1、考研数学一-416 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.过点(-1，2，3)垂直于直线 且平行于平面 7x+8y+9z+10=0 的直线是（分数：4.00）_2.已知三阶矩阵 A 的特征值为 0，1，则下列结论中不正确的是（分数：4.00）A.矩阵 A 是不可逆的B.矩阵 A 的主对角元素之和为 0C.1 和-1 所对应的特征向量是正交的D.Ax=0 的基础解系由一个解向量组成3.样本(X 1，X 2，X n)取自总体 XN(0，1)， 及 S 分别表示样本均值和均方差，则（分数：4.00）A.B.C.D.4.函数 （分数：
2、4.00）A.B.C.D.5.设 1-cosx-(ax2+bx+c)是比 x2高阶的无穷小，则 a、b、c 的值为（分数：4.00）A.B.C.D.a=b=0，c=26.设 A 为四阶实对称矩阵，满足 A3-A=O，且其正、负惯性指数均为 1，则（分数：4.00）A.行列式|A+E|=1B.2E+A 为正定矩阵C.) 秩D.Ax=0 解空间的维数为 17.已知 f(x)在 x=0 连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 P（分数：4.00）_二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.微分方程 y“-3y+2y=2ex满足 （分数：
3、4.00）填空项 1:_11.设 L 为取正向的圆周 L：x 2+y2=9，则曲线积分 （分数：4.00）填空项 1:_12.已知 ，则二重积分 （分数：4.00）填空项 1:_13.设四阶矩阵 A、B 相似，A 的特征值为 1，2，3，4B *是 B 的伴随矩阵，则|B *-E|=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 XN(，2 2)，X 1，X 2，X n为取自总体的一个样本， 为样本均值，要使 E( （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=f(x,y)在点(1，1)处可微，且 f(1,1)=1， ，(x)=f(x，f(x，x)，求
4、 （分数：10.00）_16.设区域 D=(x，y)：|x|+|y|1，计算：I= （分数：10.00）_17.设 f(x)具有连续的二阶导数，且 f(1)=f(1)=1， + （分数：10.00）_18.设稳定流动的不可压缩流体(假设密度为 1)的速度场由 =(y 2-z)i+(2-x)j+(x2-y)k 给出，锥面（分数：10.00）_19.设 f(x)在a，b上连续，a0，在(a，b)可微证明在(a，b)内存在 使 （分数：10.00）_20.设 1， 2， 3， 4， 为四维列向量，A= 1， 2， 3， 4，已知 Ax= 的通解为 ，其中 （分数：11.00）_21.设 A，B 为
5、n 阶矩阵，秩 r(A) +r(B) n证明：(1)=0 为 A，B 相同的特征值；(2)Ax=0 与 Bx=0 的基础解系组成的向量组线性相关；(3)A，B 具有公共的特征向量（分数：11.00）_22.设随机变量(X，Y)在区域 G=(x，y)|0x2，0y1 上服从均匀分布，求 Z=XY 的概率密度 fZ(z)（分数：11.00）_23.设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i(i=1，2，n)用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X1，X 2，X n设仪器都没有系统误差，即 E(Xi)=(i=1，2，n)，问 k1，k 2，k n应取何值，方
6、能在使用 估计 时， 无偏，并且 D(（分数：11.00）_考研数学一-416 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.过点(-1，2，3)垂直于直线 且平行于平面 7x+8y+9z+10=0 的直线是（分数：4.00）_解析：分析 所求直线的方向向量应与*的方向向量及平面 7x+8y+9z+10=0 的法向量均垂直详解 直线*的方向向量为 S=4，5，6，平面 7x+8y+9z+10=0 的法向量为 n=7，8，92.已知三阶矩阵 A 的特征值为 0，1，则下列结论中不正确的是（分数：4.00）A.矩阵 A 是不可逆的B.矩阵
7、A 的主对角元素之和为 0C.1 和-1 所对应的特征向量是正交的 D.Ax=0 的基础解系由一个解向量组成解析：分析 注意本题是找不正确的答案根据特征值与行列式的关系及特征值的性质应知(A)，(B)正确，而 Ax=0 的非零解对应的是零特征值的特征向量详解 根据|A|= 1 2 3=0，a 11+a22+a33= 1+ 2+ 3=0，知(A)，(B)正确；而 1=0 是单根，因此(0E-A)x=-Ax=0 只有一个线性无关的解向量，即 Ax=0 的基础解系只由一个线性无关解向量构成，(D)也正确因此应选(C)评注 特征向量的正交性是实对称矩阵不同特征值所对应特征向量具有的性质，一般矩阵并不成
8、立3.样本(X 1，X 2，X n)取自总体 XN(0，1)， 及 S 分别表示样本均值和均方差，则（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 本题考查正态总体的抽样分布，要求熟练掌握正态分布的性质以及 2分布、t 分布的定义详解 因为 X1，X 2，X n独立同分布且 XkN(0，1)，于是*，可排除(A)，(B)又*，由 2的可加性知*可见(C)为正确选项至于选项(D)，由*及(n-1)S 2 2(n-1)，知*，因此(D)不正确评注 三个与抽样有关的典型分布的定义： 2分布、t 分布和 F 分布，是常考内容之一，应当熟练掌握4.函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 此
9、类问题一般从讨论是否有偏导数以及是否可微入手，而验证偏导数都存在的二元函数是否可微，只需检验*是否等于零详解 由于*，所以 fx(0，0)=0同理，f y(0，0)=0由于*，令*当(x，y)沿 y=x 趋于(0，0)点时，*因此 f(x，y)在点(0，0)处不可微，故选(B)评注 应注意多元函数可微、偏导存在、连续和极限存在等概念之间的联系，并掌握一些常见的反例5.设 1-cosx-(ax2+bx+c)是比 x2高阶的无穷小，则 a、b、c 的值为（分数：4.00）A.B.C. D.a=b=0，c=2解析：分析 本题条件为：*详解 *由洛必达法则*由洛必达法则*，(C)答案评注 熟练掌握同阶
10、无穷小，等价无穷小、高阶无穷小的定义及相关的运算方法6.设 A 为四阶实对称矩阵，满足 A3-A=O，且其正、负惯性指数均为 1，则（分数：4.00）A.行列式|A+E|=1B.2E+A 为正定矩阵 C.) 秩D.Ax=0 解空间的维数为 1解析：分析 由 A3-A=0，可确定 A 的特征值应满足的条件，而根据正、负惯性指数均为 1，说明大于零与小于零的特征值的个数均为 1，最终可确定所有的特征值，这样就可方便地找到所需答案详解 由题设，A 的特征值满足 3-=0*=0，=1，又根据正负惯性指数均为 1 知， 1= 2=0， 3=1， 4=-1于是有 2E+A 的特征值全大于零，可见 2E+A
11、 为正定矩阵，而(A)，(C)，(D)均不成立，故应选(B)评注 一般地，若 n 阶矩阵 A 满足 f(A)=0，则 A 的任一特征值 必满足 f()=07.已知 f(x)在 x=0 连续，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由导数定义可求得 f(0)，f“(0)详解 *f(0)是 y=f(x)的极大值点，(B)为答案评注 若 y=f(x)在 x0点处连续，且*存在，则 f(x0)=0，且 f(x0)=A8.设 P（分数：4.00）_解析：分析 P(B-A)P(B-AB)P(B)-P(AB)详解 0P()-P(A)P(-A)P(B-A)P(B)-P(AB)0，所以 P(B)-P
12、(AB)=0，即 P(B)=P(AB)，(A)为答案评注 P(A)=1*A=例如 X 是连续型随机变量，有 P(X=a)=0，P(X(-，+)-a=1显然 =X(-，+)，A=X(-，+)-a二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e）解析：分析 先通过积分求出 f(n)+f(n-2)的表达式，再用第二类重要极限进行计算即可详解 *于是*评注 本题综合考查了定积分与求数列极限两个重要知识点10.微分方程 y“-3y+2y=2ex满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-3e x+3e2x-2xex）解析：分析 本题是二阶
13、常系数线性微分方程求解问题，属常规题型值得注意的是条件*与 y(0)=0，y(0)=1 等价详解 对应齐次方程的特征方程为 2-3+2=0，特征值为 1=1， 2=2，由于 =1 为特征根，应设特解为 y*=Axex，代入原方程解得 A=-2故通解为 y=C1ex+C2e2x-2xex又*，知 y(0)=0，y(0)=1，代入上式得 C1=-3，C 2=3，故所求特解为 y=-3ex+3e2x-2xex评注 初始条件可以直接给出，也可以通过形如本题的极限间接引出11.设 L 为取正向的圆周 L：x 2+y2=9，则曲线积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-36）解析：分析 可考
14、虑先将曲线代入被积函数化简，再用格林公式化为二重积分，在计算二重积分时注意利用对称性详解 由格林公式，得*评注 线面积分的一个重要特点是在计算前可先将线面方程代入被积函数中进行化简，但通过相应公式转化为二重积分、三重积分后却不能再将线面方程代入12.已知 ，则二重积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：详解 由二重积分*由*13.设四阶矩阵 A、B 相似，A 的特征值为 1，2，3，4B *是 B 的伴随矩阵，则|B *-E|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：8855）解析：分析 A 的特征值为 ，则 A*的特征值为*详解 AB，所以 B 的特征值为：1，
15、2，3，4|B|=1234=24B*的特征值：*，即 24，12，8，6B *-E 的特征值：23，11，7，5|B *-E|=231175=8855评注 A 的特征值为 ，对应的特征向量为 x，则矩阵多项式 Pn(A)的特征值为 Pn()，对应的特征向量还是 x若 AB，则 A，B 有相同特征值，但特征向量一般不相同14.设总体 XN(，2 2)，X 1，X 2，X n为取自总体的一个样本， 为样本均值，要使 E( （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：40）解析：分析 利用公式 EX2=DX+EX2计算即可详解 * 得 n40评注 从本题可见除利用正态总体的样本均值服从正态分布*可
16、确定样本容量外，还可利用数字特征等来确定样本容量三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 z=f(x,y)在点(1，1)处可微，且 f(1,1)=1， ，(x)=f(x，f(x，x)，求 （分数：10.00）_正确答案：(详解 (1)=f(1，f(1，1)=f(1，1)=1(x)=f 1(x，f(x，x)+f 2(x，f(x，x)f 1(x，x)+f 2(x，x)(1)=f 1(1，f(1，1)+f 2(1，f(1，1)f 2(1，1)+f 2(1，1)=f1(1，1)+f2(1，1)f 1(1，1)+f 2(1，1)=2+3(2+3)=2+15=17*)解析：分析 记 fx=f1，
17、f y=f2，所以已知条件为 f1(1，1)=2，f 2(1，1)=3评注 求 (x)时应注意复合的步骤，不要遗漏16.设区域 D=(x，y)：|x|+|y|1，计算：I= （分数：10.00）_正确答案：(详解 *)解析：分析 区域 D 关于 x、y 轴都对称，因此计算该题时利用对称区域上的函数的积分评注 1*为底面是直角边长为 1 的直角三角形，高为 1 的直角锥体体积2利用对称性计算重积分是常考题型17.设 f(x)具有连续的二阶导数，且 f(1)=f(1)=1， + （分数：10.00）_正确答案：(详解 因为与 y 轴不相交的任意闭路为零，所以*，可得*得到 *令 *，得微分方程：*
18、为 f(t)关于 t 的一阶线性方程所以 f(t)=-2t+C1t2=-2t+3t2 (f(1)=1)，f(t)=-t2+t3+C2=-t2+t3+1 (f(1)=1)所以 f(x)=x 3-x2+1)解析：分析 由条件沿任何闭路积分为零，可得*，由此可得出 f(x)满足的微分方程评注 该题综合了第二类曲线积分沿闭路积分为零的充要条件及求解微分方程应注意到关于 f(t)是一个一阶线性方程，求出 f(t)，再积分才能求得 f(x)18.设稳定流动的不可压缩流体(假设密度为 1)的速度场由 =(y 2-z)i+(2-x)j+(x2-y)k 给出，锥面（分数：10.00）_正确答案：(详解 在单位时
19、间内流向曲面外侧的流体的质量即流量，记为 ，则*添加曲面 1：z=h(x 2+y2h 2)取上侧的曲面积分，由和 1组成封闭曲面，且积分是在该封闭曲面的外侧进行，由高斯公式得：*所以 *故 *)解析：分析 一般地，向量场 A(x，y，z)=P(x，y，z)i+Q(x，y，z)j+R(x，y，z)k 沿着指定侧通过曲面的流量为*P(x，y，z)dydz+Q(x，y，z)dzdx+R(x，y，z)dxdy因此，若稳定流动的不可压缩流体(假设密度为 1)的速度场由 =P(x，y，z)i+Q(x，y，z)j+R(x，y，z)k 给出，则在单位时间内流向有向曲面的流体的质量为*P(x，y，z)dydz+
20、Q(x，y，z)dzdz+R(x，y，z)dxdy本题不是封闭的，可先添加一曲面使其封闭，再利用高斯公式，而在添加的曲面上应用直接投影法计算即可评注 负号应解释为在单位时间内流入曲面的流体的质量为*当不封闭时，添加适当的曲面(一般为平面区域)使其封闭，再用高斯公式进行计算，是第二类曲面积分的典型计算方法19.设 f(x)在a，b上连续，a0，在(a，b)可微证明在(a，b)内存在 使 （分数：10.00）_正确答案：(详解 令 F(x)=x2f(a)+b2f(x)-x2f(x)，则F(a)=F(b)=b2f(a)由罗尔定理：*(a，b)使 F()=0，即得*)解析：分析 要证*，则有 2f(a
21、)-2f()- 2f()+b 2f()=0令 F(x)=2xf(a)-2xf(x)-x2f(x)+b2f(x)，得 F(x)=x2f(a)+b2f(x)-x2f(x)评注 关于找 的问题都要构造辅助函数，具体方法可参见陈文灯先生编著的数学复习指南20.设 1， 2， 3， 4， 为四维列向量，A= 1， 2， 3， 4，已知 Ax= 的通解为 ，其中 （分数：11.00）_正确答案：(详解 由题设知：r(A)=2，且有 = 1- 2+2 3+ 4， 1+2 2+0 3+ 4=0，- 1+ 2+ 3+0 4=0于是有 3= 1- 2， 4=- 1-2 2，=2 1-5 2+0 3可见 1， 2线
22、性无关，r(B)=2，且*为 By= 的特解，又由 1- 2- 3=0 知*为 By=0 的非零解，可作为基础解系，故 By= 的通解为*，其中 k 为任意常数)解析：分析 本题是线性方程组求解的逆问题，已知非齐次线性方程组 Ax= 的一个特解，相当于告之 可由 A 的列向量组线性表示的关系式，而已知齐次线性方程组 Ax=0 的一个解，相当于告之 A 的列向量之间的一个线性组合反过来，求 By= 的通解，只须找出 用 B 的列向量线性表示的关系式(确定相应特解)以及 B 的列向量之间的线性组合(确定相应基础解系)即可评注 类似本题的线性方程组求解的逆问题，可以更全面地考查相关知识的掌握情况，在
23、复习过程中应引起考生重视21.设 A，B 为 n 阶矩阵，秩 r(A) +r(B) n证明：(1)=0 为 A，B 相同的特征值；(2)Ax=0 与 Bx=0 的基础解系组成的向量组线性相关；(3)A，B 具有公共的特征向量（分数：11.00）_正确答案：(详解 (1)由 r(A)+r(B)n，知 r(A)n，r(B)n，因此有|A|=|B|=0，故 =0 为 A，B 相周的特征值(2)设 r(A)=s，r(B)=t，Ax=0 的基础解系为 1， 2， n-t，Bx=0 的基础解系为 1， 2， n-t，由于(n-s)+(n-t)n，故向量组 1， 2， n-s， 1， 2， n-t必线性相关
24、(3)由 1， 2， n-s， 1， 2， n-t线性相关知，存在不全为零的 k1，k n-s，l 1，l n-t使 k1 1+kn-s n-s+l1 1+ln-t n-t=0，令 =k 1 1+kn-s n-s=-l1 1-ln-t n-t，则 0(否则 k1，k n-s，l 1，l n-t全为零)为 A，B属于特征值 =0 的公共特征向量)解析：分析 (1)=0 为 A，B 的特征值*A，B 的行列式为零*r(A)n，r(B)n而由 r(A)+r(B)n，可以立即得到结论；(2)两个基础解系组成的向量组所含向量个数大于维数 n，从而必线性相关；(3)利用(2)的结论及线性相关的定义证明即可
25、评注 本题综合考查了行列式、矩阵秩、线性相关、线性无关、线性方程组的解和特征值的概念等多个重要知识点22.设随机变量(X，Y)在区域 G=(x，y)|0x2，0y1 上服从均匀分布，求 Z=XY 的概率密度 fZ(z)（分数：11.00）_解析：23.设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i(i=1，2，n)用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X1，X 2，X n设仪器都没有系统误差，即 E(Xi)=(i=1，2，n)，问 k1，k 2，k n应取何值，方能在使用 估计 时， 无偏，并且 D(（分数：11.00）_正确答案：(详解 由于 E(Xi)=(i=1，2，n)，则*无偏性要求*此时*要使*达到最小，作函数*由*得方程*所以*，代入最后一式求得*当 ki取*时(i=1，2，n)，*的方差达到最小)解析：分析 要使得*为无偏估计，相当于*，由此可确定应满足的条件；而方差最小，相当于在此条件下，求*的条件极值评注 本题综合考查了概率统计中的参数估计与高等数学中的条件极值两个重要知识点
