1、考研数学一-439 及答案解析(总分：109.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：38，分数：109.00)1.设 u=f(x，y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 确定，其中 f连续可偏导，h 连续，求 （分数：2.00）_2.设 证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但 （分数：2.00）_设 （分数：2.00）(1).f(x，y)在点(0，0)处是否连续?（分数：1.00）_(2).f(x，y)在点(0，0)处是否可微?（分数：1.00）_3.设 z=(x 2 +y 2 ) sec2(x+y) ，求 （分数：2.00）_设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 （分数：2.
2、00）(1).若 （分数：1.00）_(2).若 （分数：1.00）_4.设函数 f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)证明： （分数：3.00）_5.设 ，求 （分数：3.00）_6.设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 ，求 （分数：3.00）_7.设函数 z=f(u)，方程 确定 u为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，“(u)连续，且“(u)1，求 （分数：3.00）_8.设 z=z(x，y)满足 ，令 证明： （分数：3.
3、00）_9.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)在由 x轴、y 轴及 x+y=6所围成的闭区域 D上的最小值和最大值 （分数：3.00）_10.求函数 u=x+y+z在沿球面 x 2 +y 2 +z 2 =1上的点(x 0 ，y 0 ，z 0 )的外法线方向上的方向导数，在球面上怎样的点使得上述方向导数取最大值与最小值? （分数：3.00）_11.某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 p 1 ，p 2 ，销售量分别为 q 1 ，q 2 ，需求函数分别为 q 1 =24-0.2p 1 ，q 2 =10-0.05p 2 总成本函数为 C=35+40(q 1 +q
4、2 )，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少? （分数：3.00）_12.设二元函数 f(x，y)=|x-y|(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0 （分数：3.00）_13.设 ：x=x(t)，y=y(t)(t)是区域 D内的光滑曲线，即 x(t)，y(t)在(，)内有连续的导数且 x“ 2 (t)+y“ 2 (t)0，f(x，y)在 D内有连续的偏导数若 P 0 是函数 f(x，y)在 上的极值点，证明：f(x，y)在点 P 0 沿 的切线方向的方向导数为零 （分
5、数：3.00）_14.已知二元函数 f(x，y)满足 作变换 且 f(x，y)=g(u，v)， 若 （分数：3.00）_15.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 （分数：3.00）_16.计算二重积分 （分数：3.00）_17.计算 （分数：3.00）_18.已知 设 D为由 x=0，y=0 及 x+y=t所围成的区域，求 （分数：3.00）_19.计算 其中 D=(x，y)|0x1，0y1 故 （分数：3.00）_20.计算 （分数：3.00）_21.计算 （分数：3.00）_22.计算 ，其中 D由 y=-x， （分数：3.00）_23.计算 （分数：3.00）_24.计算 （分数：3
6、.00）_25.计算二重积分 （分数：3.00）_26.设半径为 R的球面 S的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问 R取何值时，球面 S在定球面内的面积最大? （分数：3.00）_27.设 f(x)在a，b上连续，证明： （分数：3.00）_28.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得 （分数：3.00）_29.设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0， 为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：3.00）_30.设函数 f(x)Ca，b，且
7、 f(x)0，D 为区域 axb，ayb 证明： （分数：3.00）_31.设 f(x)连续， 其中 V=(x，y，z)|x 2 +y 2 t 2 ，0zh(t0)，求 （分数：3.00）_32.设 ：x 2 +y 2 +z 2 1，证明： （分数：3.00）_33.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：3.00）_34.交换积分次序并计算 （分数：3.00）_35.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：3.00）_36.证明：用二重积分证明 （分数：3.00）_考研数学一-439 答案解析(总分：109.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：38，分数
8、：109.00)1.设 u=f(x，y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 确定，其中 f连续可偏导，h 连续，求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 两边对 x求偏导得 解得 根据对称性，得 所以， 2.设 证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但 （分数：2.00）_正确答案：()解析：证明 因为 所以 f(x，y)在点(0，0)处对 x，y 都可偏导，且 f“ x (0，0)=f“ y (0，0)=0 f(x，y)-f(0，0)-f“ x (0，0)x-f“ y (0，0)y= ，其中 ， 因为 所以 f(x，y)在(0，0)处可微 当(x，y)(0，0)时， 因为 不存在，所
9、以 在点(0，0)处不连续，同理 设 （分数：2.00）(1).f(x，y)在点(0，0)处是否连续?（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 因为 ，所以(2).f(x，y)在点(0，0)处是否可微?（分数：1.00）_正确答案：()解析：解 因为 3.设 z=(x 2 +y 2 ) sec2(x+y) ，求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由 z=(x 2 +y 2 ) sec2(x+y) ，得 z=e sec2(x+y)ln(x2+y2) ， 则 设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 （分数：2.00）(1).若 （分数：1.00）_正确答案：()解析：证明 因为 (2)
10、.若 （分数：1.00）_正确答案：()解析：证明 因为 令 从而 4.设函数 f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 u=tx，v=ty，w=tz，f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)，两边对 t求导得 当 t=1时，有 5.设 ，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 则 6.设 u=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 确定，其中 f，g，h 连续可偏导且 ，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 方程组由五
11、个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中 x，y 为自变量，由u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得 所以 ，于是 三个方程两边对 y求偏导得 7.设函数 z=f(u)，方程 确定 u为 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t)，“(u)连续，且“(u)1，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 z=f(u)两边对 x及 y求偏导，得 方程 两边对 x及 y求偏导，得 ，解得 ，于是 8.设 z=z(x，y)满足 ，令 证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 由 则 9.求二元函数 z=f(x，y)=x 2 y(4-x-y)
12、在由 x轴、y 轴及 x+y=6所围成的闭区域 D上的最小值和最大值 （分数：3.00）_正确答案：()解析：求 f(x，y)在区域 D的边界上的最值， 在 L 1 ：y=0(0x6)上，z=0； 在 L 2 ：x=0(0y6)上，z=0； 在 L 3 ：y=6-x(0x6)上，z=-2x 2 (6-x)=2x 3 -12x 2 ， 由 得 x=4，因为 f(0，0)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=-64，所以 f(x，y)在 L 3 上最小值为-64，最大值为 0 (2)在区域 D内，由 得驻点为(2，1)， 10.求函数 u=x+y+z在沿球面 x 2 +y 2 +z 2 =1上的点
13、(x 0 ，y 0 ，z 0 )的外法线方向上的方向导数，在球面上怎样的点使得上述方向导数取最大值与最小值? （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 球面 x 2 +y 2 +z 2 =1在点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处的外法向量为 n=2x 0 ，2y 0 ，2z 0 ， 方向余弦为 ，cos=y 0 ，cos=z 0 ， 又 ，所求的方向导数为 令 F=x+y+z+(x 2 +y 2 +z 2 -1)， 由 当 时，方向导数取最大值 ；当 时，方向导数取最小值 11.某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为 p 1 ，p 2 ，销售量分别为 q 1 ，q 2 ，需求函
14、数分别为 q 1 =24-0.2p 1 ，q 2 =10-0.05p 2 总成本函数为 C=35+40(q 1 +q 2 )，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少? （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 p 1 =120=5q 1 ，p 2 =200-20q 2 ，收入函数为 R=p 1 q 1 +p 2 q 2 ， 总利润函数为 L=R-C=(120-5q 1 )q 1 +(200-20q 2 )q 2 -35+40(q 1 +q 2 )， 由 12.设二元函数 f(x，y)=|x-y|(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函
15、数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 (必要性)设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 f“ x (0，0)，f“ y (0，0)存在 因为 且 ，所以 (0，0)=0 (充分性)若 (0，0)=0，则 f“ x (0，0)=0，f“ y (0，0)=0 因为 又 所以 13.设 ：x=x(t)，y=y(t)(t)是区域 D内的光滑曲线，即 x(t)，y(t)在(，)内有连续的导数且 x“ 2 (t)+y“ 2 (t)0，f(x，y)在 D内有连续的偏导数若 P 0 是函数 f(x，y)在 上的极值点，证明：f(x，
16、y)在点 P 0 沿 的切线方向的方向导数为零 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 其中 cos，cos 为切线 的方向余弦 当(x，y) 时，f(x，y)为 t的一元函数 fx(t)，y(t)，记 P 0 对应的参数为 t 0 ， 因为 t 0 为一元函数 fx(t)，y(t)的极值点，所以 ， 而 ， 在点 P 0 处的切向量为x“(t 0 )，y“(t 0 )，其对应的单位向量为 所以 又因为 ， 所以 14.已知二元函数 f(x，y)满足 作变换 且 f(x，y)=g(u，v)， 若 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 又 所以有 于是 15.设 f(x)连续，且 f
17、(0)=1，令 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由 得 F“(t)=2tf(t 2 )，F“(0)=0， 16.计算二重积分 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 )其中 D=(x，y)|0x1，-xy -1， 令 则 于是 17.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 则 18.已知 设 D为由 x=0，y=0 及 x+y=t所围成的区域，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 当 t0 时，F(t)=0； 当 0t1 时， 当 1t2 时， 当 t2 时，F(t)=1，则 19.计算 其中 D=(x，y)|0x1，0y1 故 （分数：3.00）_正确
18、答案：()解析：解 令 D 1 =(x，y)|0x1，0yx，D 2 =(x，y)|0xy，0y1，则 由 20.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 D 1 =(x，y)|-1x1，0yx 2 ，D 2 =(x，y)|-1x1，x 2 y2， 则 21.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 令 ，解得 ， 则 22.计算 ，其中 D由 y=-x， （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 将 D分成两部分 D 1 ，D 2 ，其中 D 1 =(x，y)|0x1， ， 则 23.计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 24.计算 （分数：3.00）_正确
19、答案：()解析：解 令 则 令 原式 因为 所以原式 25.计算二重积分 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 根据对称性 ，其中 D 1 是 D位于第一卦限的区域 令 则 故 26.设半径为 R的球面 S的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问 R取何值时，球面 S在定球面内的面积最大? （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设球面 S：x 2 +y 2 +(z-a) 2 =R 2 ， 由 得球面 S在定球内的部分在 xOy面上的投影区域为 球面 S在定球内的方程为 ， ，所求面积为 令 因为 ，所以当 27.设 f(x)在a，b上连续，证明： （分数
20、：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 则 28.设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D，使得 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为 f(x，y)在 D上连续，所以 f(x，y)在 D上取到最大值 M和最小值 m，故 mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x，y)Mg(x，y) 积分得 (1)当 时， ，则对任意的(，)D，有 (2)当 时， 由 得 由介值定理，存在(，)D，使得 即 29.设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0， 为 y=f(x
21、)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 ， ，0x因为 f“(x)0，所以 f“(x)单调增加，所以 “(x)0由 (x)0(x0) 30.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb 证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 因为积分区域关于直线 y=x对称， 所以 ，于是 又因为 f(x)0，所以 ，从而 31.设 f(x)连续， 其中 V=(x，y，z)|x 2 +y 2 t 2 ，0zh(t0)，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 32.设 ：x 2 +y 2 +z 2 1，证明： （
22、分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 f(x)=x+2y-2z+5， 因为 f“ x =10，f“ y =20，f“ z =-20，所以 f(x，y，z)在区域 的边界 x 2 +y 2 +z 2 =1上取到最大值和最小值 令 F(x，y，z，)=x+2y-2z+5+(x 2 +y 2 +z 2 -1)， 由 得驻点为 因为 f(P 1 )=8，f(P 2 )=2，所以 在 上的最大值与最小值分别为 2和 ，于是 33.设 f(x)为连续函数，计算 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解 设 f(x)的一个原函数为 F(x)，则 34.交换积分次序并计算 （分数：3.00）_正确
23、答案：()解析：解 而 于是 35.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 等价于 ， 等价于 ，或者 令 ， 根据对称性， ， 因为 f(x)0 且单调减少，所以(y-x)f(x)-f(y)0，于是 2I0，或 I0， 所以 36.证明：用二重积分证明 （分数：3.00）_正确答案：()解析：证明 令 D 1 =(x，y)|x 2 +y 2 R 2 ，x0，y0， S=(x，y)|0xR，0yR， D 2 =(x，y)|x 2 +y 2 2R 2 ，x0，y0 (x，y)=e -(x2+y2) ， 因为 (x，y)=e -(x2+y2) 0 且 ， 所以 而 于是 令 R+同时注意到 ，根据夹逼定理得
