1、考研数学一-207 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.2.若 1， 2， 3， 1， 2都是 4 维列向量，且 4 阶行列式| 1， 2， 3， 1|=m，| 1， 2， 2， 3|=n，则 4 阶行列式| 3， 2， 1， 1+ 2|=（分数：4.00）A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n3.设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2)，其中 ， 2均未知现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 ，样本标准差 S=1(cm)，则 的置信度为 0.90 的置信区间是（分数：4.0
2、0）A.B.C.D.4.当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 X1和 X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则（分数：4.00）_6.设有两个数列 则（分数：4.00）A.B.C.D.7.设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(x)0，f(0)=0，则函数 z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是（分数：4.00）A.f(0)1，f(0)oB.f(0)1，f(0)0C.f(0)1，f
3、(0)0D.f(0)1，f(0)08.若矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 1， 2， 3， 4是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，若 1= 1+t 2， 2 2+t 3， 3= 3+t 4， 4= 4+t 1也是 Ax=0 的基础解系，则 t 的取值为_（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 （分数：4.00）填空项 1:_三、解
4、答题(总题数：9，分数：94.00)15. （分数：10.00）_16.求函数 （分数：10.00）_17.设函数 y=y(x)在(-，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数()试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方程；()求变换后的微分方程满足初始条件 （分数：10.00）_18.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在 (a，b)，使得 f()=g“()（分数：10.00）_19.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y
5、)=0，f(x，1)=0， 其中 D=(x，y)|0x1，0y1，计算二重积分 （分数：10.00）_20. （分数：10.00）_21.已知二次型 （分数：10.00）_22.设随机变量 X 与 Y 独立，X 服从正态分布 N(， 2)，Y 服从-，上的均匀分布，试求 Z=X+Y 的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数 (x)表示，其中 （分数：10.00）_23.设 X1，X 2，X n是总体 N(， 2)的简单随机样本，记（分数：14.00）_考研数学一-207 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.曲线 （分数：4.00）
6、A.B.C.D. 解析：分析 由于*则 x=0 为原曲线的一条垂直渐近线由*知，y=0 为原曲线的一条水平渐近线*知，y=x 为原曲线的一条斜渐近线，由此可知原曲线共有三条渐近线，故应选(D)2.若 1， 2， 3， 1， 2都是 4 维列向量，且 4 阶行列式| 1， 2， 3， 1|=m，| 1， 2， 2， 3|=n，则 4 阶行列式| 3， 2， 1， 1+ 2|=（分数：4.00）A.m+nB.-(m+n)C.n-m D.m-n解析：分析 利用行列式的性质，有| 3， 2， 1, 1+ 2|=| 3， 2， 1， 1|+| 3， 2， 1， 2|=-| 1， 2， 3， 1|-| 1
7、， 2， 3， 2|=-| 1， 2， 3， 1|+| 1， 2， 2， 3|=n-m3.设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2)，其中 ， 2均未知现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 ，样本标准差 S=1(cm)，则 的置信度为 0.90 的置信区间是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 本题考查正态总体在方差未知时，均值置信区间求法*由此得 置信度为 0.90 的置信区间为*4.当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解法一 由于当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x
8、)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则*故应选(A)解法二 由泰勒公式知*故应选(A)5.设 X1和 X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1(x)和 f2(x)，分布函数分别为 F1(x)和 F2(x)，则（分数：4.00）_解析：分析 应用概率密度与分布函数的充要条件来确定正确选项由于*故(A)不正确；由微积分知识可知*未必等于 1，(B)不正确；F 1(+)+F 2(+)=2，(C)不正确，所以选择(D)事实上，X 1与 X2相互独立，则 F1(x)F2(x)=PX1xPX 2x=PX 1x，X 2x=Pmax(X 1，X 2)x6.设有两个数列 则（分数：4
9、.00）A.B.C. D.解析：分析 *7.设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 f(x)0，f(0)=0，则函数 z=f(x)lnf(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是（分数：4.00）A.f(0)1，f(0)o B.f(0)1，f(0)0C.f(0)1，f(0)0D.f(0)1，f(0)0解析：分析 若 f(0)1，f(0)0，则*则 AC-B20，又 A0故应选(A)8.若矩阵 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由矩阵 A 的特征多项式*知矩阵 A 的特征值中 =6 是二重根那么*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_
10、（正确答案：*）解析：分析 *10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-4）解析：分析 *11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由形心计算公式得*12. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：12a）解析：分析 由于 xy 关于 x 是奇函数且积分曲线*关于 y 轴对称，则*13.已知 1， 2， 3， 4是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，若 1= 1+t 2， 2 2+t 3， 3= 3+t 4， 4= 4+t 1也是 Ax=0 的基础解系，则 t 的取值为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：t1）解析：分析 根据齐
11、次方程组解的性质 1， 2， 3， 4都是 Ax=0 的解，而且也正好是 4 个向量，所以 1， 2， 3, 4是 Ax=0 基础解系的充分必要条件是 1， 2， 3， 4线性无关若 k 1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0即 k 1( 1+t 2)+k2( 2+t 3)+k3( 3+t 4)+k4( 4+t 1)=0即 (k 1+tk4) 1+(k2+tk1) 2+(k3+tk2) 3+(k4+tk3) 4=0因为 1, 2， 3， 4是基础解系，那么 1， 2， 3， 4线性无关，故必有*那么*时，齐次方程组(1)只有零解，即 t1 时， 1， 2， 3， 4线性无关14.设随机变量
12、X 服从参数为 的指数分布，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -1）解析：分析 指数分布的概率密度为*其方差为*这些都应熟记所以*评注 一些常用随机变量的分布、密度、期望和方差都应熟记，本题也可以直接利用这些结果求解：*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15. （分数：10.00）_正确答案：(解法一 *解法二 本题是“1 ”型极限，由于*则*)解析：评注 本题主要考察“1 ”型极限解法一是考研试卷评分标准所给的标准答案，显然比较繁琐，而解法二简单易行16.求函数 （分数：10.00）_正确答案：(f(x)的定义域为(-，+)，由于*令 f(x)=0，得 x=0，x
13、=1当 x(-，-1)时，f(x)0，f(x)单调减；当 x(-1，0)时，f(x)0，f(x)单调增；当 x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调减；当 x(1，+)时，f(x)0，f(x)单调增，由此可得 f(x)在 x=1 处取极小值，且 f(1)=0，而 f(x)在 x=0 处取极大值*)解析：17.设函数 y=y(x)在(-，+)内具有二阶导数，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数()试将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)满足的微分方程；()求变换后的微分方程满足初始条件 （分数：10.00）_正确答案：()由反函数导数公式得*上式两端对 y 求导得*y“
14、-y=sinx()该方程对应的齐次方程的通解为y=C1ex+C2e-x设方程 y“-y=sinx 的特解为y*=Acosx+Bsinx代入该方程得*故*从而，方程 y“-y=sinx 的通解为*)解析：18.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在 (a，b)，使得 f()=g“()（分数：10.00）_正确答案：(令 F(x)=f(x)-g(x)()若 f(x)和 g(x)在(a，b)内的最大值在同一点 cE(a，b)取到，由题设知，F(c)=0， F(a)=0， F(b)=0由罗尔定理知存在
15、1(a，c)， 2(c，b)，使F( 1)=0，F( 2)=0对 F(x)在 1， 2上用罗尔定理，则存在 ( 1， 2)使F“()=0即f“()=g“()()若 f(x)和 g(x)在(a，b)内的最大值不在同一点取得，不妨设 f(x)和g(x)分别在 x1和 x2处取得最大值，不妨设 x1x 2则 F(x1)=f(x1)-g(x1)0，F(x 2)=f(x2)-g(x2)0，由连续函数零点定理知，存在 c(x 1，x 2)，使 F(c)=0，又 F(a)=F(b)=0，以下证明与()相同)解析：分析 为了证明存在 (a，b)，使 f“()=g“()，即要证 f“()-g“()=0，为此，令
16、 F(x)-f(x)-g(x)，若能证明 F(z)在a，b上有三个点函数值相等，由罗尔定理知，存在 (a，b)，使 F“()=0，原题得证19.已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， 其中 D=(x，y)|0x1，0y1，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(解法一 因为 f(1，y)=0，f(x，1)=0，所以 fy(1，y)=0，f x(x，1)=0 从而*解法二 *在这个过程中也用到了 f(1，y)=0，f(x，1)=0，f y(1，y)=0，f x(x，1)=0)解析：分析 已知积分*是关于 f(x，y)的积分，而要计算的积分*是关
17、于 f“xy(x，y)的积分，因此，应将二重积分化为累次积分，然后通过分部积分将二者联系起来20. （分数：10.00）_正确答案：()对于方程组 Ax= 1，由增广矩阵*作初等行变换，有*令 x2=t 得 x3=1-2t，x 1=-t所以 2=(-t，t，1-2t) T，t 为任意常数*()由()知*所以 1， 2， 3线性无关评注 ()中，对于方程组 Ax= 1，若选 x3=t 为自由变量，则*()中关于 1， 2， 3线性无关的证明也可用定义法由题设可知 A 1=0如果k1 1+k2 2+k3 3=0 用 A 左乘式两端，并把 A 1=0 代入，有k2A 2+k3A 3=0即 k2 1+
18、k3A 3=0 用 A 左乘式两端，有k3A2 3=0即 k3 1=0由于 10，故 k3=0代入可得 k2=0把 k2=0，k 3=0 代入式，可得 k1=0从而 1， 2， 3线性无关)解析：21.已知二次型 （分数：10.00）_正确答案：()由于二次型 f 的秩为 2，即二次型矩阵*得到矩阵 A 的特征值是 1= 2=2， 3=0对于 =2，由(2E-A)x=0*得特征向量 1=(1，1，0) T， 2=(0，0，1) T对 =0 由(0E-A)x=0*得特征向量 3=(1，-1，0) T由于 1， 2， 3已两两正交，单位化有*)解析：22.设随机变量 X 与 Y 独立，X 服从正态
19、分布 N(， 2)，Y 服从-，上的均匀分布，试求 Z=X+Y 的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数 (x)表示，其中 （分数：10.00）_正确答案：(分析与解答 已知 X 与 Y 独立，X 的概率密度为*Y 的概率密度*由此可求得(X，Y)的概率密度 f(x，y)=f X(x)fY(y)我们要求 Z=g(x，y)=X+Y 的概率密度 fZ(z)，通常有两种方法解法一(分布函数法)先求 Z=X+Y 的分布函数*由此得 Z 的概率密度*解法二(公式法)由于 X 与 Y 独立，Z=X+Y，所以由卷积公式得 Z 的概率密度*)解析：23.设 X1，X 2，X n是总体 N(， 2)的简单随机样本，记（分数：14.00）_正确答案：(I)证明 T 是 2的无偏估计量，只要验证*)解析：
