1、考研数学一-线性代数(二)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：10.00)1.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 3 维列向量，矩阵 A= 1 ， 2 ，2 3 - 4 + 2 ，B= 3 ， 2 ， 1 ，C= 1 +2 2 ，2 2 +3 4 ， 4 +3 1 ，若|B|=-5，|C|=40，则|A|= 1 （分数：1.00）2. （分数：1.00）3.设 （分数：1.00）4.已知矩阵 和 （分数：1.00）5.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，若 l 2 - 1 ，m 3 - 2 ， 1 - 3 线性无关，则l，m 应满足关系
2、1 （分数：1.00）6.设矩阵 A 的秩为 t，则 r(A T A)= 1 （分数：1.00）7.已知 A 是四阶矩阵， 1 ， 2 是矩阵 A 属于特征值 =2 的线性无关的特征向量，若 A 的每一个特征向量均可由 1 ， 2 线性表出，则行列式|A+E|= 1 （分数：1.00）8.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 -2A=O，该二次型的规范形为 1 （分数：1.00）9.设二次型 ，经正交变换 x=Cy 化成标准形为 （分数：1.00）10.已知二次型 经正交变换可化为标准形 （分数：1.00）二、解答题(总题数：15，分数：9
3、0.00)设线性方程组 （分数：6.00）(1).证明：若 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 两两不相等，则线性方程组无解（分数：3.00）_(2).设 a 1 =a 3 =k，a 2 =a 4 =-k(k0)，且已知 1 ， 2 是该方程组的两个解，其中 1 =(-1，1，1) T ， 2 =(1，1，-1) T ，写出该方程组的通解（分数：3.00）_11.已知齐次线性方程组() 和() （分数：6.00）_12.证明 n 元非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 A T x=0 的解全是 b T x=0 的解 （分数：6.00）_13.已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量
4、 ，若 ，A，A 2 线性无关，且 A 3 =3A-2A 2 ，试求矩阵A 的特征值与特征向量 （分数：6.00）_设 是矩阵 （分数：6.00）(1).试确定参数 a，b 及特征向量 所对应的特征值（分数：3.00）_(2).问 A 能否相似于对角阵?说明理由（分数：3.00）_14.设 n 阶矩阵 （分数：6.00）_设 （分数：6.00）(1).a 及可逆阵 P，使得 P -1 AP=A（分数：3.00）_(2).求 A 100 （分数：3.00）_设 a 0 ，a 1 ，a n-1 是 n 个实数，方阵 （分数：6.00）(1).若 是 A 的特征值，试证：=1， 2 ， n-1 T
5、是对应于 的特征向量；（分数：3.00）_(2).若 A 的特征值 1 ， 2 ， n 两两互异，求矩阵 P，使 P -1 AP 为对角矩阵（分数：3.00）_15.设 （分数：6.00）_已知二次型 （分数：6.00）(1).求 a，b 的值；（分数：3.00）_(2).利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵（分数：3.00）_16.已知 （分数：6.00）_17.设 ，=1，1，1 T 是 A 的特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并求当 X 满足 （分数：6.00）_设 （分数：6.00）(1).当 t 为何值时，存在可逆矩阵 P、Q，使 PAQ=B
6、；（分数：2.00）_(2).当 t 为何值时，存在可逆矩阵 R，使 R T AR=D；（分数：2.00）_(3).当 t 为何值时，存在可逆矩阵 W，使 W -1 AW=C（分数：2.00）_设 A，B 是两个 n 阶实对称矩阵，证明：（分数：6.00）(1).若 A 与 B 合同，则 r(A)=r(B)，反之是否成立?说明理由（分数：3.00）_(2).A 与 B 合同的充分必要条件是 A，B 有相同的秩和正惯性指数（分数：3.00）_18.验证 1 =(1，-1，0) T ， 2 =(2，1，3) T ， 3 =(3，1，2) T 为 R 3 的一个基，并把 1 =(5，0，7) T ，
7、 2 =(-9，-8，-13) T 用这个基线性表示 （分数：6.00）_考研数学一-线性代数(二)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：10.00)1.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 3 维列向量，矩阵 A= 1 ， 2 ，2 3 - 4 + 2 ，B= 3 ， 2 ， 1 ，C= 1 +2 2 ，2 2 +3 4 ， 4 +3 1 ，若|B|=-5，|C|=40，则|A|= 1 （分数：1.00）解析：8 解析 根据行列式的性质，有 |A|=| 1 ， 2 ，2 3 - 4 + 2 | =| 1 ， 2 ，2 3 - 4 | =| 1 ，
8、 2 ，2 3 |-| 1 ， 2 ， 4 | =-2| 3 ， 2 ， 1 |-| 1 ， 2 ， 4 | =(-2)(-5)-| 1 ， 2 ， 4 | 由 两边取行列式，有 2. （分数：1.00）解析： 解析 是初等矩阵，左乘 所得 E 12 A 是 A 作初等行变换(1,2 两行对换)，而 表示 A 作了基数次的 1,2 两行对换，相当于矩阵 A 作了一次 1,2 两行对换，故 ，而右乘 是作偶数次 1，3 两列对换，因而结果不变 则 3.设 （分数：1.00）解析：(1，0，0，0) T 解析 因为|A|是范德蒙行列式，由 a i a j 知 由克莱姆法则知方程组 A T X=B
9、有唯一解对于 4.已知矩阵 和 （分数：1.00）解析： 解析 由 X(X+Y)=E，知 X+Y=X -1 ，于是 Y=X -1 -X 由 A(X+Y)B=E，有 AX -1 B=E，于是 X=BA那么 从而 所以 5.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，若 l 2 - 1 ，m 3 - 2 ， 1 - 3 线性无关，则l，m 应满足关系 1 （分数：1.00）解析：lm1 解析 设 k 1 (l 2 - 1 )+k 2 (m 3 - 2 )+k 3 ( 1 - 3 )=0， 即 (-k 1 +k 3 ) 1 +(k 1 l-k 2 ) 2 +(k 2 m-k 3 ) 3 =0 因 1 ，
10、 2 ， 3 线性无关，故 要使 k 1 ，k 2 ，k 3 全为 0，即此方程组只有零解，其系数行列式 6.设矩阵 A 的秩为 t，则 r(A T A)= 1 （分数：1.00）解析：t 解析 考察方程组 AX=0 与 A T AX=0显然 AX=0 的解均为 A T AX=0 的解设 是 A T AX=0 的解，即 A T A=0，则 7.已知 A 是四阶矩阵， 1 ， 2 是矩阵 A 属于特征值 =2 的线性无关的特征向量，若 A 的每一个特征向量均可由 1 ， 2 线性表出，则行列式|A+E|= 1 （分数：1.00）解析：81 解析 因为不同特征值对应的特征向量线性无关，所以由矩阵
11、A 的每一个特征向量均可由 1 ， 2 线性表出，知 =2 必是矩阵 A 的 4 重特征值，因此 A+E 的特征值为 3(4 重根)，所以|A+E|=3 4 =818.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 -2A=O，该二次型的规范形为 1 （分数：1.00）解析： 解析 由 A 2 -2A=0 得 r(A)+r(2E-A)4，又 r(A)+r(2E-A)r(A+2E-A)=4， 则 A 可以对角化，且特征值可取 1 =2， 2 =0，又二次型的正惯性指数为 2，所以 1 =2， 2 =0均为二重特征值，所以该二次型的规范形为 9.设二次型
12、 ，经正交变换 x=Cy 化成标准形为 （分数：1.00）解析： 解析 依题得二次型矩阵 则由二次型的标准形知 A 的特征值为 0，1，2，故 |0E-A|=(a-b) 2 =0，|E-A|=-2ad=0， 解得 a=b=0，则二次型 10.已知二次型 经正交变换可化为标准形 （分数：1.00）解析：3 解析 解法一： 因为二次型 X T Ax 经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵 A 的特征值，所以 9，0，0 是 A 的特征值 又因为 ，故 解法二： 由标准形 知，A 的秩应为 1，为此计算 A 的行列式 二、解答题(总题数：15，分数：90.00)设线性方程组 （分
13、数：6.00）(1).证明：若 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 两两不相等，则线性方程组无解（分数：3.00）_正确答案：()解析：考虑增广矩阵 若 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 两两不相等，则 (2).设 a 1 =a 3 =k，a 2 =a 4 =-k(k0)，且已知 1 ， 2 是该方程组的两个解，其中 1 =(-1，1，1) T ， 2 =(1，1，-1) T ，写出该方程组的通解（分数：3.00）_正确答案：()解析：解法一： 当 a 1 =a 3 =k，a 2 =a 4 =-k(k0)时，原方程组可化为 系数矩阵与增广矩阵的秩均为 2， 2 - 1 =(-2，0，2)
14、 T 是对应导出组的非零解，即为基础解系，从而上述非齐次组的通解为 其中，c 为任意常数 解法二： 当 a 1 =a 3 =k，a 2 =a 4 =-k(k0)时，原方程可化为 把 1 =(-1，1，1) T ， 2 =(1，1，-1) T 代入上述方程组，得 k 2 =1，对应齐次线性方程组为 解得 x 1 =-x 3 ，x 2 =0，基础解系为 =(-1，0，1) T ，故方程组通解为 11.已知齐次线性方程组() 和() （分数：6.00）_正确答案：()解析：解法一： 设两个方程组的系数矩阵为 A 和 B，由 Ax=0 和 Bx=0 同解，知 r(A)=r(B)，因为 r(B)3，所以
15、|A|=0， 所以 可得 取 x 3 =1，得其基础解系为 =(1，-1，1) T 则方程组的通解为 k(1，-1，1) T ，其中 k 为任意常数取 k=1，将通解代入方程()得 从而得到 b=-3，c=-8 或 b=1，c=0 因此 a=3，b=1，c=0，或 a=3，b=-3，c=-8 解法二： 因为 Ax=0 与 Bx=0 同解，且易知 2r(A)3，r(B)2，所以 故有 12.证明 n 元非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 A T x=0 的解全是 b T x=0 的解 （分数：6.00）_正确答案：()解析：因为方程组 Ax=b 有解，设 是 Ax=b 的一个解，即
16、 A=b，则 b T =(A) T = T A T ， 若 是 A T x=0 的任一个解，则 A T =0，那么 b T = T A T = T 0=0， 即 是 b T X=0 的解 (充分性)因为 A T x=0 的解全是 b T x=0 的解所以 A T x=0 与 同解 那么 13.已知 3 阶矩阵 A 与 3 维列向量 ，若 ，A，A 2 线性无关，且 A 3 =3A-2A 2 ，试求矩阵A 的特征值与特征向量 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解法一： 由于 A 3 +2A 2 -3A=0，有 A(A 2 +2A-3)=0=0(A 2 +2A-3) 由已知 ，A，A 2 线
17、性无关，得 A 2 +2A-3 必然不为 0 则 A 有特征值 =0，对应的特征向量为 k 1 (A 2 +2A-3)(k 1 0) 类似地，由 A 3 +2A 2 -3A=0， 可得 (A-E)(A 2 +3A)=0， 整理 A(A 2 +3A)=A 2 +3A 由于 A 2 与 A 线性无关，所以 A 2 +3A 必然不为 0 A 有特征值 =1，对应的特征向量为 k 2 (A 2 +3A)(k 2 0)，再用相同方法，由 A 2 +2A 2 -3A=0， 可得 (A+3E)(A 2 -A)=0， 整理 A(A 2 -A)=-3(A 2 -A) 由于 A 2 与 A 线性无关，得 A 2
18、-A 必然不为 0 所以，A 有特征值 =-3，相应的特征向量为 k 3 (A 2 -A)(k 3 0) 综上，A 的特征值为 0，1，-3，对应的特征向量分别为 k 1 (A 2 +2A-3)，k 2 (A 2 +3A)，k 3 (A 2 -A)，其中 k 1 ，k 2 ，k 3 为任意不为零的常数 解法二： 由于 A(，A，A 2 )=(A，A 2 ，A 3 )=(A，A 2 ，3A-2A 2 )=(，A，A 2 )B， 其中 且 AB求 B 的特征值： 设 是矩阵 （分数：6.00）(1).试确定参数 a，b 及特征向量 所对应的特征值（分数：3.00）_正确答案：()解析：设 是特征向
19、量 所对应的特征值，则由定义有 A=，即 (2).问 A 能否相似于对角阵?说明理由（分数：3.00）_正确答案：()解析：A 能否相似于对角阵取决于 A 能否有三个线性无关的特征向量，先求 A 的特征值 由 可知，=-1 为 A 的三重特征值 但 14.设 n 阶矩阵 （分数：6.00）_正确答案：()解析：设 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T ，则 A= T ， 设 是 A 的特征值， 1 是 A 的属于特征值 的特征向量，则 A 1 = 1 ，A 2 1 =aA 1 =a 1 又 A 2 1 =AA 1 =A 1 =A 1 = 2 1 ，
20、则 a 1 = 2 1 ，即( 2 -a) 1 =0 因为 1 0，所以 又 ，所以 =a 是 A 的 1 重特征值， 2 = 3 = n =0 是 A 的 n=1 重特征值 对于特征值 2 = 3 = n =0，齐次线性方程组(0E-A)X=0 的系数矩阵的秩为 r(0E-A)=r(-A)=r(A)=r( T )minr()，r( T )=1 又 设 （分数：6.00）(1).a 及可逆阵 P，使得 P -1 AP=A（分数：3.00）_正确答案：()解析：求 A 的特征值 因为 所以 1 = 2 =2， 3 =-2 由于 A 与对角阵相似，所以 1 = 2 =2 对应 2 个线性无关的特征
21、向量，因此 当 1 = 2 =2 时，解(2E-)x=0 可得 1 =(0，1，0) T ， 2 =(1，0，1) T 当 3 =-2 时，解(-2E-)x=0 可得 3 =(1，2，-1) T 令 (2).求 A 100 （分数：3.00）_正确答案：()解析：由第一小题知， 设 a 0 ，a 1 ，a n-1 是 n 个实数，方阵 （分数：6.00）(1).若 是 A 的特征值，试证：=1， 2 ， n-1 T 是对应于 的特征向量；（分数：3.00）_正确答案：()解析：矩阵 A 的特征多项式为 因为 为 A 的特征值，所以 f()=0，于是由 (2).若 A 的特征值 1 ， 2 ，
22、n 两两互异，求矩阵 P，使 P -1 AP 为对角矩阵（分数：3.00）_正确答案：()解析：由于 i 互异，则对应的特征向量 1 ， 2 ， n 线性无关，令 P= 1 ， 2 ， n ，则 P -1 AP=diag( 1 ， 2 ， n )，P 即为所求15.设 （分数：6.00）_正确答案：()解析：已知 AB 故 且 r(A)=r(B)=2， 所以 (a-1)b-4=0 由式得方程组，解得 又 ab，故 由于 AB，故 A、B 的特征值都为 1 =1， 2 =0， 3 =6 当 =1 时，由 当 =0 时，由 当 =6 时，由 由于属于不同的 ，所以 1 ， 2 ， 3 正交 单位化
23、得 得正交矩阵 已知二次型 （分数：6.00）(1).求 a，b 的值；（分数：3.00）_正确答案：()解析：该二次型的矩阵为 设 A 的特征值为 i (i=1，2，3)，由题设有 (2).利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵（分数：3.00）_正确答案：()解析：矩阵 A 的特征多项式为 得到 A 的特征值为 1 = 2 =2， 3 =-3 对于 =2，由 ，得到属于 =2 的线性无关的特征向量 1 =(0，1，0) T ， 2 =(2，0，1) T 对于 =-3，由(-3E-A)x=0， ，得到属于 =-3 的特征向量 3 =(1，0，-2) T 由
24、于 1 ， 2 ， 3 已两两正交，故只需单位化，有 那么，令 则 P 为正交矩阵，在正交变换 x=Py 下，有 则该二次型的标准形为 16.已知 （分数：6.00）_正确答案：()解析：由(A T A) T =A T (A T ) T =A T A，知 A T A 是对称矩阵 (1)如果 sn，则齐次方程组 Ax=0 有非零解，设为 x 0 ，则 所以矩阵 A T A 不正定 (2)如果 s=n，因为 a i a j ， ，A 是可逆矩阵，那么 令 B=A T A=A T EA， 即 B 与 E 合同，故 B 正定 (3)如果 sn，则因 可逆，知 17.设 ，=1，1，1 T 是 A 的特
25、征向量，求正交变换化二次型为标准形，并求当 X 满足 （分数：6.00）_正确答案：()解析：由题设 设 =1，1，1 T 对应的特征值为 ，则由 得 =5，2+a+b=5，3+b=5，解得 b=2，a=1 故 由 得 A 的特征值为 1 =5， 2 = 3 =-1对应的特征向量为 1 =1，1，1 T ， 2 =0，-1，1 T ， 3 =-2，1，1 T (求 2 ， 3 时已正交化)单位化后构造正交矩阵，得 令 X=QY，则 因 又已知 故在条件 X T X=1 时，f(x 1 ，x 2 ，x 3 )5，且在 Y=1，0，0 T ，即 设 （分数：6.00）(1).当 t 为何值时，存在
26、可逆矩阵 P、Q，使 PAQ=B；（分数：2.00）_正确答案：()解析：存在可逆矩阵 P、Q，使 PAQ=B，即 A 与 B 等价，而 A 与 B 等价的充要条件是 r(A)=r(B) 因 (2).当 t 为何值时，存在可逆矩阵 R，使 R T AR=D；（分数：2.00）_正确答案：()解析：存在可逆矩阵 R，使 R T AR=D，即 而 的充要条件是 r(A)=r(D)且 A、D 的正惯性指数相等 因 r(D)=3，故 t0 时，r(A)=3=r(D) 又 (3).当 t 为何值时，存在可逆矩阵 W，使 W -1 AW=C（分数：2.00）_正确答案：()解析：存在可逆矩阵 W，使 W
27、-1 AW=C，即 AC 要使 AC，则 A 的特征值必须与 C 的特征值相等 因|EC|=(-1)(-3)(-5)，C 的特征值为 1，3，5 而|EA|=(-t)(-3)(-1)，比较知，当 t=5 时，A 的特征值为 1，3，5，此时 AC设 A，B 是两个 n 阶实对称矩阵，证明：（分数：6.00）(1).若 A 与 B 合同，则 r(A)=r(B)，反之是否成立?说明理由（分数：3.00）_正确答案：()解析：因 A 与 B 合同，则存在可逆矩阵 C，使得 C T AC=B， 故有 r(B)=r(C T AC)=r(A) 反之，r(A)=r(B)，但 A 与 B 不一定合同，如 有
28、r(A)=r(B)=2，但对任何可逆矩阵 (2).A 与 B 合同的充分必要条件是 A，B 有相同的秩和正惯性指数（分数：3.00）_正确答案：()解析：因为 A 与 B 合同，A 与 合同(实对称矩阵的性质)，则由合同的传递性知， ，故 A，B 有相同的秩和正惯性指数 反之，设 A，B 有相同的秩 r，正惯性指数为 p，则存在可逆矩阵 C 1 ，C 2 使得 从而有 18.验证 1 =(1，-1，0) T ， 2 =(2，1，3) T ， 3 =(3，1，2) T 为 R 3 的一个基，并把 1 =(5，0，7) T ， 2 =(-9，-8，-13) T 用这个基线性表示 （分数：6.00）_正确答案：()解析：
