1、考研数学一-404 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=minx 2 ，-3x+10，两个结果 （分数：4.00）A.与都错B.与都对C.错对D.对错2.设 f(x)满足 f“(x)+(1-cosx)f“(x)+xf(x)=sinx，且 f(0)=2则_（分数：4.00）A.x=0 是 f(x)的极小值点B.x=0 是 f(x)的极大值点C.曲线 y=f(x)在点(0，f(0)的左侧邻域是凹的，右侧邻域是凸的D.曲线 y=f(x)在点(0，f(0)的左侧邻域是凸的，右侧邻域是凹的3.设级数 收敛，则_ A 必收敛 B
2、 必收敛 C 必收敛 D （分数：4.00）A.B.C.D.4.在区间(-，+)上的零点个数_ （分数：4.00）A.正好 1 个B.正好 2 个C.正好 3 个D.多于 3 个5.设 （分数：4.00）A.A1y=0B.A2y=0C.A3y=0D.A4y=06.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +2x 2 +x 3 ) 2 +-x 1 +(a-4)x 2 +2x 3 2 +(2x 1 +x 2 +ax 3 ) 2 正定，则参数 a 的取值范围是_（分数：4.00）A.a=2B.a=-7C.a0D.a 往意7.设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)，则 U
3、=X，V=X+Y 的联合概率密度为_（分数：4.00）A.f(u，v)B.f(u，u+v)C.f(u，u-v)D.f(u，v-u)8.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，EX=，DX=1，下面说法中正确的是_ A B 为 2 的无偏估计 C由切比雪夫不等式知 ( 为任意正数) D若 为未知参数，则样本均值 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设空间曲线 其中常数 a0则空间第一型曲线积分 （分数：4.00）10.设 ，则 （分数：4.00）11.微分方程 y“+2y“-3y=xe x 的通解为 y= 1 （分数：4.00）
4、12.设 y=y(x)由方程 确定，则 （分数：4.00）13.设 n 阶行列式 则 （分数：4.00）14.若 X 1 ，X 2 ，X 10 为取自 N(2，3)的简单随机样本， （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设有向曲面 S：z=x 2 +y 2 ，x0，z1，法向量与 z 轴正向夹角为锐角 求第二型曲面积分 （分数：10.00）_16.设 z=z(x，y)具有二阶连续偏导数，试确定常数 a 与 b，使得经变换 u=x+ay，v=x+by，可将 z 关于x，y 的方程 化为 z 关于 u，v 的方程 （分数：10.00）_17.设 a 为正常数，f(x)=
5、xe a -ae x -x+a证明：当 xa 时，f(x)0 （分数：10.00）_设 n 为正奇数，f(x)=x n +x-1（分数：10.00）(1).证明：对于给定的 n，f(x)存在唯一的零点 x n 且 x n 0；（分数：5.00）_(2).证明 （分数：5.00）_18.求平面 P 的方程，已知 P 与曲面 z=x 2 +y 2 相切，并且经过直线 L： （分数：10.00）_设 A，B 是 n 阶矩阵（分数：11.00）(1).A 是什么矩阵时，若 AB=A，必有 B=E.A 是什么矩阵时，有 BE使得 AB=A；（分数：5.50）_(2).设 （分数：5.50）_设 A 是
6、n 阶正定矩阵，x 是 n 维列向量，E 是 n 阶单位矩阵， 记 （分数：11.00）(1).计算 PW；（分数：5.50）_(2).写出二次型 f=|W|的矩阵表达式，并讨论 f 的正定性（分数：5.50）_19.设在某段时间内来到证券交易所的人数 X 服从参数为 的泊松分布，每个来交易所的人购买 A 股的概率为 p假设股民之间是否购买 A 股相互独立，试求在该段时间内交易所 X 人中共有 Y 人买 A 股的数学期望 （分数：11.00）_设(X，Y)的联合概率密度 （分数：11.00）(1).求 Z=X-2Y 的概率密度；（分数：5.50）_(2).求 （分数：5.50）_考研数学一-4
7、04 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=minx 2 ，-3x+10，两个结果 （分数：4.00）A.与都错B.与都对C.错对 D.对错解析：解析 法一 第 1 步，写出 f(x)的分段表达式，由两曲线 y=x 2 与 y=-3x+10 的图形及交点知， 第 2 步，由定积分的性质 经计算有 对所以选 C 法二 同法一的第 1 步，写出 f(x)的分段表达式由分段的 f(x)求出分段的原函数： 第 2 步，从中去找出例如 F(0)=0 且 F“(x)=f(x)的一个原函数 F(x)为此，由于 x=0-5，2，故先从区
8、间-5，2入手，由 0=F(0)=0+C 2 ，故 C 2 =0再由 x=-5 处 F(x)应连续，故 同理，考虑 x=2 处 F(x)也应连续，故 故得区间(-，+)上的一个原函数 第 3 步，由定积分计算公式 2.设 f(x)满足 f“(x)+(1-cosx)f“(x)+xf(x)=sinx，且 f(0)=2则_（分数：4.00）A.x=0 是 f(x)的极小值点B.x=0 是 f(x)的极大值点C.曲线 y=f(x)在点(0，f(0)的左侧邻域是凹的，右侧邻域是凸的 D.曲线 y=f(x)在点(0，f(0)的左侧邻域是凸的，右侧邻域是凹的解析：解析 由所给 f“(x)+(1-cosx)f
9、“(x)+xf(x)=sinx，有 f“(0)=0， f“(x)+sinxf“(x)+(1-cosx)f“(x)+xf“(x)+f(x)=cosx， 于是 f“(0)=1-f(0)=-10，即有 而 f“(0)=0，所以 于是存在 x=0 的某去心邻域 ，当 且 x0 时，f“(x)0，曲线 y=f(x)是凹的；当 3.设级数 收敛，则_ A 必收敛 B 必收敛 C 必收敛 D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 收敛，所以 也收敛，将此两级数逐项相加所成的级数 也收敛也可以举例说明 A，B，D 均不正确 设 收敛，但 发散不选 A 设 收敛，但 ，由 发散，推知 发散不选
10、B 设 ，而 发散， 所以 发散，从而 4.在区间(-，+)上的零点个数_ （分数：4.00）A.正好 1 个B.正好 2 个C.正好 3 个 D.多于 3 个解析：解析 易知 所以 f(x)在(-，+)上至少有 3 个零点又因 5.设 （分数：4.00）A.A1y=0B.A2y=0 C.A3y=0D.A4y=0解析：解析 A 34 x=0 有通解 k(1，0，2，-1) T 将 A 按列分块，设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，即有 1 +0 2 +2 3 - 4 = 1 +2 3 - 4 =0，即 A 2 y=0 有非零解 =(1，2，-1) T ，故应选B其余选项 A，C，D 均
11、不成立如 A 选项，若 A 成立，即 A 1 y=( 2 ， 3 ， 4 )y=0 有非零解，设为( 1 ， 2 ， 3 )，则有 1 2 + 2 3 + 3 4 =0，即 0 1 + 1 2 + 2 3 + 3 4 =0，这和原方程组的通解 k(1，0，2，-1) T 矛盾故 A 不成立，C，D 类似6.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +2x 2 +x 3 ) 2 +-x 1 +(a-4)x 2 +2x 3 2 +(2x 1 +x 2 +ax 3 ) 2 正定，则参数 a 的取值范围是_（分数：4.00）A.a=2B.a=-7C.a0D.a 往意 解析：解析 法一 f
12、(x 1 ，x 2 ，x 3 )是平方和形式，故 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )0 方程组(*)的系数行列式 故对任意的 a，方程组(*)都有唯一零解，即对任意 x0，均存在 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )0，f 正定，故应选 D 法二 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ) 其中 A=B T B 且 A T =A 7.设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)，则 U=X，V=X+Y 的联合概率密度为_（分数：4.00）A.f(u，v)B.f(u，u+v)C.f(u，u-v)D.f(u，v-u) 解析：解析 故 ，所以 8.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简
13、单随机样本，EX=，DX=1，下面说法中正确的是_ A B 为 2 的无偏估计 C由切比雪夫不等式知 ( 为任意正数) D若 为未知参数，则样本均值 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 题中并没有正态分布条件，所以排除 A，D B 中， ，注意 C 中， 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设空间曲线 其中常数 a0则空间第一型曲线积分 （分数：4.00）解析： 解析 平面 x-y=0 经过球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 的中心，所以 L 是一个半径为 a 的圆周今建立它的参数方程将 L 投影到 xOz 平面上去，为此，消去 y，得 所以 L 在 xOz 平面
14、上的投影是一个椭圆引入此椭圆的参数方程： 由于 L 在平面 x-y=0 上，所以 L 的参数方程为 于是 所以 10.设 ，则 （分数：4.00）解析：1-2ln2解析 11.微分方程 y“+2y“-3y=xe x 的通解为 y= 1 （分数：4.00）解析： ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 解析 对应齐次方程的特征根为 r 1 =1，r 2 =-3，故对应齐次方程的通解为 Y=C 1 e x +C 2 e -3x 设原非齐次方程的一个特解为 y*=x(Ax+B)e x =(Ax 2 +Bx)e x ，用待定系数法可求得 12.设 y=y(x)由方程 确定，则 （分数：4.00）解析：-
15、2 解析 将 x=0 代入 ，有 y=1再将所给方程两边对 x 求导，得 于是 从而 13.设 n 阶行列式 则 （分数：4.00）解析： 解析 将 D n 按第一行展开， 得 D n -D n-1 =D n-1 =D n-2 (n=3，4，n)，故数列 D 1 ，D 2 ，D n 是等差数列，其中 ，公差 d=D 2 -D 1 =1 故 D 2 =D 1 +1=2+1，D n =D n-1 +1=n+1， 14.若 X 1 ，X 2 ，X 10 为取自 N(2，3)的简单随机样本， （分数：4.00）解析： 解析 又 与 X 10 独立，则 故 ，且 又 X 10 ， 与 Q 2 均独立，所
16、以 由此可知 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设有向曲面 S：z=x 2 +y 2 ，x0，z1，法向量与 z 轴正向夹角为锐角 求第二型曲面积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 D 1 =(y，z)|y 2 z1，D 2 =(z，x)|x 2 x1，x0， 16.设 z=z(x，y)具有二阶连续偏导数，试确定常数 a 与 b，使得经变换 u=x+ay，v=x+by，可将 z 关于x，y 的方程 化为 z 关于 u，v 的方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 z 与 x，y 的复合关系如图所示： ，于是 代入所给方程，得 按题意，应取 1-4a+3a
17、 2 =0，1-4b+3b 2 =0，2-4(a+6)+6ab0 解得 或 由 可知 ，其中 (v)为 v 的任意的可微函数 于是 其中 (u)为 u 的任意的可微函数， 为 (v)的一个原函数 取 时，得 取 时，得 由于 17.设 a 为正常数，f(x)=xe a -ae x -x+a证明：当 xa 时，f(x)0 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 f(a)=0，f“(x)=e a -ae x -1，f“(x)=-ae x 0以下证明 f“(a)0 令 (a)=f“(a)=e a -ae a -1，(a)| a=0 =0，“(a)=-ae a 0，所以 (a)0(a0)，即 f
18、“(a)0(a0)将 f(x)在 x=a 处按 2 阶泰勒公式展开： 设 n 为正奇数，f(x)=x n +x-1（分数：10.00）(1).证明：对于给定的 n，f(x)存在唯一的零点 x n 且 x n 0；（分数：5.00）_正确答案：()解析：证 当 n 为奇数时，n-1 为偶数，f“(x)=nx n-1 +10，所以 f(x)至多有 1 个零点又因 f(0)=-10，f(1)=10，故 f(x)有且仅有 1 个零点，记为 x n ，0x n 1(2).证明 （分数：5.00）_正确答案：()解析：证 为证 存在，先证x n 单调增加，由 与 有 因为 0x n+1 1，所以 ，于是有
19、 由公式 上式左边第 2 个括号内为正，所以 x n+1 x n ，即x n 严格单调增加由单调有界必有极限定理知 以下证 a=1用反证法设 0a1，由于x n 严格单调增加趋于 a，所以 x n a由 ，有 令 n，得 ，得 a1，矛盾所以 a=1，即 18.求平面 P 的方程，已知 P 与曲面 z=x 2 +y 2 相切，并且经过直线 L： （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 经过直线 的平面束方程为 6y+z+1+(x-5y-z-3)=0， 即 x+(6-5)y+(1-)z+1-3=0 它与曲面 z=x 2 +y 2 相切，设切点为 M(x 0 ，y 0 ，z 0 )于是该曲面
20、在点 M 处的法向量为 n=(2x 0 ，2y 0 ，-1)从而 此外，点 M(x 0 ，y 0 ，z 0 )还应满足 及 x 0 +(65)y 0 +(1-)z 0 +1-3=0 (*) 将(*)，(*)，(*)联立，解得 =2，(x 0 ，y 0 ，z 0 )=(1，-2，5)，或 设 A，B 是 n 阶矩阵（分数：11.00）(1).A 是什么矩阵时，若 AB=A，必有 B=E.A 是什么矩阵时，有 BE使得 AB=A；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 当 A 是可逆矩阵时，若 AB=A，两边左乘 A -1 ，必有 B=E；当 A 不可逆时，有 BE，使得AB=A因 A 不可逆
21、时 Ax=0 有非零解，设 A i =0(i=1，2，n)，合并得 A( 1 ， 2 ， n )=0 令( 1 ， 2 ， n )=B-E 即 B=( 1 ， 2 ， n )+EE，则 A(B-E)=O，得 AB=A，其中B-EO，BE(2).设 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 有解 取 ，则 其中 k，l 是不同时为零的任意常数 令 ，得 即 设 A 是 n 阶正定矩阵，x 是 n 维列向量，E 是 n 阶单位矩阵， 记 （分数：11.00）(1).计算 PW；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 (2).写出二次型 f=|W|的矩阵表达式，并讨论 f 的正定性（分数：5.
22、50）_正确答案：()解析：解 因 ，故 f 的矩阵表达式为： 由 A 是正定矩阵知，|A|0，且 A 的特征值 i 0(i=1，2，n)，A*的特征值为 19.设在某段时间内来到证券交易所的人数 X 服从参数为 的泊松分布，每个来交易所的人购买 A 股的概率为 p假设股民之间是否购买 A 股相互独立，试求在该段时间内交易所 X 人中共有 Y 人买 A 股的数学期望 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 Y=r 表示“有 r 个人买 A 股”，X=i 表示“有 i 个人来到交易所”，i=r，r+1， 于是，由全概率公式有 设(X，Y)的联合概率密度 （分数：11.00）(1).求 Z=
23、X-2Y 的概率密度；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 法一 分布函数法 由分布函数的定义 F Z (z)=PZz=P(X-2Yz)， 当 z-1 时，F Z (z)=0； 当-1z0 时，积分区域如图所示： 当 0z1 时，积分区域如图阴影部分所示： 当 z1 时，F Z (z)=1 综上 所以 法二 公式法 概率密度函数要求变量取值为正， 则 (2).求 （分数：5.50）_正确答案：()解析：解 法一 为求 ，先求 f X|Y (x|y) 在 0y1 条件下， 当 时， 所以 法二 利用二维均匀分布的条件分布是一维均匀分布来求解 即在条件 下等价于在线段 AB 上随机投点，而 等价于范围缩小到 AC 上随机投点，如图所示，所以
