1、考研数学（数学二）模拟试卷 435 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f“(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)非 f(x)的极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点3.设 y=x 3 +3ax 2 +3bx+c 在 x=1 处取最大值，又(0，3)为曲线的拐点，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1，c=3
2、B.a=0，b=1，c=3C.a=1，b=1，c=3D.a=1，b=1，c=34.设 z=xy+ ，其中 F 为可微函数，则 （分数：2.00）A.zxyB.z+xyC.z2xyD.z+2xy5.设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，在 D 内可偏导且满足 （分数：2.00）A.最大值和最小值只能在边界上取到B.最大值和最小值只能在区域内部取到C.有最小值无最大值D.有最大值无最小值6.曲线 y=x 2 与 y= 所围成的图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，
3、y 2 =2xe x ，y 3 =3e x ，则该微分方程为( )（分数：2.00）A.yy“y+y=0B.y+y“yy=0C.y+2y“y2y=0D.y2y“y+2y=08.设四阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，其中 1 ， 2 ， 3 线性无关，而 4 =2 1 2 + 3 ，则 r(A * )为( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.39.设三阶矩阵 A 的特征值为1，1，3，其对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令P=(2 1 + 2 ， 1 2 ，2 3 )，则 P 1 A * P=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分
4、数：12.00)10.过曲线 y= (x0)上的一点 A 作切线，使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面区域的面积为（分数：2.00）填空项 1:_11.f(x)=x 4 ln(1x)，当 n4 时，f (n) (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知函数 z=u(x，y)e ax+by ，且 =0，若 z=z(x，y)满足方程 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、
5、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.计算极限 （分数：2.00）_18.设 u=f(x+y，xy，z)由 z= x+z y+z p(t)dt 确定 z 为 x，y 的函数，又 f 连续可偏导，p 可导，且p(y+z)p(x+z)10，求 （分数：2.00）_19.设 f(x)在0，2上二阶可导，且 f“(x)0，f(0)=1，f(2)=1，f(0)=f(2)=1证明： 2 0 2 f(x)dx3（分数：2.00）_20.设抛物线 y=x 2 与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S，其中一条切线与抛物线相切于点 A(a，a 2 )(a0) ()求 S=S(a)的表达式；
6、()当 a 取何值时，面积 S(a)最小?（分数：2.00）_21.计算 （分数：2.00）_22.设曲线 y=y(x)位于第一象限且在原点处与 x 轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为 l 1 ，点 P 处的切线与 y 轴交于点 A，点 A，P 之间的距离为 l 2 ，又满足 x(3l 1 +2)=2(x+1)l 2 ，求曲线 y=y(x)（分数：2.00）_23.设曲线 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+yy=(46x)e x 的一个特解，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于 x 轴 ()求曲线 y=y(x)的表达式； ()求曲线 y=y(x)到 x 轴的最大距
7、离； ()计算积分 0 + y(x)dx（分数：2.00）_24.设非齐次线性方程组 （分数：2.00）_25.()设 A，B 为 n 阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵 A，B 相似 ()设 （分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 435 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f“(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(
8、x)的拐点 D.f(0)非 f(x)的极值，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点解析：解析：由 =1 得 f“(0)=0，由极限保号性可知，存在 10，当x 时，3.设 y=x 3 +3ax 2 +3bx+c 在 x=1 处取最大值，又(0，3)为曲线的拐点，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1，c=3B.a=0，b=1，c=3 C.a=1，b=1，c=3D.a=1，b=1，c=3解析：解析：y=3x 2 +6ax+3b，y“=6x+6a，则有 4.设 z=xy+ ，其中 F 为可微函数，则 （分数：2.00）A.zxyB.z+xy C.z2xyD.z+2xy解析：解析：由 得5.设
9、 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，在 D 内可偏导且满足 （分数：2.00）A.最大值和最小值只能在边界上取到 B.最大值和最小值只能在区域内部取到C.有最小值无最大值D.有最大值无最小值解析：解析：因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上一定取到最大值与最小值，不妨设 f(x，y)在 D 上的最大值 M 在 D 内的点(x 0 ，y 0 )处取到，即 f(x 0 ，y 0 )=M0，此时 ，这与 6.曲线 y=x 2 与 y= 所围成的图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：7.设
10、三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x ，则该微分方程为( )（分数：2.00）A.yy“y+y=0 B.y+y“yy=0C.y+2y“y2y=0D.y2y“y+2y=0解析：解析：因为 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x 为三阶常系数齐次线性微分方程的三个特解，所以其对应的特征方程的特征值为 1 = 2 =1， 3 =1，其对应的特征方程为 (1) 2 (+1)=0，即 3 2 +1=0， 则微分方程为 yy“y+y=0，选(A)8.设四阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，其中 1 ， 2 ，
11、3 线性无关，而 4 =2 1 2 + 3 ，则 r(A * )为( )（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：由 1 ， 2 ， 3 线性无关， 4 =2 1 2 + 3 得向量组的秩为 3，于是 r(A)=3，故 r(A * )=1，选(B)9.设三阶矩阵 A 的特征值为1，1，3，其对应的线性无关的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令P=(2 1 + 2 ， 1 2 ，2 3 )，则 P 1 A * P=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：A=3，A * 的特征值为3，3，1，显然 1 ， 2 ， 3 也为 A * 的线性无关的特征向量，且 2 1 +
12、 2 ， 1 2 ，2 3 为 A * 的线性无关的特征向量，故 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.过曲线 y= (x0)上的一点 A 作切线，使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面区域的面积为（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设切点为 A(a， )，切线方程为 切线与 x 轴的交点为(2a，0)，所求的面积为所求体积为11.f(x)=x 4 ln(1x)，当 n4 时，f (n) (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 f(x)=f(0)+f(0)x+ +， 再由麦克劳林公式的唯一性得12.已知
13、函数 z=u(x，y)e ax+by ，且 =0，若 z=z(x，y)满足方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=1）填空项 1:_ （正确答案：b=1）解析：解析：13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 B=AE 12 (2)E 13 ，所以B=A. E 12 (2).E 13 =3， 又因为 B * =B B 1 ，所以 B * =3E 13 1
14、E 12 1 (2)A 1 =3E 13 E 12 (2)A 1 ， 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.计算极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时， ，则 )解析：18.设 u=f(x+y，xy，z)由 z= x+z y+z p(t)dt 确定 z 为 x，y 的函数，又 f 连续可偏导，p 可导，且p(y+z)p(x+z)10，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 u=f(x+y，xy，z)及 z= x+z y+z p(t)dt 两边对 x 求偏导得 )解析：19.
15、设 f(x)在0，2上二阶可导，且 f“(x)0，f(0)=1，f(2)=1，f(0)=f(2)=1证明： 2 0 2 f(x)dx3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 f“(x)0，所以 f(x)在(0，2)内不可能取到最小值，从而 f(0)=f(2)=1 为最小值，故 f(x)1(x0，2)，从而 0 2 f(x)dx2 因为 f“(x)0，所以有 )解析：20.设抛物线 y=x 2 与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S，其中一条切线与抛物线相切于点 A(a，a 2 )(a0) ()求 S=S(a)的表达式； ()当 a 取何值时，面积 S(a)最小?（分数：2
16、.00）_正确答案：(正确答案：()设另一个切点为(x 0 ，x 0 2 )，则抛物线 y=x 2 的两条切线分别为 L 1 ：y=2axa 2 ，L 2 ：y=2x 0 xx 0 2 因为 L 1 L 2 ，所以 x 0 = ，两条切线 L 1 ，L 2 的交点为 x 1 = ，y 1 =ax 0 ，L 1 ，L 2 及抛物线 y=x 2 所围成的面积为 )解析：21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设曲线 y=y(x)位于第一象限且在原点处与 x 轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为 l 1 ，点 P 处的切线与 y 轴交于点 A，点
17、A，P 之间的距离为 l 2 ，又满足 x(3l 1 +2)=2(x+1)l 2 ，求曲线 y=y(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件得 y(0)=0，y(0)=0， P(x，y)处的切线为 Yy=y(Xx)， 令 X=0，则 Y=yxy，A 的坐标为(0，yxy)， 两边对 x 求导整理得 1+y 2 =2(x+1)yy“ 积分得 ln(1+p 2 )=ln(x+1)+lnC 1 ，即 1+p 2 =C 1 (x+1)， 再由 y(0)=0 得 C 2 =0，故所求的曲线为 )解析：23.设曲线 y=y(x)(x0)是微分方程 2y“+yy=(46x)e x 的一个特解
18、，此曲线经过原点且在原点处的切线平行于 x 轴 ()求曲线 y=y(x)的表达式； ()求曲线 y=y(x)到 x 轴的最大距离； ()计算积分 0 + y(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()微分方程的特征方程为 2 2 +1=0， 特征值为 1 =1， 2 = ，则微分方程 2y“+yy=0 的通解为 令非齐次线性微分方程 2y“+yy=(46x)e x 的特解为 y 0 (x)=x(ax+b)e x ，代入原方程得 a=1，b=0，故原方程的特解为 y 0 (x)=x 2 e x ，原方程的通解为 由初始条件 y(0)=y(0)=0 得 C 1 =C 2 =0，故 y=
19、x 2 e x ()曲线 y=x 2 e x 到 x 轴的距离为 d=x 2 e x ， 令 d=2xe x x 2 e x =x(2x)e x =0，得 x=2 当 x(0，2)时，d0； 当 x2 时，d0， 则 x=2 为 d=x 2 e x 的最大值点，最大距离为 d(2)= )解析：24.设非齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()令 r(A)=r，因为系数矩阵至少有两行不成比例，所以 r(A)2 1 2 ， 1 3 为对应的齐次线性方程组的两个解 令 k 1 ( 1 2 )+k 2 ( 1 3 )=0，即(k 1 +k 2 ) 1 k 1 2 k 2 3 =0
20、 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 k 1 =k 2 =0，即 1 2 ， 1 3 线性无关，于是对应的齐次线性方程组的基础解系至少含两个线性无关解向量，即 4r2 或 r2，故 r(A)=2 )解析：25.()设 A，B 为 n 阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵 A，B 相似 ()设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 A，B 的特征值为 1 ， 2 ， n ， 因为 A，B 可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 于是 P 1 1 AP 1 =P 2 1 BP 2 ，或(P 1 P 2 1 ) 1 A(P 1 P 2 1 )=B， 令 P=P 1 P 2 1 ，则 P 1 AP=B，即矩阵 A，B 相似 A 的属于 1 =1 的线性无关特征向量为 A 的属于特征值 2 = 3 =1 的线性无关的特征向量为 )解析：
