1、考研数学（数学二）模拟试卷 434 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.不可导B.f(0)=ln 2 3+1C.f(0)=D.f(0)= 3.当 x0 时，无穷小的阶数最高的是( )（分数：2.00）A.B.tanxxC.(1+tanx) ln(1+2x) 1D.4.对函数 f(x)= （分数：2.00）A.仅有极大值B.仅有极小值C.既有极大值又有极小值D.没有极值5.微分方程 y“4y=x 2 +cos2x 的
2、特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax 2 +bx+c)+(A cos2x+B sin2x)B.(ax 2 +bx+c)+x(A cosx+B sin2x)C.(ax 3 +bx 2 +cx)+(A cos2x+B sin2x)D.(ax 3 +bx 2 +cx)+x(A cos2x+B sin2x)6.设平面图形 A 由 x 2 +y 2 2x 及 yx 所确定，则 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积公式为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 f(x)连续，且满足 f(x)+2 0 x f(t)dt=x 2 + （分数：2.00）A.存在极小值B.存在极大值C.存
3、在极小值D.存在极小值8.已知四维列向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，若向量 i (i=1，2，3，4)是非零向量且与向量 1 ， 2 ， 3 均正交，则向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的秩为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.49.设 A，B 及 A * 都是 n(n3)阶非零矩阵，且 AB=O，则 r(B)=( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.3二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 y=f(x)与 y=sin2x 在(0，0)处切线相同，其中 f(x)可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1
4、 （分数：2.00）填空项 1:_13.由方程 x+2y+z （分数：2.00）填空项 1:_14.设函数 y=y(x)在(0，+)上满足y=( +xsinx)x+o(x)，且 （分数：2.00）填空项 1:_15.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 f(x)连续，且 f(1)=0，f(1)=2，求极限 （分数：2.00）_18.设方程 （分数：2.00）_19.求曲线 y=x 2 +1 上一点 P(x 0 ，y 0 )(其中 x 0 0)，使过 P 点作抛物
5、线的切线，此切线与抛物线及两坐标轴所围成图形的面积最小（分数：2.00）_20.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，在(0，a)内二阶可导且 f“(x)0证明： （分数：2.00）_21.计算二重积分 （分数：2.00）_22.设 u=f(x 2 +y 2 ，xz)，z=z(x，y)由 e x +e y =e z 确定，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_23.求微分方程 y“+y2y=xe x +sin 2 x 的通解（分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_25.设 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQ= ，又 = （分数：2.0
6、0）_考研数学（数学二）模拟试卷 434 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.不可导B.f(0)=ln 2 3+1C.f(0)=D.f(0)= 解析：解析： 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 a=1+ln3，于是 f(x)= 所以 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)= 3.当 x0 时，无穷小的阶数最高的是( )（分数：2.00）A. B.tanxxC.(1+tanx) ln(1+2x) 1D.解析
7、：解析： 由(1+tanx) ln(1+2x) 1=e ln(1+2x)ln(1+tanx) 1ln(1+2x)ln(1+tanx)2x 2 得(1+tanx) ln(1+2x) 1 为 2 阶无穷小； 4.对函数 f(x)= （分数：2.00）A.仅有极大值B.仅有极小值C.既有极大值又有极小值 D.没有极值解析：解析：令 f(x)=2x(4x 2 )ln(1+x 2 )=0，得 x 1 =2，x 2 =0，x 3 =2 当 x2 时，f(x)0；当 x(2，0)时，f(x)0；当 x(0，2)时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0，则 x 1 =2，x 2 =2 为 f(x)的极大值点，
8、x 2 =0 为 f(x)的极小值点，选(C)5.微分方程 y“4y=x 2 +cos2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax 2 +bx+c)+(A cos2x+B sin2x)B.(ax 2 +bx+c)+x(A cosx+B sin2x)C.(ax 3 +bx 2 +cx)+(A cos2x+B sin2x) D.(ax 3 +bx 2 +cx)+x(A cos2x+B sin2x)解析：解析：特征方程为 2 4=0，特征值为 1 =0， 2 =4， 方程 y“4y=x 2 的特解为 y 1 =x(ax 2 +bx+c)=ax 3 +bx 2 +cx； 方程 y“4y=cos
9、2x 的特解为 Acos2x+Bsin2x选(C)6.设平面图形 A 由 x 2 +y 2 2x 及 yx 所确定，则 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积公式为( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：取x，x+dx 0，1，则 dV=2(2x)( x)dx，所求的体积为 若取y，y+dy 0，1，则 所求的体积为7.设 f(x)连续，且满足 f(x)+2 0 x f(t)dt=x 2 + （分数：2.00）A.存在极小值 B.存在极大值C.存在极小值D.存在极小值解析：解析：等式两边求导，得 f(x)+2f(x)=2x，其通解为 f(x)=Ce 2x +(x ) 因为
10、 f(0)= ，所以 C=1，从而 f(x)=e 2x +(x ) 令 f(x)=2e 2x +1=0，得唯一驻点为 x= 因为 f“(x)=4e 2x 0，故 x= 是极小值点，极小值为 8.已知四维列向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，若向量 i (i=1，2，3，4)是非零向量且与向量 1 ， 2 ， 3 均正交，则向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的秩为( )（分数：2.00）A.1 B.2C.3D.4解析：解析：设 i =(a i1 ，a i2 ，a i3 ，a i4 ) T (i=1，2，3)，由已知条件有 i T j =0(i=1，2，3，4；j=1，2，3)， 9.设 A，B
11、 及 A * 都是 n(n3)阶非零矩阵，且 AB=O，则 r(B)=( )（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：由 B 为非零矩阵得 r(A)n，从而 r(A * )=0 或 r(A * )=1， 因为 A * 为非零矩阵，所以r(A * )=1，于是 r(A)=n1， 又由 AB=O 得 r(A)+r(B)n，从而 r(B)1，再由 B 为非零矩阵得 r(B)1，故 r(B)=1，选(B)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 y=f(x)与 y=sin2x 在(0，0)处切
12、线相同，其中 f(x)可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由 y=f(x)与 y=sin2x 在(0，0)处切线相同得 f(0)=0，f(0)=212.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10）解析：解析：13.由方程 x+2y+z （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：x+2y+z =0 两边对 x 求偏导得 x+2y+z =0 两边对 y 求偏导得14.设函数 y=y(x)在(0，+)上满足y=( +xsinx)x+o(x)，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
13、：x(1cosx)）解析：解析：由可微的定义，函数 y=y(x)在(0，+)内可微，且 y= +xsinx 或 y =xsinx，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得15.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0 或 4）解析：解析： 得 1 =0， 2 =a， 3 =4 因为 A 不可对角化，所以 A 的特征值一定有重根，从而 a=0 或 a=4 当 a=0 时，由 r(0EA)=r(A)=2 得 1 = 2 =0 只有一个线性无关的特征向量，则 A不可对角化，a=0 符合题意； 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明
14、过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 f(x)连续，且 f(1)=0，f(1)=2，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求曲线 y=x 2 +1 上一点 P(x 0 ，y 0 )(其中 x 0 0)，使过 P 点作抛物线的切线，此切线与抛物线及两坐标轴所围成图形的面积最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：切线方程为 y=2x 0 x+x 0 2 +1， 令 y=0，得切线与 x 轴的交点为 令x=0，得切线与 y 轴的交点为 B(0，1+x 0 2 ) 1)当 x 0 0 时，
15、因为 0，所以所围成图形面积为 2)当 x 0 0 时，因为 0，所以所围成的面积为 )解析：20.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，在(0，a)内二阶可导且 f“(x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)= 0 x tf(t)dt 0 x f(t)dt，(0)=0 因为 f“(x)0，所以 f(x)单调增加，故 f()f(x)， 于是 “(x)0(0xa) )解析：21.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 u=f(x 2 +y 2 ，xz)，z=z(x，y)由 e x +e y =e z 确定，其中 f 二阶连
16、续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求微分方程 y“+y2y=xe x +sin 2 x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +2=0， 特征值为 1 =2， 2 =1，y“+y2y=0 的通解为 y=C 1 e 2x +C 2 e x 设 y“+y2y=xe x (*) y“+y2y=sin 2 x (*) 令(*)的特解为 y 1 (x)=(ax 2 +bx)e x ，代入(*)得 由 y“+y2y=sin 2 x 得 y“+y2y= (1cos2x)， )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 情形一：a
17、0 当 a0 且 ab+10 时，方程组有唯一解； 当 a0 且ab+1=0 时，方程组有无数个解， 情形二：a=0 当 b1 时，方程组无解； 当 b=1 时，方程组有无数个解， )解析：25.设 A 为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQ= ，又 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()显然 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =2，A * 的特征值为 1 = 2 =2， 3 =1 因为 为 A * 的属于特征值 3 =1 的特征向量，所以 是 A 的属于特征值 3 =2的特征向量，令 = 3 令 A 的属于特征值 1 = 2 =1 的特征向量为 = ，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以x 1 x 2 +x 3 =0，则 A 的属于特征值 1 = 2 =1 的线性无关的特征向量为 )解析：
