1、考研数学（数学一）模拟试卷 439 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 设 f(x)在区间0，1上连续，且 0f(x)1，又设 则级数( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与具体的 f(x)有关3 设常数 a 0， 则( )（A）当 0a 1 时，f(x)的最大值是（B）当 0a1 时，f(x) 的最大值是 f(0)（C）当 a1 时，f(x)的最小值是（D）当 a1 时，f(x)的最小值是 f(0)4 设平面区域 D(t)=(x，y)|03gY，0ty1，（A）4（B）一 4（C）（D）5 设 A 是 4 阶方阵，则下列线性方程
2、组是同解方程组的是 ( )（A）Ax=0；A 2x=0（B） A2x=0；A 3x=0（C） A3x=0；A 4x=0（D）A 4x=0；A 5x=06 设 是 2 阶实矩阵，则下列条件不是 A 相似于对角阵的充分条件的是( )（A）adbc0（B） b，c 同号（C） b=c（D）b，c 异号7 设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是( )（A）X+Y（B） XY（C） maxX，Y)（D）minX，Y) 8 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，EX=，DX=1，下面说法中正确的是( )（A）（B） 为
3、 2 的无偏估计（C）由切比雪夫不等式知 ( 为任意正数)（D）若 为未知参数，则样本均值 既是 的矩估计，又是 的最大似然估计二、填空题9 设三元函数 向量 l 的三个方向角分别为则 u 在点 O(0，0，0)处方向为 l 的方向导数10 设常数 a 0，双纽线(x 2+y2)2=a2(x2y 2)围成的平面区域记为 D，则二重积分11 微分方程 ydxxdy=x2ydy 的通解为_12 13 直线 相交于一点，则 a=_14 设随机变量 X 的密度为 随机变量 Y 服从参数为 1 的泊松分布，且 X 与 y 独立，则 D(XY)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已
4、知ABC 的面积为 S，三边长分别为 a、b、c在该三角形内求一点 P，使该点到 AABC 三边的距离的乘积为最大并求出乘积最大时的这三个距离及此乘积的最大值16 ()设 0 x+ ，证明存在 ，01，使 ()求出()中 关于 x 的函数具体表达式 =(x)，并求出当 0x+时函数 (x)的值域17 设常数 a、 b、c 均为正数，且各不相等有向曲面 S=(x，y，z)|z=上侧)求第二型曲面积分18 设常数 a 0，积分 讨论 I1 与 I2 谁大谁小，并给出推导过程19 适当取函数 (x)，作变量代换 y=(x)u，将 y 关于 x 的微分方程化为 u 关于 x 的二阶常系数线性齐次微分方
5、程+u=0，求 (x)及常数 ，并求原方程满足 y(0)=1，y(0)=0 的特解。20 设 A，B，X 均是 3 阶矩阵，其中问 a 为何值时，矩阵方程AxB=BX 无解； a 为何值时，矩阵方程 AXB=BX 有解有解时，求全部解21 设 A，B，C 均是 3 阶矩阵，满足 AB=2B，CA T=2C其中()求 A；()证明：对任何3 维向量 ，A 100 与 必线性相关22 设随机变量 X 和 y 相互独立，且服从同一分布， PX=i)=PY=i)= i=1，2， 3令 U=maxX，Y)，V=minX ，Y)求()(U，V) 的概率分布；()Z=XU 的概率分布；()Cov(X，U)2
6、3 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，已知方差 DX=1，而随机变量 Y 的密度函数为 f(一 y)，且 X 与 Y 的相关系数为 记 Z=X+Y()求 EZ，DZ；()用切比雪夫不等式估计 P|Z|2)考研数学（数学一）模拟试卷 439 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 作积分变量代换 u=x 一 t，2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 0f(x)1 且 f(x)连续，所以所以 发散，并且由莱布尼茨判别法知，交错级数 收敛，所以 条件收敛3 【正确答案】 C【试题解析】 故f(0)=0 为最大值，所以 (A)、
7、(B)都不正确当 a1 时，驻点不在闭区间 的内部，故在 内 f(x) 0，f(x) 是严格单调减少的，所以 为最小值选(C)4 【正确答案】 D【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 证明(D) 成立由法一易知 用反证法设 A5x=0，但 A4X0因 x，Ax，A 2x，A 3x，A 4x5 个 4 维向量必线性相关，故存在不全为零的数 k0， k1，k 2，k 3，k 4，使得k0x+k1Ax+k2A2x+k3A3x+k4A4x=0(*)(*)式两边左乘 A4，得k0A4x+k1A5x+k2A6x+k3A7x+k4A8x=0 k0A4x=0因 A4x0，则 k0=0将 k0=0 代
8、入(*)式，得 k1Ax+k2A2x+k3A3x+k4A4x=0(*)同理可证得k1=0，k 2=0，k 3=0，k 4=0这和已知 5 个 4 维向量线性相关矛盾故A5x=0 A4x=0故 A5x=0 A4x=0(D) 是同解方程组，应选(D)6 【正确答案】 D【试题解析】 对(C) ，当 b=c 时，A 是实对称矩阵 AA ，故(C) 是充分条件由A 的特征值，看什么条件下 A 相似于对角矩阵对(A)，当 ad 一bc0 时，由(*)，(a+d) 2 一 4(ad 一 bc)0A 有两个不同的特征值 AA 故(A)是充分条件对(B)，当 b，c 同正或同负时，由(*)式可知，(a 一 d
9、)2+4bc0A有两个不同的特征值 AA故(B)是充分条件对(D)，当 b，c 异号时，由(*)式知，因 bc0，当(a 一 d)2+4bc=0 时，会有二重特征值例：1=2=0，但 r(0EA)=1，线性无关的特征向量只有一个，A A，故(D)不是充分条件，故应选(D) 7 【正确答案】 D【试题解析】 利用服从指数分布的充要条件或必要条件来判断因为 E(X+Y)= ，E(X Y)=0，即可判断选项(A)、(B)不成立若 Z1=maxX，Y)，则 Fz1(z)=Fx(z)2，fz 1(z)=2Fx(z)fx(z)一 2(1 一 ez )ez ，所以(C) 不正确若 Z2=minX，Y)，则
10、Fz2(z)=1一1 一 Fx(z)2，fz 2(z)=21 一 Fx(z)fx(z)=2ez .ez 一 2e2z ，(D) 正确8 【正确答案】 C【试题解析】 题中并没有正态分布条件，所以排除(A)、(D) 二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 向量 l 的 3 个方向余弦分别为10 【正确答案】 【试题解析】 由于被积函数及积分区域 D 关于两坐标轴都对称，所以11 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 将方程改写为 此为全微分方程，即 通解为 ，其中 C 为任意常数12 【正确答案】 e 1【试题解析】 13 【正确答案】 0【试题解析】 将直线 L1 的标准方程(点向
11、式方程)改为交面式方程，对(A|b)作初等行变换，得 故 a=0 时，两直线交于一点14 【正确答案】 43【试题解析】 由 X 的密度函数知 ，则 E(X 一 2)=3 EX=5，D(X 一 2)=32 DX=9由 YP(1)，有 EYDY=1，故 D(XY)=E(XY)2一E(XY) 2=E(X2Y2)一E(XY) 2=E(X2).E(Y2)一(EX.EY) 2=DX+(EX)2DY+(EY)2一(EX) 2.(EX)2=DX.DY+DX(EY)2+DY(EX)2=91+912+1527=43三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 设点 P 到边长分别为 a、
12、b、c 的边的距离分别为 x、y、z ，于是当点 P 在三角形的边上时，xyz=0而 P 在三角形内部时，xyz 0所以当点 P 在三角形内部时，乘积xyz 有最大值所以当 时，xyz 最大，最大值为16 【正确答案】 () 取 由拉格朗日中值定理有 f(x+1)一 f(x)=f()(x+1 一x)，即 其中 x x+1 ，=x+,0 1() 由()有17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 由题设条件，矩阵方程为(AB)X=B，将 X 和 B 以列分块，则矩阵方程为(AB)X=B (AB)(X1，X 2，X 3)=(1， 2， 3) (AB)Xi=，i=
13、1，2，3对增广矩阵(AB|B)作初等行变换a=一 1 时，r(AB)=2r(AB|B)=3，矩阵方程无解；a一 1 时， r(AB)=3=r(AB|B)=3，矩阵方程有唯一解其中(AB)X 1=1 有解 1= (AB)X2=2 有解 2=(一 1，2，1) T，(AB)X 3=3 有解 3=21 【正确答案】 由题设条件AB= 一 2B，将 B 按列分块，设 B=(1， 2， 3)，则有 A(1， 2， 3)=一 2(1， 2， 3)，即 Ai=一 2i，i=1，2，3，故 i(i=1，2，3)是A 的对应于 =一 2 的特征向量又因 1， 2 线性无关， 3=1+2，故 1， 2 是 A的
14、属于 =一 2 的线性无关特征向量CA T=2C，两边转置得 ACT=2CT，将 CT 按列分块，设 CT=(1， 2， 3)，则有 A(1， 2， 3)=2(1， 2， 3)，Ai=2i，i=1，2，3，故 i(i=1，2，3)是 A 的属于 =2 的特征向量，因 1， 2， 3互成比例，故 1 是 A 的属于特征值 =2 的线性无关的特征向量取P=(1， 2， 1)，则 P 可逆，且()因 Ai=一2i(i=1，2) ，故 A100i=(一 2)100i=2100i(i=1，2)，A 1=21，故 A1001=21001对任意的 3 维向量 ，因 1， 2， 1 线性无关，考可由 1， 2， 1 线性表示，且表示法唯一设 =11+22+31，则 A100=A100(11+22+31)=1A1001+2A1002+3A1001=121001+221002+321001=2100(11+22+3a1)=2100得证 A100 和 成比例，A 100 和 线性相关22 【正确答案】 23 【正确答案】
