1、考研数学一-443 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 服从正态分布 Y 服从正态分布 （分数：4.00）A.B.C.D.2.n 阶矩阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角矩阵相似的（分数：4.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件3.a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0a3x+b3y+c3=0(其中 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且 fx(0，0)=3，f y(0，0)=1则（分数：4.00）
2、_5.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，f X(x)，f Y(y)分别表示 X，Y 的概率密度则在Y=y 的条件下，X 的条件概率密度 fX|Y(x|y)为（分数：4.00）A.fX(x)B.fY(y)C.fX(x)fY(y)D.6.如图，正方形(x，y)|x|1，|y|1)被其对角线分为四个区域 Dk(k（分数：4.00）A.B.C.D.7. （分数：4.00）A.B.C.D.8.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)
3、，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.已知幂级数 在 x=0 处收敛，在 x=-4 处发散，则幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X m为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本， 和 S2分别为样本均值和样本方差若 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限 （分数：10.00）_16.求幂级数 （分数
4、：10.00）_17.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 z 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1-S2恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程（分数：10.00）_18.计算曲面积分（分数：10.00）_19.设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数()试证存在 x0(0，1)，使得在区间0，x 0上以 f(x0)为高的矩形面积，等于在区间x 0，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形面积()又设 f(x)
5、在区间(0，1)内可导，且 （分数：10.00）_20.设四元齐次线性方程组()为（分数：10.00）_21.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 阶实矩阵，B T为 B 的转置矩阵，试证 BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B 的秩 r(B)=n（分数：10.00）_22.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装 3 件合格品从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求：()乙箱中次品件数 X 的数学期望；()从乙箱中任取一件产品是次品的概率（分数：10.00）_23.设总体 X 的概率分布为其中参数 (0，1)未知以 Ni表示来自总体
6、 X 的简单随机样本(样本容量为 n)中等于 i 的个数(i=1，2，3)试求常数 1， 2， 3，使 （分数：14.00）_考研数学一-443 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 服从正态分布 Y 服从正态分布 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 通过计算确定正确选项已知*所以*故*由于 (x)为 x 的单调增函数，所以*，选择(A)2.n 阶矩阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角矩阵相似的（分数：4.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析
7、：分析 *有 n 个线性无关的特征向量当 1 2时， 1与 2的特征向量必线性无关因此，若 A 有 n 个不同的特征值，则矩阵 A 必有 n 个线性无关的特征向量那么矩阵 A 必可相似对角化由于矩阵 A 的特征值有重根时，矩阵 A 仍有可能相似对角化，所以特征值不同是 A 能相似对角化的充分条件，并不必要故应选(B)3.a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0a3x+b3y+c3=0(其中 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 三条直线交于一点的充分必要条件是方程组*有唯一解亦即*即 r( 1， 2)=r( 1， 2， 3)=2，故应选(D)注意 选项(A)是三条直线交于一点
8、的必要条件而非充分条件例如 1=(1，1，1) T， 2=(2，2，2)T， 3=(1，2，3) T虽 1， 2， 3线性相关，但 3不能由 1， 2线性表出，即方程组(*)无解选项(B)表示三条直线没有公共交点选项(C)保证方程组有解，即三条直线有交点，但不能确定交点唯一4.设函数 f(x，y)在点(0，0)附近有定义，且 fx(0，0)=3，f y(0，0)=1则（分数：4.00）_解析：分析 *则该曲线在点(0，0，f(0，0)处的切向量为1，0，f x(0，0)=1，0，3故应选(C)评注 由以上分析知(D)显然是错误的而两个偏导数 fx(0，0)，f y(0，0)存在函数在该点不一定
9、可微，则(A)是错误的；两个偏导数 fx(0，0)，f y(0，0)存在，曲面 z=f(x，y)在点(0，0，f(0，0)不一定存在切平面，从而就不一定有法线向量，即使有法线向量也应为3，1，-15.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，f X(x)，f Y(y)分别表示 X，Y 的概率密度则在Y=y 的条件下，X 的条件概率密度 fX|Y(x|y)为（分数：4.00）A.fX(x) B.fY(y)C.fX(x)fY(y)D.解析：分析 这是一道概念性选择题，应用已知结论可得正确选项由于(X，Y)服从二维正态分布，因此 X 与 Y 不相关*X 与 Y 独立*(X，Y)的
10、概率密度 f(x，y)=f X(x)fY(y)，所以*6.如图，正方形(x，y)|x|1，|y|1)被其对角线分为四个区域 Dk(k（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 由于 D2和 D4关于 x 轴对称，而 ycosx 是关于 y 的奇函数，则I2=I4=0在 D1内 ycosx0，在 D3内 ycosx0，则I10，I 30则*故应选(A)7. （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由于*故应选(B)8.设函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 *f(x)在 x=1 处不可导，由于 f(x)为偶函数，则 f(x)在 x=-1 处也不可导，则 f(x)共有两
11、个不可导点x=1，故应选(C)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析一 *分析二 *分析三 由 x=e-t知，t=-lnx，且当 t=0 时，x=1*10.设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：f 2+xf“12+xyf“22）解析：分析 *11.已知幂级数 在 x=0 处收敛，在 x=-4 处发散，则幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(1，5）解析：分析 由于*在 x=0 处收敛，在 x=-4 处发散，根据阿贝尔定理知，该幂级数的收
12、敛域为(-4，0，而幂级数*是由幂级数*的中心向右移 5 个单位所得，则*的收敛域为(1，512. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析一 由于*关于三个坐标面都对称，而 x 关于变量 x 是奇函数，|y|关于变量 x，y，z 都是偶函数，则*其中 1为在第一卦限的部分，即 x+y+z=1(x0，y0，z0)*方法一：化为二重积分*方法二：利用变量对称性*方法三：利用形心计算公式*分析二 由以上分析知*13.二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 因为*
13、二次型 f 的矩阵是*易见秩 r(A)=2，故二次型 f 的秩为 2注意 若认为二次型的标准形是*从而秩 r(f)=3 就错误了*从而不是坐标变换，因而*不是 f 的标准形14.设 X1，X 2，X m为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本， 和 S2分别为样本均值和样本方差若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：分析 *解得 k=-1答案应填-1三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限 （分数：10.00）_正确答案：(令 x-t=u，则 t=x-u，dt=-du则*)解析：16.求幂级数 （分数：10.00）
14、_正确答案：(*所以当 x21，即|x|1 时，*绝对收敛，当|x|1 时，*发散，因此，该幂级数收敛半径 R=1当 x=1 时，原级数为*由莱布尼兹准则知该级数收敛，因此，幂级数的收敛域为-1，1*)解析：17.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 z 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1-S2恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程（分数：10.00）_正确答案：(曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程
15、为Y-y=y(x)(X-x)它与 x 轴的交点为*，由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是*又*由条件 2S1-S2=1 知*上式两端对 x 求导并化简得yy“=(y)2令 y=P，则上述方程化为*从而*解得 P=C1y 即*注意到 y(0)=1，且由(*)式知 y(0)=1，则 C1=1，即*由此得y=C2ex由 y(0)=1 知 C2=1，故 y=ex)解析：分析 首先要求出 S1和 S2的表达式，然后利用等式 2S1-S2*1 两边对 x 求导，将问题化为微分方程求解18.计算曲面积分（分数：10.00）_正确答案：(补 xoy 面上平面*其法线方向与 z 轴负方面相同，
16、与 S 围成的空间区域记为 ，则*)解析：分析 本题是要计算非封闭曲面上对坐标的面积分，显然直接计算不方便，可补面用高斯公式计算19.设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数()试证存在 x0(0，1)，使得在区间0，x 0上以 f(x0)为高的矩形面积，等于在区间x 0，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形面积()又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 （分数：10.00）_正确答案：(区间0，x 0上以 f(x0)为高的矩形面积为 x0f(x0)，区间x 0，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形面积为*本题要证明存在 x0(0，1)，使*则 F(x)在0，1上连续，且在(0，1)
17、内可导，又F(0)=0，F(1)=0由罗尔定理知，存在 x0(0，1)，使F(x0)=0即*则 F(x)在(0，1)内单调减，则使F(x0)=0 x0(0，1)的 x0是唯一的)解析：20.设四元齐次线性方程组()为（分数：10.00）_正确答案：(1)对方程组()的系数矩阵作初等行变换，有*得方程组()的基础解系为 1=(5，-3，1，0) T， 2=(-3，2，0，1) T(2)设 是方程组()和()的非零公共解，则=x 1 1+x2 2=-x3 1-x4 2那么 x 1 1+x2 2+x3 1+x4 4=0对系数矩阵 A=( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，有*得基础解系 1=(-1
18、，-1，1，0) T， 2=(-4，-7，0，1) T所以 Ax=0 的通解为k1 1+k2 2=(-k1-4k2，-k 1-7k2，k 1，k 2)T故方程组()和()的公共解*)解析：21.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 阶实矩阵，B T为 B 的转置矩阵，试证 BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是矩阵 B 的秩 r(B)=n（分数：10.00）_正确答案：(必要性设 BTAB 是正定矩阵，按正定定义*恒有 xT(BTAB)x0 即(Bx) TA(Bx)0那么*恒有 Bx0从而齐次方程组 Bx=0 只有零解，故秩 r(B)=n充分性因为(B TAB)T=BTAT(BT)T
19、=BTAB，知 BTAB 为实对称矩阵当秩 r(B)=n 时，Bx=0 只有零解，那么*恒有 Bx0因为 A 是正定矩阵，那么当 Bx0 时必有(Bx)TA(Bx)0，所以*恒有 xT(BTAB)x0，故矩阵 BTAB 是正定矩阵)解析：22.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装 3 件合格品从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求：()乙箱中次品件数 X 的数学期望；()从乙箱中任取一件产品是次品的概率（分数：10.00）_解析：23.设总体 X 的概率分布为其中参数 (0，1)未知以 Ni表示来自总体 X 的简单随机样本(样本容量为 n)中等于
20、 i 的个数(i=1，2，3)试求常数 1， 2， 3，使 （分数：14.00）_正确答案：(分析与解答 *为 的无偏估计量，所以*，其中 Ni是样本 X1，X 2，X n中取 i 值的个数如果把样本中每个分量 Xi取得看成是一次试验，再把 Xj取 i 值看成是试验成功，X j不取 i 值看成是试验失败，(j=1，2，n)，则样本的 n 个分量可看成是 n 重伯努利试验，N i就是 n 次试验中成功的次数，当试验成功，即出现 i 的概率为 pi时，则 NiB(n，p i)，且有ENi=npi，DN i=npi(1-pi)现根据题给分布，有 p1=1-，p 2=- 2，p 3= 2，所以*=n 1(1-)+ 2(- 2)+ 3 2=0即 n 1+n( 2- 1)+n( 3- 2) 2=*即当*时，为 的无偏估计量现求 DT，由于 N1+N2+N3=n，故*注意到 N1B(n，1-)，所以*)解析：
