1、考研数学一-80 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：21，分数：100.00)1.证明：当 a 2 -3b0 时，实系数方程 x 3 +ax 2 +bx+c=0 只有唯一的实根 （分数：4.00）_2.描绘函数 （分数：4.00）_3.求界于两椭圆 （分数：4.00）_4.从抛物线 y=x 2 -1 上的点 P 引抛物线 y=x 2 的切线，证明该切线与 y=x 2 所围成的面积与 P 点的位置无关 （分数：4.00）_5.求双纽线 2 =2a 2 cos2(a0)所围图形的面积 （分数：4.00）_6.求摆线的一拱与 x 轴所围图形的面积 （分数：4.
2、00）_7.求两曲线 及 所围图形公共部分的面积(如下图所示) （分数：4.00）_8.一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心并与底面交成角 ，计算圆柱体被该平面截割下的那部分体积 （分数：4.00）_9.过点 P(1，0)作抛物线 的切线，该切线与上述抛物线及 x 轴围成一平面图形(如图所示)，求此图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积 （分数：4.00）_10.求星形线 （分数：4.00）_11.求曲线 y=ln(1-x 2 )上相应于 （分数：4.00）_12.求摆线 （分数：4.00）_13.过原点作曲线 （分数：4.00）_14.求曲线 （分数：4.00）_15.由抛物线 y=x
3、2 及 y=4x 2 绕 y 轴旋转一周构成一旋转抛物面的容器(剖面如图所示)，高为 H现于其中盛水，水高 问要将水全部抽出，外力需做多少功? （分数：4.00）_16.半径为 R，比重为 (大于 1)的球沉入深为 H(大于 2R)的水池底，现将其从水中取出，需做多少功? （分数：4.00）_17.边长为 a 和 b 的矩形薄板(ab)，放置于与液面成 角的液体内，长边平行于液面，位于深 h 处，设液体的比重为 ，求薄板所受的压力 P （分数：4.00）_18.某闸门的形状与大小如图 1 所示，其中直线 l 为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB 所围成当水面与闸门
4、的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 5:4，闸门矩形部分的高 h 应为多少 m? （分数：4.00）_设有一质量均匀的细直杆 AB，其长为 l，质量为 M（分数：8.00）(1).在 AB 的延长线上与端点 B 的距离 a 处有一质量为 m 的质点 N 1 ，试求细杆对点 N 1 的引力；（分数：4.00）_(2).在 AB 的中垂线上到杆的距离为 a 处有一质量为 m 的质点 N 2 ，试求细杆对点 N 2 的引力（分数：4.00）_函数 f(x)对于一切实数 x 满足微分方程 xf“(x)+3xf“(x) 2 =1-e -x ， （分数：8.00）(1)
5、若 f(x)在点 x=c(c0)有极值，试证它是极小值；（分数：4.00）_(2).若 f(x)在点 x=0 有极值，则它是极大值还是极小值?（分数：4.00）_19.设 （分数：12.00）_考研数学一-80 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：21，分数：100.00)1.证明：当 a 2 -3b0 时，实系数方程 x 3 +ax 2 +bx+c=0 只有唯一的实根 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证令 f(x)=x 3 +ax 2 +bx+c， 先证 f(x)在(-，+)内至少有一个零点，将 f(x)改写成 当 x 充分大时，可知 f(x)的
6、符号与 x 3 相同，设 x 0 0 为足够大的 x 值，于是 f(x 0 )0，f(-x 0 )0， 由零值定理，至少存在一个 (-x 0 ，x 0 ) 2.描绘函数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解定义域为 x1，即(-，1)(1，+) 与坐标轴的交点为(-1，0) 令 y“=0 x=-1，x=5，使 y“不存在的点为 x=1(因为在该点处原来的函数没有定义，所以也可不写出)， 令 y“=0 x=-1， 使 y“不存在的点为 x=1 因为 所以 x=1 为 y 的铅直渐近线， 因为 所以 y=x+5 为函数的斜渐近线 列表 x (，-1) -1 (-1，1) 1 (1，5) 5
7、5，+) y“ + + - + y“ - + + + y (-1，0) 拐点 x=1 (铅直渐近线) (极小值) 作图(如下图所示) 3.求界于两椭圆 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解由于图形的对称性，两椭圆的交点在直线 y=x 和 y=-x 上，因此所求面积 S 为在第一象限中由直线 y=x，x 轴及椭圆 所围成图形的面积的 8 倍，为方便起见，将 化为极坐标方程 将 代入椭圆方程 中，得 于是所求面积为 4.从抛物线 y=x 2 -1 上的点 P 引抛物线 y=x 2 的切线，证明该切线与 y=x 2 所围成的面积与 P 点的位置无关 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证
8、如图所示，设 Q 1 (x 1 ，y 1 )，Q 2 (x 2 ，y 2 )分别表示从点 P(x 0 ，y 0 )向抛物线 y=x 2 引出的两条切线的切点 K PQ1 =2x 1 ，PQ 1 的方程为 y-y 0 =2x 1 (x-x 0 ) 因为 又 Q 1 (x 1 ，y 1 )在抛物线 y=x 2 上，有 所以 x 1 =x 0 +1，x 1 =x 0 -1， 于是切线 PQ 1 ，PQ 2 的方程分别为 y=2(x 0 +1)x-(x 0 +1) 2 ， y=2(x 0 -1)x-(x 0 -1) 2 ， 由 y=x 2 ，PQ 1 及 PQ 2 所围图形面积为 5.求双纽线 2 =
9、2a 2 cos2(a0)所围图形的面积 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解通过对方程 2 =a 2 cos2 分析可知，其图形是关于 x 轴(因为用- 代 方程不变)，y轴(用 - 代 方程不变)对称，故只需计算它在第一象限的面积，然后乘 4 即得现确定第一象限中 的变化范围： 于是， 6.求摆线的一拱与 x 轴所围图形的面积 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解摆线的方程为 7.求两曲线 及 所围图形公共部分的面积(如下图所示) （分数：4.00）_正确答案：()解析：解求两曲线的交点 8.一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心并与底面交成角 ，计算圆柱体被该平面截割下的那
10、部分体积 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解如图所示，底圆方程 x 2 +y 2 =R 2 在 x 处用垂直于 x 轴的平面截割形体所得截面为一直角三角形 ABC，其面积 故所求形体体积为 9.过点 P(1，0)作抛物线 的切线，该切线与上述抛物线及 x 轴围成一平面图形(如图所示)，求此图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解设所作切线与抛物线相切于点 Q(x 0 ，y 0 )， 切线 PQ 的斜率 切线 PQ 的方程 因为 P 点在 PQ 上，所以 于是切线方程为 故所求旋转体体积 10.求星形线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解
11、由于图形的对称性，只要算出第一象限部分绕 x 轴所得旋转体的体积，2 倍之即得所求体积从本题看，将方程化为参数式为宜： 故 11.求曲线 y=ln(1-x 2 )上相应于 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 12.求摆线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 13.过原点作曲线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解作草图如图所示 设切点为 则过原点的切线方程为 再将点 代入上式，解得 x 0 =2， 所以切线方程为 由曲线 (1x2)绕 x 轴旋转一周所得到的旋转面的面积为 由直线段 绕 x 轴旋转一周所得到的旋转面的面积为 因此，所求旋转体的表面积为 14.求曲线 （分数
12、4.00）_正确答案：()解析：解 设 S x 与 S y 分别是曲线绕 x 轴和 y 轴旋转一周所得到的旋转面的面积，则 15.由抛物线 y=x 2 及 y=4x 2 绕 y 轴旋转一周构成一旋转抛物面的容器(剖面如图所示)，高为 H现于其中盛水，水高 问要将水全部抽出，外力需做多少功? （分数：4.00）_正确答案：()解析：解设水的比重为 ，图中阴影部分的水重量为 抽出这部分水外力需做的功为 故抽出全部水外力需做的功 16.半径为 R，比重为 (大于 1)的球沉入深为 H(大于 2R)的水池底，现将其从水中取出，需做多少功? （分数：4.00）_正确答案：()解析：解建立坐标系如图所示
13、将球从底捞出所需做的功分为两部分： (1)将球从池底提升到球面与水平面相切时所需做的功 W 1 ； (2)将球进一步提离水平面所做的功为 W 2 先求 W 1 ，在水中所用外力： 再求 W 2 ，将球从水平面提出高度为 x 单位时所用外力 其中，h 为球缺的高 故所需做的功 于是将球从池底捞出的外力需做的功为 17.边长为 a 和 b 的矩形薄板(ab)，放置于与液面成 角的液体内，长边平行于液面，位于深 h 处，设液体的比重为 ，求薄板所受的压力 P （分数：4.00）_正确答案：()解析：解建立坐标，如图所示，当 x 取增量 dx 时，薄板对应的宽度为 于是图中阴影部分的面积为 这小条所
14、受液体的静压力为 整块薄板所受压力为 18.某闸门的形状与大小如图 1 所示，其中直线 l 为对称轴，闸门的上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB 所围成当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为 5:4，闸门矩形部分的高 h 应为多少 m? （分数：4.00）_正确答案：()解析：解如图 2 所示，建立坐标系，则抛物线的方程为 y=x 2 闸门矩形部分承受的水压力 图 2其中， 为水的密度，g 为重力加速度闸门下部承受的水压力 由题意知， 即 得 h=2， 设有一质量均匀的细直杆 AB，其长为 l，质量为 M（分数：8.00）(1).在 A
15、B 的延长线上与端点 B 的距离 a 处有一质量为 m 的质点 N 1 ，试求细杆对点 N 1 的引力；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解建立坐标系如图 1 所示，积分变量为 x，积分区间为0，l，细杆在x，x+dx这一段的质量为 图 1该小段对位于 N 1 处的质点的引力为 其中 k 为引力系数，于是细杆 AB 对质点 N 1 的引力为 (2).在 AB 的中垂线上到杆的距离为 a 处有一质量为 m 的质点 N 2 ，试求细杆对点 N 2 的引力（分数：4.00）_正确答案：()解析：解建立坐标系如图 2 所示，积分变量为 x，变化区间为 细杆在x，x+dx这一段的质量为 图 2由于
16、对称性，在 x 轴正方向与负方向的一小段 dx 对 N 2 的引力在 x 轴上的投影为 0， 则x，x+dx这段上的 dx 对 N 2 点在 y 轴的分力为 令 x=atant，dx=asec 2 dt，则 函数 f(x)对于一切实数 x 满足微分方程 xf“(x)+3xf“(x) 2 =1-e -x ， （分数：8.00）(1).若 f(x)在点 x=c(c0)有极值，试证它是极小值；（分数：4.00）_正确答案：()解析：解由 f(x)可导，且它在 x=c 处有极值，故 f“(c)=0，(c0)，将 x=c 代入式，得 cf“(c)+3cf“(c) 2 =1-e -c (2).若 f(x)在点 x=0 有极值，则它是极大值还是极小值?（分数：4.00）_正确答案：()解析：解因为 f(x)对一切实数 x 二阶可导，又 f(0)为极值，所以 f“(0)=0，且 又 19.设 （分数：12.00）_正确答案：()解析：(1)f“(x)=x 2 -a 2 ，f“(x)=2x， 令 f“(x)=0，得 x 1 =a，x 2 =-a，于是 f“(a)=2a，f“(-a)=-2a 当 a0 时，f“(-a)=-2a0，则 当 a0 时，f“(a)=2a0， (2)当 a0 时， 故 a=1 时，M 为极小值 当 a0 时，
