1、考研数学（数学二）模拟试卷 439 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)连续，且 ，则( )（A）x=0 为极大值点（B） x=0 为极小值点（C） (0，f(0)为拐点（D）x=0 不是极值点，(0，f(0) 也不是拐点2 xex+1= 的根的个数为( )（A）没有根（B）恰有一个根（C）恰有两个根（D）有三个根3 设函数 f(x)是连续且单调增加的奇函数，(x)= 0x(2ux)f(xu)du，则 (x)是( )（A）单调增加的奇函数（B）单调减少的奇函数（C）单调增加的偶函数（D）单调减少的偶函数4 设函数 f(x)具有一阶导数，下述
2、结论中正确的是( )（A）若 f(x)只有一个零点，则 f(x)必至少有两个零点（B）若 f(x)至少有一个零点，则 f(x)必至少有两个零点（C）若 f(x)没有零点，则 f(x)至少有一个零点（D）若 f(x)没有零点，则 f(x)至多有一个零点5 y= 的渐近线条数为( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条6 设函数 y=f(x)的增量函数y=f(x+ x)f(x)= +o(x)，且 f(0)=，则 f(1)为( )（A）（B） e（C）（D）e 7 设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=mn，则下列结论正确的是( )（A）A 的任意 m 阶子式都不等于零（B） A 的
3、任意 m 个列向量线性无关（C）方程组 AX=b 一定有无数个解（D）矩阵 A 经过初等行变换化为(E m O)8 设 A，B 为三阶矩阵且 A 不可逆，又 AB+2B=O 且 r(B)=2，则A+4E =( )（A）8（B） 16（C） 2（D）0二、填空题9 设 f(x)在( ，+)内可导，且 =e2，则 a=_10 设 f(x，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为=_11 xy“ y=x2 的通解为_12 设 =0，且 F(u，v)连续可偏导，则 =_13 =_14 设 A 为三阶矩阵，A 的三个特征值为 1=2， 2=1， 3=2，A *是 A 的伴随矩阵，则 A11+A22+A3
4、3=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求极限16 设函数 f(x)和 g(x)在区间 a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g(x) 0，试证明存在 (a，b)使17 设 ()用变换 x=t2 将原方程化为 y 关于 t的微分方程；() 求原方程的通解18 设直线 y=ax+b 为曲线 y=ln(x+2)的切线，若 y=ax+b，x=0，x=4 及曲线y=ln(x+2)围成的图形面积最小，求 a，b 的值19 求二重积分 x 2+y2xdxdy，其中 D=(x，y)0y1x，0x120 设 z=z(x，y)由 3x22xy+y 2yzz 2+
5、22=0 确定的二元函数，求其极值21 设 f(x)在1，+)上连续且可导，若曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴围成的平面区域绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 且f(2)= ，求函数 y=f(x)的表达式22 设 已知 AX=B 有解()求常数a，b；() 求 X23 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=5x12+ax22+3x322x 1x2+6x1x36x 2x3 的矩阵合同于() 求常数 a 的值；()用正交变换法化二次型 f(x1，x 2，x 3)为标准形考研数学（数学二）模拟试卷 439 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题
6、目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 0xtf(xt)dt x0xf(u)du 0xuf(u)du 得因为f(x)连续，所以 f(0)=0，再由极限保号性，存在 0，当 0x 时，f(x)0=f(0)，即 x=0 为 f(x)的极小值点，应选 (B)2 【正确答案】 B【试题解析】 令 f(x)=xex+1 ，由 f(x)=(x+1)ex+1=0 得 x=1，f“(x)=(x+2)e x+1，由 f“(1)=10 得 x=1 为最小值点，最小值为 m=f(1)= 0，方程 xex+1= 有且仅有一个根选(B)3 【正确答案】 B【试题解析】 (x)= 0x(2ux)f(xu)du=2
7、0xuf(x u)dux 0xf(xu)du=2 0xuf(xu)d(x u)+x 0xf(xu)d(xu) 2 x0(xt)f(t)dt+x x0f(t)dt=20x(xt)f(t)dtx 0xf(t)dt=2x0xf(t)dt2 0xxf(t)dtx 0xf(t)dt=x0xf(t)dt2 0xtf(t)dt，因为 (x)=x 0x f(t)dt2 0x tf(t)dt x0xf(u)du2 0x(u)f(u)d(u)=x 0xf(u)du+20xuf(u)du=(x)，所以 (x)为奇函数；又 (x)=0xf(t)dtxf(x)，当 x0 时，(x)= 0xf(t)dtxf(x)=xf(
8、)f(x)0(0x)，当 x0 时，(x)=0xf(t)dtxf(x)=xf()f(x)0(x0)，所以 (x)为单调减少的奇函数，选(B)4 【正确答案】 D【试题解析】 若 f(x)至少有两个零点，根据罗尔定理，f(x)至少有一个零点，故若 f(x)没有零点，则 f(x)至多一个零点，选(D)5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 =，所以曲线没有水平渐近线；因为 =+，所以 x=0为铅直渐近线；因为 ，所以 x=2 不是铅直渐近线；因为=1，所以y=x+7 为曲线的斜渐近线，故曲线有两条渐近线，应选(B)6 【正确答案】 C【试题解析】 由y= +o(x)得 y=f(x)为可导函数，且则
9、 y=f(x)= =Cearctanx，因为 f(0)=，所以 C=，于是 f(x)=earctanx，故 f(1)= ，选(C)7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 与 都是 m 行，所以 r(A)= =mn，所以方程组 AX=b一定有无数个解，选(C) 8 【正确答案】 B【试题解析】 令 B=(1， 2， 3)，由 AB+2B=O 得 Ai=2 i(i=1，2，3)， 由 r(B)=2 得 =2 至少为 A 的二重特征值， 又由 r(A)3 得 3=0，故1=2=2， 3=0， A+4E 的特征值为 1=2=2， 3=4，故A+4E=16选(B)二、填空题9 【正确答案】 1【试题
10、解析】 由微分中值定理得 f(x)f(x 一 1)=f()，其中 x1x，10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 由 xy“y=x 2，得 由y=x2+C1x，得原方程的通解为12 【正确答案】 z【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 -4【试题解析】 因为 A 的特征值为 1=2， 2=1， 3=2，所以 A*的特征值为1=2， 2=4， 3=2，于是 A11+A22+A33=tr(A*)=1+2+3=242=4三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由(1+x) a=1+ax+ +o(x2)得16 【正
11、确答案】 令 (x)=f(x)xbg(t)dt+g(x)axf(t)dt，显然函数 (x)在区间a，b)上连续，函数 (x)在区间(a， b)内可导，且 (x)=f(x) xbg(t)dtf(x)g(x)+g(x)f(x)+g(x)axf(t)dt =f(x)xbg(t)dt+g(x)axf(t)dt，另外又有 (a)=(b)=0 所以根据罗尔定理可知存在 (a，b)使 ()=0，即 f()bg(t)dt+g()af(t)dt=0，由于 g(b)=0 及 g(x)0，所以区间(a，b)内必有 g(x)0，从而就有 bg(t)dt0，于是有17 【正确答案】 ()()特征方程为 26=0，特征值
12、为 1=2， 2=3，18 【正确答案】 设直线 y=ax+b 为曲线 y=ln(x+2)在点(x 0，ln(x 0+2)处的切线，当 x0(2，2)时，S(x 0)0，当 x02 时，S(x 0)0，则 x0=2 为 S(x0)的最小点，从而当 时，y=ax+b，x=0，x=4 及曲线 y=ln(x+2)围成的图形面积最小19 【正确答案】 在区域 D 内作圆 x2+y2x，将区域 D 分为 D1，D 2，则第一卦限的角平分线将D1 分为 D11 及 D12，20 【正确答案】 3x 22xy+y 2yz z 2+22=0 对 x， y 求偏导得当(x，y)=(1，3) 时，将 x=1，y=
13、3，z=4， 代入得因为 ACB 2= 0 且 A0，所以(1，3)为z=z(x，y) 的极大点，极大值为 z=4；当(x，y)=(1，3)时，将 x=1，y=3，z=4，代入得 因为 ACB 2= 0 且 A0，所以(1 ，3) 为 z=z(x，y)的极小点，极小值为 z=421 【正确答案】 由旋转体的体积公式得 V(t)=1tf2(u)du，由已知条件得 1tf2(u)du= t2f(t)f(1)，即 31tf2(u)du=t2f(t)f(1) 等式两边对 t 求导得 3f2(t)=2tf(t)+t2f(t)，于是有 x2y=3y2 2xy，变形得22 【正确答案】 () 因为 AX=B 有解，所以 r(A B)=r(A)，()令X=(X1，X 2)， B=(b1，b 2)，23 【正确答案】 ()()由EA = =(4)(9)=0 得 1=0， 2=4， 3=9则 f(x1，x 2，x 3)=XTAX YT(QTAQ)Y=4y22+9y32
