1、考研数学一-261 及答案解析(总分：147.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 mn阶矩阵 A的秩为 n，则（分数：4.00）A.A的任意 n个行向量线性无关(nm)B.AX=0有非零解C.A的 n个列向量线性无关D.存在非零矩阵 B，使得 AB=03.设 a，b，c 为常数，微分方程 y“+4y=cos2x有特解形式（分数：4.00）A.acos2xB.asin2xC.x(a+bcos2x+csin2x)D.a+x(bcos2x+csin2x)4.设 A为 n阶矩阵，满足 A2=A，k 为正整数，则(A+E)
2、 k等于（分数：4.00）A.(2k-1)A+EB.C.(2k+1)A+ED.5.设随机变量 X在区间-4，1上服从均匀分布，YN(2， 2)，X 和 Y的概率密度分别记为 f1(x)和f2(x)如果函数 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设级数 收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设抛物线 y2=2x分圆盘 x2+y28 为两部分，则这两部分面积的比为 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 XN(0，4)，从总体 X中抽取简单随机样本 X1，X 2，X 3，X 4如果统计量 Y=a(X1-2X2)2+b(3X3+4X4)2服从 2(2)分布，那么 （分数：4.00）A.B
3、.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设曲线 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.设 L为圆周 x2+y2=a2，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.交换积分次序，设 f(x，y)连续，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 1， 2， 3为咒维向量(n3)，向量组 1-5 2+k 3， 1+2 2-3 3，2 1-3 2线性相关，则k=_（分数：4.00）填空项 1:_14.某系统由 n个部件组成，在运行期间每个部件损坏与否是相互独立的，且损坏的概率都是 0.1如果至少有 85%的部件完好时系统才能正常工作，则根据棣莫弗
4、拉普拉斯定理，为使系统正常工作的概率不小于 0.975，应有 n_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：91.00)15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，6)内可导，且 f(a)=a，f(b)=b，试证在(a，b)内存在 i(i=1，2，n)，使 （分数：10.00）_16.设平面 过直线 （分数：10.00）_17.证明方程 sinx+xcosx=0在区间(0，)内有且仅有一个实根（分数：10.00）_18.设函数 f(u)具有连续的导数，求 （分数：10.00）_19.设 f(x)在点 x0处具有 n阶导数，且 f(x0)=f“(x0)=f(n-1)(x0)=0
5、，f (n)(x0)0，试证： () 当 n为奇数时，f(x)在点 x0不取局部极值； () 当 n为偶数时，f(x)在点 x0取得局部极值： 当 f(n)(x0)0，f(x)在点 x0取得极小值； 当 f(n)(x0)0，f(x)在点 x0取得极大值（分数：10.00）_20.设 A为 n阶矩阵，且 A2=E，证明：r(A+E)+r(A-E)=n（分数：10.00）_21.设 A，B 为 n阶矩阵，秩 r(A)+r(B)n 证明： () =0 为 A，B 相同的特征值； ()AX=0 与 BX=0的基础解系组成的向量线性相关； ()A，B 具有公共的特征向量（分数：10.00）_22.设随机
6、变量 X在区间(0，1)上服从均匀分布，随机变量 （分数：11.00）_23.设 XN(1，4)，从总体 X中抽取简单随机样本 X1，X 2，X 9，样本均值为 () 求 ； () 已知 （分数：10.00）_考研数学一-261 答案解析(总分：147.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 利用导数定义 * 故 f(0)存在，即 f(x)在点 x=0处可微2.设 mn阶矩阵 A的秩为 n，则（分数：4.00）A.A的任意 n个行向量线性无关(nm)B.AX=0有非零解C.A的 n个列向量线性无关 D.存在非零
7、矩阵 B，使得 AB=0解析：分析 当 r(A)=A的列数时，A 的 n个列向量线性无关，AX=0 只有零解，所以(C)正确，(B)不正确当 AB=0时，B 的列向量是 AX=0的解既然 AX=0只有零解，故 B=0，即(D)不正确若 r(A)=nm 时，这只指明 A有 n个行向量线性无关，并不是任意 n个行向量线性无关，故(A)不正确3.设 a，b，c 为常数，微分方程 y“+4y=cos2x有特解形式（分数：4.00）A.acos2xB.asin2xC.x(a+bcos2x+csin2x)D.a+x(bcos2x+csin2x) 解析：分析 *根据解的结构定理，原议程的特解由方程*与方程*
8、的特解合成.前者，有形如 y*1=a的特解；后者，2i为特征根，有开有如 y*2=x(bcos2x+csin2x)的特解，故原方程有特解 y*+y*1+y*2,即选(D).4.设 A为 n阶矩阵，满足 A2=A，k 为正整数，则(A+E) k等于（分数：4.00）A.(2k-1)A+E B.C.(2k+1)A+ED.解析：分析 * *5.设随机变量 X在区间-4，1上服从均匀分布，YN(2， 2)，X 和 Y的概率密度分别记为 f1(x)和f2(x)如果函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 X 的概率密度为 * 可得 * 因为 Y的概率密度曲线 y=f2(x)关于直线 x=2对
9、称，所以 * 由概率密度的性质，有 * 即 2c1+5c2=106.设级数 收敛，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 由级数的基本性质：收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛且收敛于原来的和但收敛级数去括弧后所成的级数不一定仍是收敛的例如，级数 (1-1)+(1-1)+ 显然收敛于零，但级数 1-1+1-1+ 却是发散的又如，级数 * *也是收敛的.由此可见，(A)，(B)，(C)都不对.7.设抛物线 y2=2x分圆盘 x2+y28 为两部分，则这两部分面积的比为 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 * 如图 1-5-1所示，可知 * 故 * *8.设 XN(0，4)，从
10、总体 X中抽取简单随机样本 X1，X 2，X 3，X 4如果统计量 Y=a(X1-2X2)2+b(3X3+4X4)2服从 2(2)分布，那么 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 因为 X1，X 2，X 3，X 4相互独立，且 XiN(0，4)(i=1，2，3，4)，所以 X1-2X2N(0，20)，3X 3+4X4N(0，100) 由此可知 * 且 u1与 u2相互独立根据 X2分布的定义，有 * 从而有*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 * * 曲线*在(x 0，y 0)处的法线方程为* * 法线在
11、 y轴上的截距，记为* * 于是 p“(1)=200，故 p(1)为极小值，由于驻点唯一，因而 p(1)为最小值 故 x0=1，*，因此点*即为所求 注：本题考查导数的应用，包括法线方程、截距以及极值的判定法10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 本题是三角函数有理式的积分，可按该型的一般方法计算，但显得麻烦根据被积函数的特点，可利用变量替换法直接算出结果令*，有 * 故 *11.设 L为圆周 x2+y2=a2，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 由曲线积分的性质，得 * 对于*，因积分曲线 L是关于 y轴对称的，被积函数 x是 L上
12、关于 x的奇函数，故 * 对于*，因积分曲线 L关于 x轴也是对称的，被积函数 y3是 L上关于 y的奇函数，故 *12.交换积分次序，设 f(x，y)连续，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 如图 1-5-2所示：D=D 1+D2， * * *13.设 1， 2， 3为咒维向量(n3)，向量组 1-5 2+k 3， 1+2 2-3 3，2 1-3 2线性相关，则k=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：分析 由 ( 1-5 2+k 3， 1+2 2-3 3，2 1一 3 2) * 无论 1， 2， 3是否线性相关，当 * *，原向量组必线性相
13、关 注：本题也可按向量组线性相关定义，列出齐次线性方程组，有非零解，知其系数行列式为零，从而定出是值14.某系统由 n个部件组成，在运行期间每个部件损坏与否是相互独立的，且损坏的概率都是 0.1如果至少有 85%的部件完好时系统才能正常工作，则根据棣莫弗拉普拉斯定理，为使系统正常工作的概率不小于 0.975，应有 n_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：139）解析：分析 设系统在运行期间”个部件中完好的部件个数为 X，则 XB(n，0.9)根据棣莫弗一拉普拉斯定理可知，系统能够正常工作的概率为 * 由于 (1.96)=0.975，依题意有 * 因此 * 解得 n138.3.三、解答
14、题(总题数：9，分数：91.00)15.设 f(x)在a，b上连续，在(a，6)内可导，且 f(a)=a，f(b)=b，试证在(a，b)内存在 i(i=1，2，n)，使 （分数：10.00）_正确答案：(将区间a，bn 等分，得分点 xi(i=0，1，n)， * 由 Lagrange中值定理，*， 使得 F(x i)-F(xi-1)=F( i)(xi=xi-1) * *)解析：分析 构造辅助函数(可由欲证结论看出)，利用 Lagrange微分中值定理证之16.设平面 过直线 （分数：10.00）_解析：17.证明方程 sinx+xcosx=0在区间(0，)内有且仅有一个实根（分数：10.00）
15、_正确答案：(令 F(x)=xsinx，知其在0，上连续，在(0，)内可导，且 F(0)=F()=0，于是由罗尔定理知，至少存在一点 (0，)，使 F()=0，即 sin+cos=0，故在(0，)内，方程sinx+xcosx=0至少有一个根 . * * 从而知 (x)单调递减，x(0，)，即知方程 (x)=0 至多有一个根，故知方程 (x)=0 至多有一个根 综上所述，在(0，)内，方程 sinx+xcosx=0有且仅有一个实根 注：(x)=sinx+xcosx，可利用连续函数介值定理，证明 (x)在(0，)内有零点，不过要在*上考察，而不能直接在0，上用，这是因为 (0)=0事实上 * 故在
16、*内，从而在(0，)内方程 (x)=0 至少有一个根 (x)=2cosx-xsimc，在(0，)内 (x)有零点，故需变形后，才有 (x)0，x(0，)解析：分析 关于“存在性”的证明，可构造一辅助函数，利用罗尔定理证之；关于“唯一性”的证明，要先将 (x)=sinx+xcosx 变形为*，其中 xsinx在(0，)内连续且不为零，记 (x)=*+cosx，从而在(0，)内，(x)=0 的根与 (x)=0 的根是一致的，因此只需证明 (x)是单调的即可18.设函数 f(u)具有连续的导数，求 （分数：10.00）_正确答案：(用球面坐标， * 故 *)解析：分析 本题为三重积分的计算，积分区域
17、为球体(球半径为变量 t)，被积函数含*，故宜采用球面坐标，化为三次积分计算，得出变上限积分，再求极限(其中用到变上限求导，洛比达法则以及导数的概念)19.设 f(x)在点 x0处具有 n阶导数，且 f(x0)=f“(x0)=f(n-1)(x0)=0，f (n)(x0)0，试证： () 当 n为奇数时，f(x)在点 x0不取局部极值； () 当 n为偶数时，f(x)在点 x0取得局部极值： 当 f(n)(x0)0，f(x)在点 x0取得极小值； 当 f(n)(x0)0，f(x)在点 x0取得极大值（分数：10.00）_正确答案：(由泰勒公式及题设知 * () 当 n为奇数时，因为在点 x0的任
18、一邻域内，当 xx 0，有(x-x 0)n0，当 xx 0，有(x-x 0)n0，而f(n)(x0)保持定号，所以差 f(x)-f(x0)当 x由小于 x0变至大于 x0时改变了正负号即在点 x0的任一邻域内有大于 f(x0)的值，也有小于 f(x0)的值因此，f(x)在点 x0处不可能取得极值 ()当 n为偶数时，恒有(x-x 0)n0 若 f(n)(x0)0，则有 f(x)-f(x0)0， 即 f(x)f(x 0)， 于是 f(x)在点 x=x0处取得极小值 若 f(n)(x0)0，则有 f(x)-f(x0)0， 即 f(x)f(x 0)， 于是 f(x)在点 x=x0处取得极大值)解析：
19、分析 按照带有皮亚诺余项的泰勒公式可得， * 由题设知 * 即 * 再由 n的奇偶性，f (n)(x0)0 以及函数的极值概念，即可推出欲证的结论20.设 A为 n阶矩阵，且 A2=E，证明：r(A+E)+r(A-E)=n（分数：10.00）_正确答案：(r(A+E)+r(A-E)r(A+E+A-E)=r(A)， 由*，即|A|0，从而 r(A)=n 故 r(A+E)+r(A-E)n 又 (A+E)(A-E)=A 2+A-A-E=0， 故 r(A+E)+r(A-E)n， 因此 r(A+E)+r(A-E)=n)解析：分析 利用 r(A)+r(B)r(A+B)， r(A)+r(B)r(AB)+n2
20、1.设 A，B 为 n阶矩阵，秩 r(A)+r(B)n 证明： () =0 为 A，B 相同的特征值； ()AX=0 与 BX=0的基础解系组成的向量线性相关； ()A，B 具有公共的特征向量（分数：10.00）_正确答案：()由 r(A)+r(B)n，知 r(A)n，r(B)n，因此有|A|=|B|=0，故 =0 为 A，B 相同的特征值 ()设 r(A)=s，r(B)=t，AX=0 的基础解系为 1， 2， n-s，BX=0 的基础解系为 1， 2， n-t，由于(n-s)+(n-t)n，故向量组 1， 2， n-s， 1， 2， n-t必线性相关 ()由 1， 2， n-s， 1， 2，
21、 n-t，线性相关，知存在不全为零的 k1，k n-s，l 1，l n-t，使 k1 1+kn-s n-s+l1 1+ln-t n-t=0，令 =k 1 1+kn-s n-s=-l1 1-ln-t n-t，则 0(否则 k1，k n-s，l 1，l n-t全为零)，故 为 A，B 属于特征值 =0 的公共特征向量)解析：分析 通过判断|A|是否为零来判断 0是否为 A的特征值有时会比较简便；利用当向量组的秩小于向量组中向量个数时向量组线性相关这个性质，判断向量组的线性相关性有时也较简便22.设随机变量 X在区间(0，1)上服从均匀分布，随机变量 （分数：11.00）_解析：23.设 XN(1，4)，从总体 X中抽取简单随机样本 X1，X 2，X 9，样本均值为 () 求 ； () 已知 （分数：10.00）_正确答案：(由于 X1，X 2，X 9相互独立，服从同一正态分布 N(1，4)，因此 * X1，X 2，X 9的线性函数*标准化，得 * ()根据上式可得 * ()由于 * 因此 * 而 (1.77)=0.9616，(x)是单调增加函数，故 * 所以 k=1.18)解析：分析 将随机变量 X标准化，得 * 由此可解得()利用标准正态分布函数 (x)的单调性，可解得()
