1、考研数学一（一元函数的泰勒公式及其应用）-试卷 1 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：32，分数：64.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2.求 （分数：2.00）_3.求 e x2 带皮亚诺余项的麦克劳林公式（分数：2.00）_4.求 arctanx 带皮亚诺余项的 5 阶麦克劳林公式（分数：2.00）_5.求极限 w= （分数：2.00）_6.确定常数 a 和 b 的值，使 f(x)=x(a+6e x2 )sinx 当 x0 时是 x 的 5 阶无穷小量（分数：2.00）_7.设 f(x)在 x=0 处 n(n
2、2)阶可导且 （分数：2.00）_8.设 0x ， 证明 （分数：2.00）_9.设 f(x)在0，1二阶可导，f(0)a，f(1)a，f(x)b，a，b 为非负数，求证：c(0，1)，有f(c)2a+ （分数：2.00）_10.设 f(x)在a，b三次可微，证明： (a，b)，使得 f(b)=f(a)+f (ba) 3 （分数：2.00）_11.在 x=0 处展开下列函数至括号内的指定阶数： ()f(x)=tanx(x 3 )； ()f(x)=sin(sinx)(x 3 )（分数：2.00）_12.求下列函数 f(x)在 x=0 处带拉格朗日余项的 n 阶勒公式： ()f(x)= （分数：2
3、.00）_13.用泰勒公式求下列极限：() () （分数：2.00）_14.用泰勒公式确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的无穷小阶数： () () （分数：2.00）_15.设 f(x)在(0，+)三次可导，且当 x(0，+)时 f(x)M 0 ， （分数：2.00）_16.设函数 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)，使f()4（分数：2.00）_17.设 f(x)在(x 0 ，x 0 +)有 n 阶连续导数，且 f (k) (x 0 )=0，k=2，3，n1；f (n) (x 0 )0当 0h 时，f(x 0 +h)f(x
4、0 )=hf(x 0 +h)，(01)求证： （分数：2.00）_18.求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式： ()f(x)=e x cosx (x 3 )； ()f(x)= (x 3 )； ()f(x)= （分数：2.00）_19.求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式： () f(x)=sin 3 x； () f(x)=xln(1x 2 )（分数：2.00）_20.确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的阶数： ()f(x)=e x 1x xsinx； ()f(x)=(1+ （分数：2.00）_21.求下列极限：() () () （分数：2.00）_22.确定常数 a 和
5、 b 的值，使得 （分数：2.00）_23.设 f(x)=x 2 sinx，求 f (n) (0)（分数：2.00）_24.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，又 I= （分数：2.00）_25.设 f(x)在 x=a 处 n(n2)阶可导，且当 xa 时 f(x)是 xa 的凡阶无穷小，求证：f(x)的导函数f(x)当 xa 时是 xa 的 n1 阶无穷小（分数：2.00）_26.设 f(x)在 x=a 处四阶可导，且 f(a)=f(a)= （分数：2.00）_27.设 f(x)，g(x)在 x=x 0 某邻域有二阶连续导数，曲线 y=f(x)和 y=g(x)有相同的凹凸性求证： 曲线y=f
6、(x)和 y=g(x)在点(x 0 ，y 0 )处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)g(x)=o(xx 0 )2)(xx 0 )（分数：2.00）_28.求 f(x)=3 x 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式（分数：2.00）_29.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，证明： (a，b)使得 f(b)2f （分数：2.00）_30.设 f(x)为 n+1 阶可导函数，求证：f(x)为 n 次多项式的充要条件是 f (n+1) (x)0，f (n) (x)0（分数：2.00）_31.设 f(x)在(0，+)二阶可导且 f(x)，f(x)在(0，+)上有界，求证：f(x)
7、在(0，+)上有界（分数：2.00）_32.设 f(x)在a，b二阶可导，f(x)0，f(x)0(x(a，b)，求证： （分数：2.00）_考研数学一（一元函数的泰勒公式及其应用）-试卷 1 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：32，分数：64.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：2.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 x 2 +o(x 3 )，从而 )解析：3.求 e x2 带皮亚诺余项的麦克劳林公式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 t=x 2 代入 e t =1+t+ +o(t n
8、) (t0)即得 e x2 =1x 2 + )解析：4.求 arctanx 带皮亚诺余项的 5 阶麦克劳林公式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于(arctanx)= =1x 2 +x 4 +o(x 5 )，由该式逐项积分即得 arctanx= )解析：5.求极限 w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 又 sinx 2 x 2 (x0)，所以 )解析：6.确定常数 a 和 b 的值，使 f(x)=x(a+6e x2 )sinx 当 x0 时是 x 的 5 阶无穷小量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用 e x2 =1+x 2 + +o(x 5 )， sinx=
9、x +o(x 6 )，可得 不难看出当 1ab=0 与 b=0 同时成立 f(x)才能满足题设条件由此可解得常数 a= ，并且得到 f(x)= )解析：7.设 f(x)在 x=0 处 n(n2)阶可导且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)先转化已知条件由 =e 4 知 ln1+f(x) =4 1+f(x)=0 从而 再用当 x0 时的等价无穷小替换 ln1+f(x)f(x)，可得 =4 2)用 o(1)表示当 x0时的无穷小量，由当 x0 时的极限与无穷小的关系 =4+o(1)，并利用 x n o(1)=o(x n )可得 f(x)=4x n +o(x n )从而由泰勒公式的唯一性
10、即知 f(0)=0，f(0)=0，f (n1) (0)=0， )解析：8.设 0x ， 证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由带拉格朗日余项的泰勒公式 cosx=1 x 4 cos(x)，01， 可得 1cosx=x 2 x 2 cosx 注意当 0x ，故 )解析：9.设 f(x)在0，1二阶可导，f(0)a，f(1)a，f(x)b，a，b 为非负数，求证：c(0，1)，有f(c)2a+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式： x0，1， c(0，1)，有 f(x)=f(c)+f(c)(xc)+ f()(xc) 2 ， (*) 其中 =c+(
11、xc)，01 在(*)式中，令 x=0，得 f(0)=f(c)+f(c)(c)+ f( 1 )c 2 ，0 1 c1； 在(*)式中，令 x=1，得 f(1)=f(c)+f(c)(1c)+ f( 2 )(1c) 2 ，0c 2 1 上面两式相减得 f(1)f(0)=f(c)+ f( 2 )(1c) 2 f( 1 )c 2 从而 f(c)=f(1)f(0)+ f( 1 )c 2 f( 2 )(1c) 2 ，两端取绝对值并放大即得 f(c)2a+ b(1c) 2 +c 2 2a+ b(1c+c)=2a+ )解析：解析：证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时，常常需要利用函数在某点的泰勒展开式本
12、题涉及证明f(c)2a+10.设 f(x)在a，b三次可微，证明： (a，b)，使得 f(b)=f(a)+f (ba) 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)在 x 0 = 展成二阶泰勒公式并分别令 x=b 与 x=a 得 其中 1 ， 2 (a，b)上面两式相减得 f(b)f(a)=f ( 2 )(ba) 3 注意： ( 2 )介于 ( 2 )之间，由导函数取中间值定理，可得 (a，b)，使得 )解析：解析：从要证的结论来看，可考虑在 x 1 = 11.在 x=0 处展开下列函数至括号内的指定阶数： ()f(x)=tanx(x 3 )； ()f(x)=sin(sinx)(
13、x 3 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 tanx=A 0 +A 1 x+A 2 x 2 +A 3 x 3 +o(x 3 )=A 1 x+A 3 x 3 +o(x 3 )(tanx 为奇函数，A 0 =0，A 2 =0)，又 tanx= ，则 A 1 x+A 3 x 3 +o(x 3 )1 x 2 +o(x 3 )=x x 3 +o(x 3 )， 即 A 1 x+(A 3 A 1 )x 3 +o(x 3 )=x x 3 +o(x 3 ) 比较系数可得 A 1 =1，A 3 A 1 = A 1 =1，A 3 = 因此 tanx=x+ x 3 +o(x 3 ) ()已知 sinu
14、=u u 3 +o(u 3 )(u0)，令 u=sinx sin(sinx)=sinx sin 3 x+o(sin 3 x) 再将 sinx=x x 3 +o(x 3 )，代入得 sin(sinx)=(x )解析：12.求下列函数 f(x)在 x=0 处带拉格朗日余项的 n 阶勒公式： ()f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 f(x)= ，可得对 m=1，2，3，有 f (m) (x)=2(1) (m) m! f (m) (0)=2(1) m m! 故 f(x)=12x+2x 2 +2(1) n x n +2(1) n+1 ()用归纳法求出f (n) (x)的统一公式
15、 f(x)=e x (sinx+cosx)= ， f(x)= ， 可归纳证明 f (n) (x)= ，n=1，2， 因此 )解析：解析：通过求 f(0)，f(0)，f (n) (0)及 f (n+1) (x)而得13.用泰勒公式求下列极限：() () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()用 e t ，ln(1+t)，cost，sint 的泰勒公式，将分子、分母中的函数在 x=0展开由于 xcosx=x1 x 3 +o(x 3 )， 因此，xcosxsinx=( )x 3 +o(x 3 )= x 3 +o(x 3 ) 再求分子的泰勒公式由 x 2 e 2x =x 2 1+(2x)+o(
16、x)=x 2 +2x 3 +o(x 3 )，ln(1x 2 )=x 2 +o(x 3 )， x 2 e 2x +ln(1x 2 )=2x 3 +o(x 3 ) 因此 ()由 ln(1+x)=x x 2 +o(x 2 )(x0)，令 x= ，即得 故 )解析：14.用泰勒公式确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的无穷小阶数： () () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 因此当 x0 时 是 x 的二阶无穷小量 ()因 e t 1t= t 2 +o(t 2 )，从而(e t 1t) 2 = t 4 +o(t 4 )，代入得 (e t 1t) 2 dt= x 5 +o(x 5 )，
17、 因此 x0 时 )解析：15.设 f(x)在(0，+)三次可导，且当 x(0，+)时 f(x)M 0 ， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别讨论 x1 与 0x1 两种情形 1)当 x1 时考察二阶泰勒公式 f(x+1)=f(x)+f(x)+ ()(xx+1)， f(x1)=f(x)f(x)+ ()(x1x)， 两式相加并移项即得 f(x)=f(x+1)+f(x1)2f(x)+ ()， 则当 x1 时有f(x)4M 0 + M 3 2)当 0x1 时对 f(x)用拉格朗日中值定理，有 f(x)=f(x)f(1)+f(1)= ()(x1)+f(1)，其中 (x，1) f(x) )解
18、析：16.设函数 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)，使f()4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把函数 f(x)在 x=0 与 x=1 分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ f( 1 )x 2 (0 1 x)， f(x)=f(1)+f(1)(x1)+ f( 2 )(x1) 2 (x 2 1) 在公式中取 x= 并利用题设可得 两式相减消去未知的函数值 即得 f( 1 )f( 2 )=8 )解析：17.设 f(x)在(x 0 ，x 0 +)有 n 阶连续导数，且 f (k) (x 0
19、 )=0，k=2，3，n1；f (n) (x 0 )0当 0h 时，f(x 0 +h)f(x 0 )=hf(x 0 +h)，(01)求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这里 m=1，求的是当 h0 时中值 的极限分别将 f(x 0 +h)与 f(x 0 +h)在 x=x 0 展成带皮亚诺余项的 n1 阶与 n 阶泰勒公式得 f(x 0 +h)=f(x 0 )+f(x 0 )h+ f (3) (x 0 )(h) 2 + f (n) (x 0 )(h) n1 +o(h n1 ) =f(x 0 )+ f (n) (x 0 )(h) n1 +o(h n1 )(h0)， f(x 0 +h)
20、f(x 0 )=f(x 0 )h+ f (n) (x 0 )h n +o(h n ) =f(x 0 )h+ f (n) (x 0 )h n +o(h n )(h0)， 将它们代入原式后两边除以 h n 得 令h0，得 )解析：18.求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式： ()f(x)=e x cosx (x 3 )； ()f(x)= (x 3 )； ()f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()e x =1+x+ x 3 +o(x 3 )，cosx=1 x 2 + o(x 3 )， 相乘得 e x cosx=1+x+ x 3 +o(x 3 ) ()f(x)=
21、 = 1 一 x+x 2 一 x 3 一(1+2x+(2x) 2 +(2x) 3 )+o(x 3 ) = (一 3x 一 3x 2 9x 3 )+o(x 3 )=x 一 x 2 3x 3 +o(x 3 ) () )解析：19.求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式： () f(x)=sin 3 x； () f(x)=xln(1x 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() () )解析：20.确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的阶数： ()f(x)=e x 1x xsinx； ()f(x)=(1+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()原式=1+x+ x 3 +o(x 3
22、 )， 所以 x0 时 e x 一 1 一 x 一 xsinx是 x 的 3 阶无穷小 ()原式=1 一 x 4 +o(x 4 )， 所以 x0 时 cosx+ )解析：21.求下列极限：() () () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于当 x0 时分母是 x 3 阶的无穷小量，而当 x0 时 因此当 x0时， e x sinx= 注意到当 x0 时 从而当 x0 时，e x sinx=x+x 2 + x 3 +o(x 3 ) 因此 ()由于 f(x)=arctanx 在点 x=0 有如下导数 因此当 x0 时 =x 2 一 x 3 +o(x 3 )，1n(1+x)2 一 e
23、 x2 +1=x 3 +o(x 3 ) 于是原式= =6 ()因为当 x0 时， ，从而 把麦克劳林公式 代入即得 )解析：22.确定常数 a 和 b 的值，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ln(12x+3x 2 )=2x+3x 2 (一 2x+3x 2 ) 2 +o(一 2x+3x 2 ) 2 ) =2x+3x 2 2x 2 +o(x 2 )=2x+x 2 +o(x 2 )， 于是 =6 可以改写为 )解析：23.设 f(x)=x 2 sinx，求 f (n) (0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=x 2 x 一 +o(x 2n+2 )， f (2n
24、+1) (0)=(一 1) n1 )解析：24.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，又 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设易知， 0，0x 时 f(x) f(x)=f(0)=0由 e f(x) 一 1f(x)，cosx 一 1 x 2 (x0)，用等价无穷小因子替换，原条件改写成 由极限与无穷小关系得，x0 时 =1+o(1)， (o(1)为无穷小)，即 f(x)= x 2 +o(x 2 ) (x0) 由泰勒公式唯一性得 f(0)=0，f(0)=0，f(0)= )解析：25.设 f(x)在 x=a 处 n(n2)阶可导，且当 xa 时 f(x)是 xa 的凡阶无穷小，求证：
25、f(x)的导函数f(x)当 xa 时是 xa 的 n1 阶无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)在 x=a 可展成 f(x)=f(a)+f(a)(x 一 a)+ f(a)(x 一 a)2+ f (n) (a)(x 一 a) n +o(x 一 a) n )(xa) 由 xa 时 f(x)是(xa)的 n 阶无穷小 f(a)=f(a)=f (n1) (a)=0，f (n) (a)0 由 g(x)=f(x)在 x=a 处 n 一 1 阶可导 )解析：26.设 f(x)在 x=a 处四阶可导，且 f(a)=f(a)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)一 f(a)=f
26、(a)(x 一 a)+ (a)(x 一 a) 3 + f (4) (a)(x 一 a) 4 +o(x 一 a) 4 ) = f (4) (a)(xa) 4 +o(x 一 a) 4 )= f (4) (a)+o(1)， 其中 o(1)为无穷小量(xa 时)，因此， 0，当 0xa 时 )解析：27.设 f(x)，g(x)在 x=x 0 某邻域有二阶连续导数，曲线 y=f(x)和 y=g(x)有相同的凹凸性求证： 曲线y=f(x)和 y=g(x)在点(x 0 ，y 0 )处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)g(x)=o(xx 0 )2)(xx 0 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答
27、案：相交与相切即 f(x 0 )=g(x 0 )，f(x 0 )=g(x 0 )若又有曲率相同，即 ，亦即f(x 0 )=g(x 0 ) 由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或 f(x 0 )=g(x 0 )=0 或 f(x 0 )与 g(x 0 )同号，于是 f(x 0 )=g(x 0 )因此，在所设条件下，曲线y=f(x)，y=g(x)在(x 0 ，y 0 )处相交、相切且有相同曲率 f(x 0 )一 g(x 0 )=0，f(x 0 )一g(x 0 )=0，f(x 0 )一 g(x 0 )=0 f(x)一 g(x)=f(x 0 )一 g(x 0 )+f(x)一 g(x) x=x0 (xx
28、0 )+ )解析：28.求 f(x)=3 x 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f (m) (x)=3 x (ln3) m ，f (m) (0)=(ln3) m ，则 )解析：29.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，证明： (a，b)使得 f(b)2f （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在 x= 处展成 分别令 x=a，b 两式相加 由导函数的中间值定理 在 1 ， 2 之间(a，b)，使得 )解析：30.设 f(x)为 n+1 阶可导函数，求证：f(x)为 n 次多项式的充要条件是 f (n+1) (x)0，f (n) (x)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式得 f(x)=f(0)+f(0)x+ 若 f (n+1) (x)0，f (n) (x)0，由上式 f(x)=f(0)+f(0)x+ )解析：31.设 f(x)在(0，+)二阶可导且 f(x)，f(x)在(0，+)上有界，求证：f(x)在(0，+)上有界（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按条件，联系 f(x)，f(x)与 f(x)的是带拉格朗日余项的一阶泰勒公式 x0，h0 有 f(x+h)=f(x)+f(x)h+ f()h 2 ， 其中 (x，x+h)特别是，取h=
