1、考研数学（数学二）模拟试卷 439 及答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A.x=0 为极大值点B.x=0 为极小值点C.(0，f(0)为拐点D.x=0 不是极值点，(0，f(0)也不是拐点3.xe x+1 = （分数：2.00）A.没有根B.恰有一个根C.恰有两个根D.有三个根4.设函数 f(x)是连续且单调增加的奇函数，(x)= 0 x (2ux)f(xu)du，则 (x)是( )（分数：2.00）A.单调增加
2、的奇函数B.单调减少的奇函数C.单调增加的偶函数D.单调减少的偶函数5.设函数 f(x)具有一阶导数，下述结论中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)只有一个零点，则 f(x)必至少有两个零点B.若 f(x)至少有一个零点，则 f(x)必至少有两个零点C.若 f(x)没有零点，则 f(x)至少有一个零点D.若 f(x)没有零点，则 f(x)至多有一个零点6.y= （分数：2.00）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条7.设函数 y=f(x)的增量函数y=f(x+x)f(x)= （分数：2.00）A.B.e C.D.e 8.设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=mn，则下列结论正确
3、的是( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 阶子式都不等于零B.A 的任意 m 个列向量线性无关C.方程组 AX=b 一定有无数个解D.矩阵 A 经过初等行变换化为(E m 9.设 A，B 为三阶矩阵且 A 不可逆，又 AB+2B=O 且 r(B)=2，则A+4E=( )（分数：2.00）A.8B.16C.2D.0二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f(x)在(，+)内可导，且 =e 2 ， （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为 （分数：2.00）填空项 1:_12.xy“y=x 2 的通解为 1（分数：2.00）填空项
4、 1:_13.设 =0，且 F(u，v)连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 为三阶矩阵，A 的三个特征值为 1 =2， 2 =1， 3 =2，A * 是 A 的伴随矩阵，则 A 11 +A 22 +A 33 = 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求极限 （分数：2.00）_18.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g(x)0，试证明存在 (
5、a，b)使 （分数：2.00）_19.设 （分数：2.00）_20.设直线 y=ax+b 为曲线 y=ln(x+2)的切线，若 y=ax+b，x=0，x=4 及曲线 y=ln(x+2)围成的图形面积最小，求 a，b 的值（分数：2.00）_21.求二重积分 （分数：2.00）_22.设 z=z(x，y)由 3x 2 2xy+y 2 yzz 2 +22=0 确定的二元函数，求其极值（分数：2.00）_23.设 f(x)在1，+)上连续且可导，若曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴围成的平面区域绕 x轴旋转一周所得的旋转体的体积为 且 f(2)= （分数：2.00）_24.设
6、 （分数：2.00）_25.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +ax 2 2 +3x 3 2 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 6x 2 x 3 的矩阵合同于 （分数：2.00）_考研数学（数学二）模拟试卷 439 答案解析(总分：50.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A.x=0 为极大值点B.x=0 为极小值点 C.(0，f(0)为拐点D.x=0 不是极值点，(0，f(0)也不是拐点解析：解析：
7、由 0 x tf(xt)dt x 0 x f(u)du 0 x uf(u)du 得 3.xe x+1 = （分数：2.00）A.没有根B.恰有一个根 C.恰有两个根D.有三个根解析：解析：令 f(x)=xe x+1 ， 由 f(x)=(x+1)e x+1 =0 得 x=1， f“(x)=(x+2)e x+1 ，由f“(1)=10 得 x=1 为最小值点，最小值为 m=f(1)= 0， 方程 xe x+1 = 4.设函数 f(x)是连续且单调增加的奇函数，(x)= 0 x (2ux)f(xu)du，则 (x)是( )（分数：2.00）A.单调增加的奇函数B.单调减少的奇函数 C.单调增加的偶函数
8、D.单调减少的偶函数解析：解析：(x)= 0 x (2ux)f(xu)du =2 0 x uf(xu)dux 0 x f(xu)du =2 0 x uf(xu)d(xu)+x 0 x f(xu)d(xu) 2 x 0 (xt)f(t)dt+x x 0 f(t)dt =2 0 x (xt)f(t)dtx 0 x f(t)dt =2x 0 x f(t)dt2 0 x xf(t)dtx 0 x f(t)dt =x 0 x f(t)dt2 0 x tf(t)dt， 因为 (x)=x 0 x f(t)dt2 0 x tf(t)dt 5.设函数 f(x)具有一阶导数，下述结论中正确的是( )（分数：2.0
9、0）A.若 f(x)只有一个零点，则 f(x)必至少有两个零点B.若 f(x)至少有一个零点，则 f(x)必至少有两个零点C.若 f(x)没有零点，则 f(x)至少有一个零点D.若 f(x)没有零点，则 f(x)至多有一个零点 解析：解析：若 f(x)至少有两个零点，根据罗尔定理，f(x)至少有一个零点，故若 f(x)没有零点，则f(x)至多一个零点，选(D)6.y= （分数：2.00）A.1 条B.2 条 C.3 条D.4 条解析：解析：因为 =，所以曲线没有水平渐近线； 因为 =+，所以 x=0 为铅直渐近线； 因为 ，所以 x=2 不是铅直渐近线； 因为 =1，7.设函数 y=f(x)的
10、增量函数y=f(x+x)f(x)= （分数：2.00）A.B.e C. D.e 解析：解析：由y= +o(x)得 y=f(x)为可导函数，且 则 y=f(x)= =Ce arctanx ，因为f(0)=，所以 C=，于是 f(x)=e arctanx ，故 f(1)= 8.设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=mn，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 阶子式都不等于零B.A 的任意 m 个列向量线性无关C.方程组 AX=b 一定有无数个解 D.矩阵 A 经过初等行变换化为(E m 解析：解析：因为 A 与 都是 m 行，所以 r(A)=9.设 A，B 为三阶矩阵且 A
11、 不可逆，又 AB+2B=O 且 r(B)=2，则A+4E=( )（分数：2.00）A.8B.16 C.2D.0解析：解析：令 B=( 1 ， 2 ， 3 )，由 AB+2B=O 得 A i =2 i (i=1，2，3)， 由 r(B)=2 得=2 至少为 A 的二重特征值， 又由 r(A)3 得 3 =0，故 1 = 2 =2， 3 =0， A+4E 的特征值为 1 = 2 =2， 3 =4，故A+4E=16选(B)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.设 f(x)在(，+)内可导，且 =e 2 ， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 由微分中
12、值定理得 f(x)f(x 一 1)=f()，其中 x1x，11.设 f(x，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.xy“y=x 2 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 xy“y=x 2 ，得 由 y=x 2 +C 1 x，得原方程的通解为 13.设 =0，且 F(u，v)连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：z）解析：解析：14.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设 A 为三阶
13、矩阵，A 的三个特征值为 1 =2， 2 =1， 3 =2，A * 是 A 的伴随矩阵，则 A 11 +A 22 +A 33 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-4）解析：解析：因为 A 的特征值为 1 =2， 2 =1， 3 =2，所以 A * 的特征值为 1 =2， 2 =4， 3 =2，于是 A 11 +A 22 +A 33 =tr(A * )= 1 + 2 + 3 =242=4三、解答题(总题数：10，分数：20.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1
14、+x) a =1+ax+ +o(x 2 )得 )解析：18.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g(x)0，试证明存在 (a，b)使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x) x b g(t)dt+g(x) a x f(t)dt，显然函数 (x)在区间a，b)上连续，函数 (x)在区间(a，b)内可导，且 (x)=f(x) x b g(t)dtf(x)g(x)+g(x)f(x)+g(x) a x f(t)dt =f(x) x b g(t)dt+g(x) a x f(t)dt， 另外又有 (a)=(b)=0 所
15、以根据罗尔定理可知存在 (a，b)使 ()=0，即 f() b g(t)dt+g() a f(t)dt=0， 由于 g(b)=0 及 g(x)0，所以区间(a，b)内必有 g(x)0，从而就有 b g(t)dt0， 于是有 )解析：19.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()特征方程为 2 6=0，特征值为 1 =2， 2 =3， )解析：20.设直线 y=ax+b 为曲线 y=ln(x+2)的切线，若 y=ax+b，x=0，x=4 及曲线 y=ln(x+2)围成的图形面积最小，求 a，b 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设直线 y=ax+b 为曲线 y=ln(
16、x+2)在点(x 0 ，ln(x 0 +2)处的切线， 当 x 0 (2，2)时，S(x 0 )0，当 x 0 2 时，S(x 0 )0，则 x 0 =2 为 S(x 0 )的最小点，从而当 )解析：21.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在区域 D 内作圆 x 2 +y 2 x，将区域 D 分为 D 1 ，D 2 ，则 第一卦限的角平分线将 D 1 分为 D 11 及 D 12 ， )解析：22.设 z=z(x，y)由 3x 2 2xy+y 2 yzz 2 +22=0 确定的二元函数，求其极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：3x 2 2xy+y 2 yzz 2
17、+22=0 对 x，y 求偏导得 当(x，y)=(1，3)时，将 x=1，y=3，z=4， 代入得 因为 ACB 2 = 0 且 A0，所以(1，3)为 z=z(x，y)的极大点，极大值为 z=4； 当(x，y)=(1，3)时，将 x=1，y=3，z=4， 代入得 因为 ACB 2 = )解析：23.设 f(x)在1，+)上连续且可导，若曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴围成的平面区域绕 x轴旋转一周所得的旋转体的体积为 且 f(2)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由旋转体的体积公式得 V(t)= 1 t f 2 (u)du， 由已知条件得 1 t f 2
18、 (u)du= t 2 f(t)f(1)，即 3 1 t f 2 (u)du=t 2 f(t)f(1) 等式两边对 t 求导得 3f 2 (t)=2tf(t)+t 2 f(t)， 于是有 x 2 y=3y 2 2xy，变形得 )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 AX=B 有解，所以 r(A B)=r(A)， ()令 X=(X 1 ，X 2 )，B=(b 1 ，b 2 )， )解析：25.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +ax 2 2 +3x 3 2 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 6x 2 x 3 的矩阵合同于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()由EA= =(4)(9)=0 得 1 =0， 2 =4， 3 =9 则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX )解析：
