1、考研数学（数学二）模拟试卷 423 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.把当 0 时的无穷小量 ln(1 2 )ln(1 4 )， （分数：2.00）A.，B.，C.，D.，3.设 f()是(，)上的连续奇函数，且满足f()M，其中常数 M0，则函数 F() 0 t （分数：2.00）A.有界奇函数B.有界偶函数C.无界偶函数D.无界奇函数4.设 f()，g()二阶可导，又 f(0)0，g(0)0，f(0)0，g(0)0，令 F() 0 f(t)g(t
2、)dt，则（分数：2.00）A.0 是函数 F()的极小值点B.0 是函数 F()的极大值点C.(0，F(0)是曲线 yF()的拐点但 0 不是 F()的极值点D.0 不是函数 F()的极值点，(0，F(0)也不是曲线 yF()的拐点5.设函数 f()在区间(1，1)内二次可导，已知 f(0)0，f(0)1，且 f()0 当 (1，1)时成立，则（分数：2.00）A.当 (1，0)时 f()，而当 (0，1)时 f()B.当 (1，0)时 f()，而当 (0，1)时 f()C.当 (1，0)与 (0，I)时都有 f()D.当 (1，0)与 (0，1)时都有 f()6.下列函数在指定区间上不存在
3、原函数的是（分数：2.00）A.f() 0 tdt，1，2B.C.D.7.设 f(，y)有连续的偏导数且 f(，y)(yddy)为某一函数 u(，y)的全微分，则下列等式成立的是（分数：2.00）A.B.C.D.8.3 阶实对称矩阵 A 相似于矩阵 （分数：2.00）A.0B.1C.12D.19.已知向量组 1 ， 2 ， 3 和 1 ， 2 ， 3 ， 4 都是 4 维实向量，其中 r( 1 ， 2 ， 3 )2，r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )1，并且每个 i 与 1 ， 2 ， 3 都正交则r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4二、填空题(总题
4、数：6，分数：12.00)10.设曲线厂的极坐标方程为 re ，则 在点( （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_12.设 yf()二阶可导，f()0，它的反函数是 (y)，又 f(0)1，f(0) ，f(0)1，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 ysin 4 ，则 y (n) 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(，y) （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 A 是 3 阶矩阵，A 的特征值为 1，2，3则(A * ) * 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解
5、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设函数 f()在 1 的某邻域内连续，且有 4 ()求 f(1)， （分数：2.00）_18.设有抛物线 C 1 ： 2 ay 和圆 C 2 ： 2 y 2 2y ()确定 a 的取值范围，使得 C 1 ，C 2 交于三点 O，M，P(如图)； ()求抛物线 C 1 与弦 MP 所围平面图形面积 S(a)的最大值； ()求上述具有最大面积的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体体积 V （分数：2.00）_19.设 f(t)连续，区域 D，y)1，y1，求证： （分数：2.00）_20.设 1ab，函数 f()ln 2 ，求证 f
6、()满足不等式 ()0f()2(1) ()f()f(b)2f （分数：2.00）_21.一质量为 M、长为 l 的均匀杆 AB 吸引着一质量为 m 的质点 C，此质点 C 位于杆 AB 的中垂线上，且与AB 的距离为 a试求： ()杆 AB 与质点 C 的相互吸引力； ()当质点 C 在杆 AB 的中垂线上从点 C 沿 y轴移向无穷远处时，克服引力所做的功（分数：2.00）_22.求 f(，y，z)yz 2 5 在区域力： 2 y 2 z 2 2 上的最大值与最小值（分数：2.00）_23.()设 f()在(0，)可导，f()0(0，)，求证 f()在(0，)单调上升 ()求证：f() 在(0
7、，)单调上升，其中 n 为正数 ()设数列 n ，求 （分数：2.00）_24.已知四元齐次方程组() （分数：2.00）_25.已知 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A 1 1 3 2 3 3 ，A 2 4 1 4 2 3 ，A 3 2 1 3 3 求 A 的特征值 求 A 的特征向量 求 A * 6E 的秩（分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 423 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.把
8、当 0 时的无穷小量 ln(1 2 )ln(1 4 )， （分数：2.00）A.，B.，C.， D.，解析：解析：我们分别确定当 0 时，、 分别是 的几阶无穷小当 0 时 ln(1 2 )ln(1 4 ) 2 ， 因为 ln(1 2 ) 2 ，ln(1 4 ) 4 0( 2 ) 可知 0 时， 3.设 f()是(，)上的连续奇函数，且满足f()M，其中常数 M0，则函数 F() 0 t （分数：2.00）A.有界奇函数 B.有界偶函数C.无界偶函数D.无界奇函数解析：解析：首先，由于被积函数 t f(t)是(，)上的偶函数，故 F()是(，)上的奇函数其次，对任何 0，有4.设 f()，g(
9、)二阶可导，又 f(0)0，g(0)0，f(0)0，g(0)0，令 F() 0 f(t)g(t)dt，则（分数：2.00）A.0 是函数 F()的极小值点B.0 是函数 F()的极大值点C.(0，F(0)是曲线 yF()的拐点但 0 不是 F()的极值点 D.0 不是函数 F()的极值点，(0，F(0)也不是曲线 yF()的拐点解析：解析：先求导数 F()f()g() F(0)0 再求二阶导数 F()f()g()f()g() F(0)0 于是还要考察 F()在 0 处的三阶导数： F()f()g()2f()g()f()g()5.设函数 f()在区间(1，1)内二次可导，已知 f(0)0，f(0
10、)1，且 f()0 当 (1，1)时成立，则（分数：2.00）A.当 (1，0)时 f()，而当 (0，1)时 f()B.当 (1，0)时 f()，而当 (0，1)时 f()C.当 (1，0)与 (0，I)时都有 f()D.当 (1，0)与 (0，1)时都有 f() 解析：解析：由题设知，曲线 yf()在原点处的切线方程为 y，而曲线 yf()在区间(1，1)内是凸弧由凸弧与其上某点处的切线的位置关系即知结论 D 正确，故应选 D6.下列函数在指定区间上不存在原函数的是（分数：2.00）A.f() 0 tdt，1，2B.C.D. 解析：解析：选项 A、B 中的函数在给定区间上均连续，因而存在原
11、函数选项 C、D 中的函数除点 0外均连续，0 是它们的间断点不同的是，选项 C 中点 0 是函数 f()的第二类间断点，选项 D中 0 是函数 f()的第一类间断点，指定的区间均含 0因此选 D7.设 f(，y)有连续的偏导数且 f(，y)(yddy)为某一函数 u(，y)的全微分，则下列等式成立的是（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由已知 duf(，y)ydf(，y)dy 由于它们均连续8.3 阶实对称矩阵 A 相似于矩阵 （分数：2.00）A.0 B.1C.12D.1解析：解析：A 的特征值为 3，2，1，A 2 AE 的特征值 12，6，A 2 AE 是正定矩阵的充分必要
12、条件为 A 2 AE 的特征值全大于 0，得 09.已知向量组 1 ， 2 ， 3 和 1 ， 2 ， 3 ， 4 都是 4 维实向量，其中 r( 1 ， 2 ， 3 )2，r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )1，并且每个 i 与 1 ， 2 ， 3 都正交则r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：构造矩阵 A( 1 ， 2 ， 3 )，则 i 都是与 1 ， 2 ， 3 正交说明 i 都是 4 元方程组 A T 0 解再由 r( 1 ， 2 ， 3 )2，得 r(A T )r(A)2，于是 A T 0的解集合的秩为 2，从而 r( 1 ，
13、2 ， 3 ， 4 )2二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设曲线厂的极坐标方程为 re ，则 在点( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*）解析：解析： 的参数方程是 点( )的直角坐标是 在此点的切线的斜率为 法线的斜率为 1，因此 在点( )处的法线方程为 y 11.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 0 时，由 0 知 是“1 ”型未定式，故 当 0 时，应用定积分定义求极限，有 12.设 yf()二阶可导，f()0，它的反函数是 (y)，又 f(0)1，f(0) ，f(0)1，则 （分数：2.00
14、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由反函数求导公式得 再由复合函数求导法得13.设 ysin 4 ，则 y (n) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：先用三角函数恒等式将 sin 4 分解 再由归纳法，有 14.设 f(，y) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.已知 A 是 3 阶矩阵，A 的特征值为 1，2，3则(A * ) * 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6，12，18）解析：解析：利用性质：可逆矩阵的行列式除以各特征值，就得到其伴随矩阵的各特
15、征值 A1(2)36，于是 A * 的特征值为6，3，2，A * 36则(A * ) * 的特征值为6，12，18三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设函数 f()在 1 的某邻域内连续，且有 4 ()求 f(1)， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由条件知 lnf(1)13sin 2 0 f(1)3sin 2 f(1)00 f(1)0 又在 0 的某空心邻域内 f(1)3sin 2 0，现利用等价无穷小因子替换：当 0 时， ln1f(1)3sin 2 f(1)3sin 2 ， ()方由
16、f(1) f()在 1 的某邻域内可导 )解析：18.设有抛物线 C 1 ： 2 ay 和圆 C 2 ： 2 y 2 2y ()确定 a 的取值范围，使得 C 1 ，C 2 交于三点 O，M，P(如图)； ()求抛物线 C 1 与弦 MP 所围平面图形面积 S(a)的最大值； ()求上述具有最大面积的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体体积 V （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 得 ayy 2 2y 解得 y0，y2a，由 0y2a2，可得0a2此时 C 1 与 C 2 的三交点是 0(0，0)，M( ，2a)，P( ，2a) ()由定积分的几何意义及对称性可得所论平面图形面积 S
17、(a) (0a2) 要使 S(a)最大，只要 f(a)a(2a) 3 最大(0a2)由于是 f(a)(2a) 3 3a(2a) 2 2(2a) 2 (12a) 时，f( )最大此时所求面积的最大值 S max ()由旋转体的体积计算公式可得所求旋转体的体积(圆柱体体积减去二倍抛物旋转体的体积)为 )解析：19.设 f(t)连续，区域 D，y)1，y1，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先将二重积分 I f(y)ddy 化为累次积分 I 1 1 d -1 1 f(y)dy 令 yt，则 I 1 1 d 1 1 f(t)dt 1 1 d 1 1 f(t)dt 进一步化为定积分 将
18、I 表示为 I f(t)ddt， 其中 D t 1t1，11，如图所示 )解析：20.设 1ab，函数 f()ln 2 ，求证 f()满足不等式 ()0f()2(1) ()f()f(b)2f （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)求出 f()ln 2 2ln，f() 0(1)， f (3) () 0(1)，f (3) (1)0 f()在1，)单调下降 f()f(1)2(1) () 用泰勒公式在 0 处展开，有 分别取被展开点 a，b，得 +得 由题()，f()2(1) f( 1 )f( 2 )4 f(a)f(b) )解析：21.一质量为 M、长为 l 的均匀杆 AB 吸引着一质量为
19、m 的质点 C，此质点 C 位于杆 AB 的中垂线上，且与AB 的距离为 a试求： ()杆 AB 与质点 C 的相互吸引力； ()当质点 C 在杆 AB 的中垂线上从点 C 沿 y轴移向无穷远处时，克服引力所做的功（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()假定杆 AB 与质点 C 的位置如图所示，根据对称性，引力 F 是沿 y 轴负方向的由于 AB 的线密度为 Ml，于是，位于，d上微元的质量即为 d，它与质点 C 的引力在 y 轴方向的分力为 如下图所示： 因此，引力的大小为 其中 k 为引力常数 ()根据()中的计算，当质点 C 位于坐标 y 处时，引力的大小为 ，于是所求功为 )解析
20、：22.求 f(，y，z)yz 2 5 在区域力： 2 y 2 z 2 2 上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(，y，z)在有界闭区域 上连续，一定存在最大、最小值 第一步，先求f(，y，z)在 内的驻点 由 f(，y，z)在 内无驻点，因此 f(，y，z)在 的最大、最小值都只能在 的边界上达到 第二步，求 f(，y，z)在 的边界 2 y 2 z 2 2 上的最大、最小值， 从边界方程 2 y 2 z 2 2 解出 z 2 2 2 y 2 代入 f(，y，z)得 f(，y，z) y 2 y 2 3 g(，y) 转化为求 g(，y)在区域 D： 2 y 2 2 的
21、最大、最小值 先求 g(，y)在 D 内驻点，解方程组 相应地 再看 D 的边界 2 y 2 20还用拉格朗日乘子法，令 H(，y，)y 2 y 2 3( 2 y 2 2)，解方程组 由前二个方程得 y，代入第三个方程后得 y1 因此得驻点(，y)(1，1)，(1，1)，又 g(1，1)3，g(1，1)7 因此 g(，y)在区域 D，也就是 f(，y，z)在区域 的最大值为 7，最小值为 )解析：23.()设 f()在(0，)可导，f()0(0，)，求证 f()在(0，)单调上升 ()求证：f() 在(0，)单调上升，其中 n 为正数 ()设数列 n ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确
22、答案：()对 0 1 2 ，在 1 ， 2 上可用拉格朗日中值定理得， ( 1 ， 2 ) (0，)使得 f( 2 )f( 1 )f()( 2 1 )0 f( 2 )f( 1 ) f()在(0，) ()令 g()lnf() ln(n 1)(0)，考察 g()在(0，) f()e g() 在(0，) ()用()的结论对 n 进行适当放大与缩小 因此 )解析：24.已知四元齐次方程组() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：条件即()和()的联立方程组和()同解， 也就是矩阵 B 和 A 的秩相等 对 B 用初等行变换化阶梯形矩阵，并注意过程中不能用第 4 行改变上面 3 行，以保证化得阶梯
23、形矩阵的上面 3 行是由 A 变来的显然 a0 时 r(A)1，r(B)2，因此 a0 因为a0所以 r(A)3要使得 r(B)3a12 )解析：25.已知 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A 1 1 3 2 3 3 ，A 2 4 1 4 2 3 ，A 3 2 1 3 3 求 A 的特征值 求 A 的特征向量 求 A * 6E 的秩（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 P( 1 ， 2 ， 3 )，因为 1 ， 2 ， 3 是线性无关，所以 P是可逆矩阵 AP(A 1 ，A 2 ，A 3 )( 1 3 2 3 3 ，4 1 4 2 3 ，2
24、 1 3 3 ) ( 1 ， 2 ， 3 ) 记 B ，则 APPB，即 P -1 APB，A 与 B相似，特征值一样 EB (1)(2)(3) 得 A 的特征值为 1，2，3 先求 B 的特征向量，用 P 乘之得到 A 的特征向量(如果 B ，则 P -1 AP ，即 A(P )(P ) 对于特征值 1： B 的属于特征值 1 的特征向量(即(BE)0 的非零解)为c(1，1，1) T ，c0 则 A 的属于特征值 1 的特征向量为 c( 1 2 3 ) T ，c0 对于特征值 2： B 的属于特征值 2 的特征向量(即(B2E)0 的非零解)为 c(2，3，3) T ，c0 则 A的属于特征值 2 的特征向量为 c(2 1 3 2 3 3 ) T ，c0 对于特征值 3： B 的属于特征值 3 的特征向量(即(B3E)0 的非零解)为 c(1，3，4) T ，c0 则 A 的属于特征值 3 的特征向量为 c( 1 3 2 4 3 ) T ，c0 由 A 的特征值为 1，2，3，A6于是 A * 的特征值为 6，3，2，A * 6E 的特征值为 0，3，4 于是 A * 6E )解析：
