1、考研数学（数学二）模拟试卷 428 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f (0)=f (0)=2，则 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.曲线 y= （分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。4.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.连续点。B.跳跃间断点。C.可去间断点。D.无穷间断点。5.设 M= （分数：2.00）A.MNP。B.NMP。C.M=NP。D.M=PN。6.设函数 f
2、(x)有三阶导数，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值。B.f(0)是 f(x)的极小值。C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。D.f(0)不是 f(x)的极小值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。7.设函数 f(x)具有连续的导数，则( )（分数：2.00）A.若 f(x)是偶函数，则对任意实数 a， a x f(t)dt 必为奇函数。B.若 f(x)是周期函数，则 0 x f(t)dt 必为周期函数。C.若 f (x)是奇函数，则 0 x f(t)dt 必为奇函数。D.若 f (x)是偶函数，则 0 x f(t)dt 必为偶函数。8.设 A 为 mn
3、矩阵，曰为 nm 矩阵，若矩阵 AB 可逆，则下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.A 的行向量组线性无关，B 的行向量组也线性无关。B.A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关。C.A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关。D.A 的列向量组线性无关，B 的列向量组也线性无关。9.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 为 4 维列向量，下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，那么当 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 不全为 0 时，k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0。B.若 1 ， 2 ， 3
4、， 4 线性相关，那么当 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0 时，k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 不全为 0。C.若 5 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关。、D.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 5 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.函数 y=f(x)由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_11. x 2 + 0 x e t2 sin 3 tdtxcos 2 xdx= 1。（分数：2.00）填空项 1:_12.以 C 1 e x +C
5、2 e x +C 3 为通解的常系数齐次线性微分方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_14.设函数 z=f(x，y)由方程 x 一 az=(ybz)所确定，其中 可导，且 ab 0，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：32.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.设曲线 L 过点(1，1)，L 上任意一点 p(x，y)处的切线交 x 轴于点 T，O 为坐标原点，若PT=OT。试求曲线 L 的方程。（分数：2.00）_18.求
6、函数 f(x，y)=xy 一 （分数：2.00）_设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)上可导，且 f(0)=f(1)=0，若 f(x)在0，1上的最大值为 M0。设n1，证明：（分数：4.00）(1).存在 c(0，1)，使得 f(c)= （分数：2.00）_(2).存在互不相同的 ，(0，1)，使得 （分数：2.00）_19.设函数 z=z(x，y)具有二阶连续导数，变量代换 =ax+y，=x+by 把方程 （分数：2.00）_设有摆线 （分数：4.00）(1).曲线绕直线 y=2 旋转所得到的旋转体体积；（分数：2.00）_(2).曲线形心的纵坐标 （分数：2.00）_设 I a =
7、（分数：4.00）(1).求 I a ；（分数：2.00）_(2).求 a 的值使得 I a 最小。（分数：2.00）_设 I n = （分数：4.00）(1).证明：I n = 0 （分数：2.00）_(2).证明：I n =I n2 ，n=1，2，3，并求 I n 。（分数：2.00）_已知两个向量组 1 =(1，2，3) T ， 2 =(1，0，1) T 与 1 =(一 1，2，t) T ， 2 =(4，1，5) T 。（分数：4.00）(1).t 为何值时， 1 ， 2 与 1 ， 2 等价；（分数：2.00）_(2).当两个向量组等价时，写出两个向量组之间的线性表示式。（分数：2.0
8、0）_设 A 为 3 阶实对称矩阵， 1 =(1，一 1，一 1) T ， 2 =(一 2，1，0) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，且矩阵 A 一 6E 不可逆，则（分数：6.00）(1).求齐次线性方程组(A 一 6E)x=0 的通解；（分数：2.00）_(2).求正交变换 X=Qy 将二次型 x T Ax 化为标准形；（分数：2.00）_(3).求(A 一 3E) 100 。（分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 428 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
9、要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f (0)=f (0)=2，则 =( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：根据反函数求导法则3.曲线 y= （分数：2.00）A.1。B.2。C.3。 D.4。解析：解析：因为 =，所以 x=0 是一条垂直渐近线； 因为 =，所以不存在水平渐近线；则 y=x+1 是一条斜渐近线；4.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.连续点。B.跳跃间断点。 C.可去间断点。D.无穷间断点。解析：解析：通过求解极限得到函数的表达式，即 x0，f(x)= =e x ； x0，f(x)= =x 2 ； x=0，f(
10、0)=1。 故 f(x)= 5.设 M= （分数：2.00）A.MNP。B.NMP。C.M=NP。 D.M=PN。解析：解析：M= (x+y) 3 dxdy= (x 3 +3x 2 y+3xy 2 +y 3 )dxdy， 因为积分区域 D 关于 x 轴和 y 轴都对称，x 3 、3xy 2 是关于 x 的奇函数，3x 2 y、y 3 是关于 y 的奇函数，所以根据对称性可得M=0。 N= (sinxcosy+sinycosx)dxdy， 因为积分区域 D 关于 x 轴和 y 轴都对称，sinxcosy 是关于x 的奇函数，sinxcosy 是关于 y 的奇函数，所以根据对称性可得 N=0。 P
11、= 6.设函数 f(x)有三阶导数，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值。B.f(0)是 f(x)的极小值。C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。 D.f(0)不是 f(x)的极小值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。解析：解析：已知 f(x)三阶可导，则 f(x)在 x=0 处的三阶泰勒展开式为， f(x)=f(0)f (0)x o(x 3 )， 故 7.设函数 f(x)具有连续的导数，则( )（分数：2.00）A.若 f(x)是偶函数，则对任意实数 a， a x f(t)dt 必为奇函数。B.若 f(x)是周期函数，则 0 x f(t)dt 必为周期函
12、数。C.若 f (x)是奇函数，则 0 x f(t)dt 必为奇函数。 D.若 f (x)是偶函数，则 0 x f(t)dt 必为偶函数。解析：解析：由函数 f(x)连续可导，可知 f (x)连续，若 f (x)是奇函数，则 f(x)必为偶函数，令F(x)= 0 x f(t)dt，易知 F(0)=0，则 F(x)= 0 x f(t)dt 为奇函数，选(C)。8.设 A 为 mn 矩阵，曰为 nm 矩阵，若矩阵 AB 可逆，则下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.A 的行向量组线性无关，B 的行向量组也线性无关。B.A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关。 C.A 的列向量组线性
13、无关，B 的行向量组线性无关。D.A 的列向量组线性无关，B 的列向量组也线性无关。解析：解析：由于矩阵 AB 可逆，可知 r(AB)=m，而 r(A)r(AB)，r(B)r(AB)，且 A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关，故选(B)。9.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 为 4 维列向量，下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，那么当 k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 不全为 0 时，k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 +k 4 4 =0。B.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，那么当 k 1 1 +k 2 2
14、+k 3 3 +k 4 4 =0 时，k 1 ，k 2 ，k 3 ，k 4 不全为 0。C.若 5 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关。、 D.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 5 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出。解析：解析：(C)选项，反证法。假设 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，因为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 必线性相关(5 个 4 维列向量必线性相关)，则 5 可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，矛盾。从而 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)
15、10.函数 y=f(x)由参数方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 当 x=0 可得 t=0，则 f (0)=1，故极限 11. x 2 + 0 x e t2 sin 3 tdtxcos 2 xdx= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由积分的性质 (x 2 + 0 x e t2 sin 3 tdt)xcos 2 xdx= x 3 cos 2 x+(xcos 2 x 0 x e t2 sin 3 tdt)dx， 因为 x 3 cos 2 x 是奇函数，积分为零，可进一步化为 (xcos 2 x 0 x e t2
16、 sin 3 tdt)dx， 对于积分 0 x e t2 sin 3 tdt，由于 e t2 sin 3 t 为奇函数，则 0 x e t2 sin 3 tdt 为偶函数，则 xcos 2 x 0 x e t2 sin 3 tdt 是奇函数，所以 (xcos 2 xe t2 sin 3 tdt)dx=0， 那么 (x 2 + 0 x e t2 sin 3 tdt)xcos 2 xdx=0。12.以 C 1 e x +C 2 e x +C 3 为通解的常系数齐次线性微分方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y y =0）解析：解析：C 1 e x +C 2 e x
17、+C 3 ，为齐次线性微分方程的通解，所以可以得到特征根为 r=一1，r=1，r=0，特征方程为(r+1)(r1)r=0，则微分方程为 y 一 y =0。13.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1) n1 ）解析：解析：14.设函数 z=f(x，y)由方程 x 一 az=(ybz)所确定，其中 可导，且 ab 0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：方程两边同时对 x 求导可得 方程两边同时对 y 求导数可得15.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：AB=
18、AC 可得 A(B 一 C)=O，则齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，所以 r(A)2；另一方面，因为 A * O，所以 r(A)2，从而 r(A)=2，所以 a=一 2。三、解答题(总题数：10，分数：32.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.设曲线 L 过点(1，1)，L 上任意一点 p(x，y)处的切线交 x 轴于点 T，O 为坐标原点，若PT=OT。试求曲线 L 的方程。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线方程为 y=y(x)，则 y(1)=1，过点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y (X 一x)， 则切线与 x 轴的交点为 T(x
19、 一 ，0)。根据PT=OT，有 ， 上式两边同时平方，整理可得 y (x 2 一 y 2 )=2xy，该一阶微分方程为齐次方程，令 = ， 两边取积分得 ， 解得 )解析：18.求函数 f(x，y)=xy 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 D 如图 1 所示。 (1)边界 L 1 ：y=0(0x2)，此时(x，0)= x，函数在此边界的最大值为 f(0，0)=0，最小值为 f(2，0)= 。 边界 L 2 ：x=0(0y4)，则 f(0，y)=一 y，函数在此边界的最大值为 f(0，0)=，最小值为 f(0，4)=一 4。 边界 L 3 ：y=4x 2 (x0)，则 )解析
20、：设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)上可导，且 f(0)=f(1)=0，若 f(x)在0，1上的最大值为 M0。设n1，证明：（分数：4.00）(1).存在 c(0，1)，使得 f(c)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据已知条件，存在 a(0，1，使得 f(a)=M。令 F(x)=f(x)一 ， 显然F(x)在0，1上连续，又因为 f(0)=0，n1，故 F(0)=f(0)一 0， F(a)=f(a)一 0， 由零点定理可知，至少存在一点 c(0，a)，使得 F(c)=f(c)一 )解析：(2).存在互不相同的 ，(0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
21、：在0，c，c，1上分别使用拉格朗日中值定理。已知 f(x)在0，1上连续，在(0，1)上可导，则存在 (0，c)和 (c，1)，使得 f(c)f(0)=cf () (1) f(1)一 f(c)=(1 一 c)f () (2) 由(1)f ()+(2)f ()，结合 f(0)=f(1)=0 可得， f ()一 f ()f(c)=f ()f ()， 再由结论 f(c)= 可知， f ()一 f () =f ()f ()， 即 )解析：19.设函数 z=z(x，y)具有二阶连续导数，变量代换 =ax+y，=x+by 把方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别求偏导数 所以 )解析：设有
22、摆线 （分数：4.00）(1).曲线绕直线 y=2 旋转所得到的旋转体体积；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：= 0 2 2 一(1 一 cost) 2 d(tsint)= 2 。)解析：(2).曲线形心的纵坐标 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据形心坐标公式， )解析：设 I a = （分数：4.00）(1).求 I a ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域如图 2 所示。 利用奇偶性可得 )解析：(2).求 a 的值使得 I a 最小。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I a = )解析：设 I n = （分数：4.00）(1).证明：I n =
23、 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作换元 x=一 t。 )解析：(2).证明：I n =I n2 ，n=1，2，3，并求 I n 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据第一问的结论， =I n 一 2 0 (sinnxsinx)dx+2 0 (cosnxcosx)dx =I n +2 0 cos(n+1)xdx， 其中 0 cos(n+1)xdx=0，所以 I n =I n2 ，n=1，2，3，即 I n = )解析：已知两个向量组 1 =(1，2，3) T ， 2 =(1，0，1) T 与 1 =(一 1，2，t) T ， 2 =(4，1，5) T 。（分数：4.00
24、）(1).t 为何值时， 1 ， 2 与 1 ， 2 等价；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对向量组 1 ， 2 和 1 ， 2 所构成的矩阵( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )进行初等行变换化为阶梯形矩阵， ( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )= )解析：(2).当两个向量组等价时，写出两个向量组之间的线性表示式。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对矩阵( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )进行初等行变换化为行最简形。 ( 1 ， 2 ， 1 ， 2 ) ， 所以 1 = 1 一 2 2 ， 2 = 2 。 对矩阵( 1 ， 2 ， 1 ， 2 )进行初等行变换化为行最简形。 (
25、1 ， 2 ， 1 ， 2 ) 所以 = )解析：设 A 为 3 阶实对称矩阵， 1 =(1，一 1，一 1) T ， 2 =(一 2，1，0) T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，且矩阵 A 一 6E 不可逆，则（分数：6.00）(1).求齐次线性方程组(A 一 6E)x=0 的通解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为矩阵 A 一 6E 不可逆，所以 =6 是矩阵 A 的一个特征值；另一方面，因为 1 ， 2 是齐次线性方程组 Ax=O 的基础解系，所以 =0 是矩阵 A 的二重特征值，所以 A 的特征值为0，0，6。 齐次线性方程组(A 一 6E)x=0 的通解是矩阵
26、A 的属于特征值 =6 的特征向量。 因为 A 为 3 阶实对称矩阵，从而属于不同特征值的特征向量正交。 设 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 是矩阵 A 的属于特征值 =6 的一个特征向量，则 ( 1 ， 3 )=0，( 2 ， 3 )=0， 解得 3 =(一 1，一 2，1) T ，所以齐次线性方程组(A 一 6E)x=0 的通解为 k 3 ，k 为任意常数。)解析：(2).求正交变换 X=Qy 将二次型 x T Ax 化为标准形；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：下将向量组 1 ， 2 ， 3 正交化。令 1 = 1 ， 2 = 2 一 1 =(一 1，0，一 1) T ， 3 = 3 ， 下将向量组 1 ， 2 ， 3 单位化。令 1 = 。 令 )解析：(3).求(A 一 3E) 100 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
