A T |B T | D.|A+B|=|A|+|B|解析：13.设矩阵 A= ，E 为单位矩阵，BA=B+2E，则 B=( )。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：14.填空题_解析：15.已知 =(1，2，3)， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：16.ABB=A，其中 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
13、确答案：*）解析：17.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：18.设 n为向量 =(a，0，0，a) T ，a0；E 为 n阶单位矩阵，矩阵 A=E一 T ，B=E+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=一 1）解析：19.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：20.设 A，B 均为 n阶矩阵，且满足 A 2 一 2AB=E，则 r(ABBA+A)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n）解析：21.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解
14、析：22.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=4 或 x-5）解析：23.设 A 2 一 BA=E，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：24.设 XA=A T +X，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：25.计算题_解析：26.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 其中 =(11 2) T ，=(11 1) T 因为 T T =4=l 则 A n =( T T )( T T )( T T )( T T ) = T ( T T )( T T ) T =l n-1
15、( T T ) )解析：27.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A=E+J，其中 J= 。而 进而知 J 4 =J 5 =0 于是 A n =(E+J) n = n E+C n 1 n-1 J+C n 2 n-2 J 2 ， )解析：28.已知矩阵 A=P -1 BP，B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： A n =(P -1 BP)(P -1 BP)(P -1 BP)(P -1 BP)=P -1 B n P )解析：29.设矩阵 A满足(2EC -1 B)A T =C -1 ，其中 E是单位矩阵，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由所给方程知
16、 2EC 1 B可逆，用(2EC 1 B) -1 左乘所给等式，即可得： A T =(2EC -1 B) -1 C -1 =C(2EC -1 B) -1 =(2CB) -1 下面用初等行变换法来求(2CB) -1 ： )解析：30.确定 k为何值时，矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 可逆知，|A|= =1k(一 1)=一 k 故当 k0 时， )解析：31.求矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：第一步，锁定目标。AA*=|A|E,A*=|A|A -1 第二步，求行列式。 第三步，求逆矩阵。 第四步，求伴随矩阵。 )解析：32.设 A为 n(n2)阶方阵，证明 r(
17、A)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 r(A)=n时，|A|0，故由|A*|=|A| n-1 0，知 r(A*)=n (2)当 r(A)=n一1时，A 中的非零子式最高阶为 n一 1，故一方面|A|=0，另一方面 A*0，由|A|=0 可知 A*A=|A|E=0，因此矩阵 A的每一列都是齐次线性方程组 A*x=0的解向量。因为 r(A)=n一 1，知 A的列向量组中有 n一 1个是线性无关的，故方程组 A * x=0的基础解析不少于 n 一 1个，即 nr(A*)n1，即地道 r(A*)1；又由 A*0 得 r(A*)1。 综上 r(A*)=1 (3)当 r(A)n 一
18、1时，则 A的 n一 1阶子式全为 0，即 A的每个元素的余子式都为 0，从而有 r(A*)=0。)解析：33.已知 n阶矩阵 A满足关系式 A 2 +2A一 3E=0，求(A+4E) -1 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题的方法在于分解出因子 A+4E，由 A 2 +2A一 3E=0，当要提取出 A+4E时，另外一项必为 A一 2E(因为(4+4E)(A 一 2E)乘出来后刚好含有 A 2 +2A) (A+4E)(A一 2E)+8E一 3E=0 )解析：34.设矩阵 A可逆，且 A的每一行元素之和均等于常数 a，试证：(1)a0； (2)A -1 的每行元素之和都等于 （分数
19、：2.00）_正确答案：(正确答案： 若 a=0，则|A|=0，与 A可逆矛盾故 a0。 (2)令 A=( 1 ， 2 ， n )，A -1 =( 1 ， 2 ， n )，E=(e 1 ，e 2 ，e n ) 因为 A -1 A=E，所以有 A -1 j =e j (j=1，2，n) 于是 A -1 1 +A -1 2 +A -1 n =A -1 ( 1 + 2 + n )=e 1 +e 2 +e n ， )解析：35.设 ， 为 3维列向量，矩阵 A= T + T ，其中 T ， T 分别是 ， 的转置，证明： (1)r(A)2 (2)若 ， 线性相关，则 r(A)2。（分数：2.00）_正
20、确答案：(正确答案：(1)因为 ， 为 3维列向量，那么 T ， T 都是 3阶矩阵，且 r( T )1 r( T )1， 故 r(A)=r( T + T )r( T )+r( T )2 (2)若 ， 线性相关，在存在不全为 0的实数 k 1 ，k 2 ，使得 k 1 +k 2 =0。 不妨设 k 2 0，则有 =k， 那么r(A)=r T +(k)(k) T =r(1+k 2 ) T =r( T )12。)解析：36.设矩阵 A的伴随矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|A*|=|A| n-1 可得|A| 3 =8，得|A|=2。 用 A右乘矩阵方程的两边可得：AB=B+3A，
21、从而 (AE)B=3A 因为 A*A=|A|E，用 A*左乘上式的两端，并把|A|=2 代入，有 A*(AE)B=3A*A,(2EA*)B=6E 于是 B=6(2EA*) -1 )解析：37.设 A为 n阶可逆矩阵， 为 n维列向量，b 为常数，记分块矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)因为|PQ|是一个特殊的 2 2分块矩阵形式的行列式，故 =|A|. T A*+b|A|=|A|.(一 T A*+b|A|) )解析：38.设 A是 n阶反对称矩阵，证明(EA)(E+A) -1 是正交矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(EA)(E+A) -1 (EA)(E+A
22、) -1 T =(EA)(E+A)一 1(E+A) -1 T (EA) T =(EA)(E+A)-1(E+A) T -1(EA) T =(EA)(E+A)一 1(E+A T )一 1(EA T ) =(EA)(E+A)一 1(E一 A)一 1(E+A) =(EA)(EA)(E+A) -1 (E+A) 由于(EA)(E+A)=EA 2 =(E+A)(EA) 所以上式可变化为： (EA)(EA)(E+A) -1 1(E+A)=(EA)(E+A)(EA)-1(E+A) =(EA)(E一 A)一 1(E+A)一1(E+A)=E 同理可证(EA)(E+A) -1 T (EA)(E+A) -1 =E 所以
23、(EA)(E+A) -1 是正交矩阵。)解析：39.已知 A，B 均是 n阶矩阵，A 2 =A，B 2 =B，(A+B) 2 =A+B，证明 AB=0。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(A+B) 2 =A 2 +B 2 +AB+BA=A+B=A 2 +B 2 可得 AB+BA=0 对得到的等式两边分别用 A左乘和右乘，并把 A 2 =A代入，得 AB+ABA=0ABA+BA=0。 两式相减，有 ABBA=0 即 )解析：40.某企业对其职工进行分批脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调 30的人参加培训，而参加培训的职工中有 60的人结业回岗，假设现有在岗职工 800人，参加培训人员是 200人，试问两年后在岗与脱产培训职工各有多少人(假设职工人数不变)?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 x i ，y i 分别表示 i年后在岗和脱产职工的人数，x 0 ，y 0 为目前在岗与脱产的人数，则 x i =07x i-1 +06y i-1 ， y i =03x i-1 +04y i-1 )解析：
