1、考研数学（数学二）模拟试卷 444 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=x 0 的某邻域内存在二阶导数，且 （分数：2.00）A.曲线 y= f(x)在 U 内是凹的，在 U + 内是凸的B.曲线 y= f(x)在 U 内是凸的，在 U + 内是凹的C.曲线 y= f(x)在 U 与 U + 内都是凹的D.曲线 y= f(x)在 U 与 U + 内都是凸的3.设 y(x)是初值问题 （分数：2.00）A.1b+2aB.1+b2aC.
2、1b2aD.1+b2a4.设 f(x)在 x=x 0 的某邻域内连续，且在该邻域内 xx 0 处 f(x)存在，则 （分数：2.00）A.充分必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分条件而非必要条件D.既非充分又非必要条件5.设 f(x)在(0，+)内可导，下述论断正确的是 ( )（分数：2.00）A.设存在 X0，在区间(X，+)内 f(x)有界，则 f(x)在(X，+)内亦必有界B.设存在 X0，在区间(X，+)内 f(x)有界，则 f(x)在(X，+)内亦必有界C.设存在 0，在(0，)内 f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界D.设存在 0，在(0，)内 f(x)有界，则 f(
3、x)在(0，)内亦必有界6.设平面区域 D=(x，y)|(x1) 2 +(y1) 2 2)，I 1 = (x+y)d，I 2 = （分数：2.00）A.8I 1 I 2 B.I 1 8I 2 C.I 1 I 2 8D.I 2 8I 1 7.设 f(x)在a，b上存在二阶导数，f(a)=f(b)=0，并满足 f(x)+f(x) 2 4f(x)=0则在区间(a，b)内 f(x) ( )（分数：2.00）A.存在正的极大值，不存在负的极小值B.存在负的极小值，不存在正的极大值C.既有正的极大值，又有负的极小值D.恒等于零8.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX= x 1 2 +
4、5x 2 2 + x 3 2 4x 1 x 2 +2x 2 x 3 ，则对任意X0，均有 ( )（分数：2.00）A.f(x 1 ，x 2 ，x 3 )0B.f(x 1 ，x 2 ，x 3 )0C.f(x 1 ，x 2 ，x 3 )0， （分数：2.00）_19.设常数 a0，积分 （分数：2.00）_20.设 f(x)在闭区间0，1上连续，且 0 1 f(x)dx=0， 0 1 e x f(x)dx=0证明在开区间(0，1)内存在两个不同的 1 与 2 ，使 f( 1 )=0，f( 2 )=0（分数：2.00）_21.设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x2y，x+3y)满足
5、 （分数：2.00）_22.设 D=(x，y)|0x ，0y ，计算二重积分 （分数：2.00）_23.求 yy=e |x| 满足初始条件 y(1)=0，y(1)=0 的特解（分数：2.00）_设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的 3 个不同的特征值，对应的特征向量分别是 1 ， 2 ， 3 ，令 = 1 + 2 + 3 证明：（分数：4.00）(1). 不是 A 的特征向量；（分数：2.00）_(2).向量组 ，A，A 2 线性无关（分数：2.00）_已知 A，B 均是 24 矩阵，其中 Ax=0 有基础解系 1 =( 1，1，2，1) T ， 2 =(0，3，1，0)
6、T ； Bx=0 有基础解系 1 =(1，3，0，2) T ， 1 =(1，2，1，a) T （分数：4.00）(1).求矩阵 A；（分数：2.00）_(2).若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，求参数 的值及公共解（分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 444 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=x 0 的某邻域内存在二阶导数，且 （分数：2.00）A.曲线 y= f(x)在 U 内是凹的，在 U + 内是凸的B
7、.曲线 y= f(x)在 U 内是凸的，在 U + 内是凹的 C.曲线 y= f(x)在 U 与 U + 内都是凹的D.曲线 y= f(x)在 U 与 U + 内都是凸的解析：解析：由题设条件推知存在 x=x 0 的去心邻域 于是知，当 曲线是凸的； 3.设 y(x)是初值问题 （分数：2.00）A.1b+2aB.1+b2aC.1b2a D.1+b2a解析：解析：y+2y+y=e x 的通解为 y=(C 1 + C 1 x+Ax 2 )e x ， 其中 C 1 ，C 2 为任意常数A 为某常数，而线性方程的通解为一切解由此 y=( C 2 C 1 )+(2AC 2 )xAx 2 e x ， 可
8、见，无论 C 1 ，C 2 ，A 是什么常数， 0 + xy(x)dx 收敛于是由分部积分法和原给的式子 y=e x y2y，可得 0 + xy(x)dx= 0 + xdy(x) = xy(x)| 0 + 0 + y(x)dx =00 0 + e x y(x)2y(x)dx =e x +y(x)+2y(x)| 0 + =(0+0+0)1+y(0)+2y(0) =1b2a4.设 f(x)在 x=x 0 的某邻域内连续，且在该邻域内 xx 0 处 f(x)存在，则 （分数：2.00）A.充分必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分条件而非必要条件 D.既非充分又非必要条件解析：解析：在所述前提及条
9、件 下，由洛必达法则 所以 的充分条件但不是必要条件，反例如下：设 本例满足本题所说的前提(其中 x 0 =0)， 却是存在的 所以 5.设 f(x)在(0，+)内可导，下述论断正确的是 ( )（分数：2.00）A.设存在 X0，在区间(X，+)内 f(x)有界，则 f(x)在(X，+)内亦必有界B.设存在 X0，在区间(X，+)内 f(x)有界，则 f(x)在(X，+)内亦必有界C.设存在 0，在(0，)内 f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界 D.设存在 0，在(0，)内 f(x)有界，则 f(x)在(0，)内亦必有界解析：解析：对于区间(0，)内任意的 x，再另取一固定的 x
10、1 ，有 f(x)f(x 1 )=f()(xx 1 )，f(x)= f(x 1 )+ f()(xx 1 )， |f(x)|f(x 1 )|+M| xx 1 |f(x 1 )|+M， 所以 f(x)在(0，)内必有界，其中 M 为|f(x)|在(0，)内的一个上界6.设平面区域 D=(x，y)|(x1) 2 +(y1) 2 2)，I 1 = (x+y)d，I 2 = （分数：2.00）A.8I 1 I 2 B.I 1 8I 2 C.I 1 I 2 8D.I 2 8I 1 解析：解析：区域 D 如图所示， 由于 D 的面积为 从而可将 8 化成 由于当(x，y)D 时，4x+yln(1+x+y)0
11、， 仅在(0，0)或(2，2)处等号成立，所以7.设 f(x)在a，b上存在二阶导数，f(a)=f(b)=0，并满足 f(x)+f(x) 2 4f(x)=0则在区间(a，b)内 f(x) ( )（分数：2.00）A.存在正的极大值，不存在负的极小值B.存在负的极小值，不存在正的极大值C.既有正的极大值，又有负的极小值D.恒等于零 解析：解析：设存在 x 0 (a，b)，f(x 0 )0 且为 f (x)的极大值，于是 f(x 0 )=0代入所给方程得f(x 0 )=4f(x 0 )0则 f(x 0 )为极小值矛盾进一步可知不存在 c(a，b)使 f(c)0因若不然由于 f(a)=f(b)=0，
12、推知在(a，b)内 f(x)存在正的最大值，同时也是极大值与已证矛盾 类似地可证，f(x)在(a，b)内取不到负值 于是只能选 D当然，f(x)=0 是满足所给方程的8.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX= x 1 2 +5x 2 2 + x 3 2 4x 1 x 2 +2x 2 x 3 ，则对任意X0，均有 ( )（分数：2.00）A.f(x 1 ，x 2 ，x 3 )0B.f(x 1 ，x 2 ，x 3 )0 C.f(x 1 ，x 2 ，x 3 )0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 又在 x=1 处 F(x)连续，所以 F(x)在区间(0，+)上严格
13、单调增加 )解析：19.设常数 a0，积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 且 cosxsinx， 于是知 I 1 I 2 ，即 )解析：20.设 f(x)在闭区间0，1上连续，且 0 1 f(x)dx=0， 0 1 e x f(x)dx=0证明在开区间(0，1)内存在两个不同的 1 与 2 ，使 f( 1 )=0，f( 2 )=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)dt，有 F(x)=f(x)，F(0)=0，F(1)=0，则 0= 0 1 e x f(x)dx= 0 1 e x dF(x)=e x F(x)| 0 1 0 1 F(x)e x
14、dx = 0 1 F(x)e x dx 所以存在(0，1)，使 F()e =0但 e 0，所以 F()=0由于已有 F(0)=0，F(1)=0 所以根据罗尔定理知，存在 1 (0，)， 2 (，1)，使 F( 1 )=0，F( 2 )=0 即 f( 1 )=0，f( 2 )=0，其中 1 (0，)， 2 (，1)，证毕)解析：21.设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x2y，x+3y)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 z=z(x2y，x+3y)，易知 代入原方程，得 以下求 z 的一般表达式将上式写成 两边对 u 积分，v 看成常数，得 其中 1 (v)为 v
15、 的具有连续导数的任意函数再将上式看成 z 对 v 的一阶线性微分方程代入一阶线性微分方程的通解公式，得 由于 1 (v)的任意性，记 它表示为 v 的具有二阶连续导数的任意函数 (u)为 u 的具有二阶连续导数的任意函数，于是得到 z=z(u，v)的一般表达式为 )解析：22.设 D=(x，y)|0x ，0y ，计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 是一块矩形域，如图所示 )解析：23.求 yy=e |x| 满足初始条件 y(1)=0，y(1)=0 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程可化成两个微分方程 分别求解得到 y=C 1 e x +
16、C 1 e x + xe x ，x0， y=C 3 e x + C 4 e x xe x ，x 又因为在 x=0 处，y(x)及 y(x)连续，所以 故满足初始条件的特解为 )解析：设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的 3 个不同的特征值，对应的特征向量分别是 1 ， 2 ， 3 ，令 = 1 + 2 + 3 证明：（分数：4.00）(1). 不是 A 的特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 A=A( 1 + 2 + 3 )= 1 1 + 2 2 + 3 3 若 是 A的特征向量，假设对应的特征值为 ，则有 A=( 1 + 2 + 3 )= 1 1 +
17、2 2 + 3 3 从而得( 1 ) 1 +( 2 ) 2 +( 3 ) 3 =0 1 ， 2 ， 3 是不同特征值对应的特征向量，由定理知 1 ， 2 ， 3 线性无关，从而得 1 = 2 = 3 =，这和 1 ， 2 ， 3 互不相同矛盾故 = 1 + 2 + 3 不是 A 的特征向量)解析：(2).向量组 ，A，A 2 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用秩来证，因 (，A，A 2 )=( 1 + 2 + 3 ， 1 1 + 2 2 + 3 3 ， 1 2 1 + 2 2 2 + 3 2 3 ) )解析：已知 A，B 均是 24 矩阵，其中 Ax=0 有基础解系 1 =(
18、 1，1，2，1) T ， 2 =(0，3，1，0) T ； Bx=0 有基础解系 1 =(1，3，0，2) T ， 1 =(1，2，1，a) T （分数：4.00）(1).求矩阵 A；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 C=( 1 ， 2 )，则有 AC=A( 1 ， 2 )=0得 C T A T =O即 A T 的列向量(即 A 的行向量)是 C T x=0 的解向量 解得 C T x=0 的基础解系为 1 =(1，0，0，1) T ， 2 =(7，1，3，0) T 故 )解析：(2).若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，求参数 的值及公共解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，则非零公共解既可由 1 ， 2 线性表出，也可由 1 ， 2 线性表出，设非零公共解为 =x 1 1 +x 2 2 =x 3 1 + x 4 2 于是 x 1 1 +x 2 2 x 3 1 x 4 2 =0 (*) 对( 1 ， 2 )作初等行变换， )解析：
