1、考研数学一（一元函数积分概念、计算及应用）-试卷 1 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：35，分数：70.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2.己知 （分数：2.00）_3.求 （分数：2.00）_4.求 （分数：2.00）_5.求 （分数：2.00）_6.求 （分数：2.00）_7.求 （分数：2.00）_8.求 （分数：2.00）_9.求 （分数：2.00）_10.求定积分： ()J= min2，x 2 dx； ()J= （分数：2.00）_11.设 n 为正整数，利用已知公式，I n = ，其中 求下列积分：
2、 ()J n = sin n xcos n xdx； ()J n = （分数：2.00）_12.求无穷积分 J= （分数：2.00）_13.设 （分数：2.00）_14.设 f(x)=arcsin(x1) 2 ，f(0)=0，求 （分数：2.00）_15.设 a0，f(x)在(，+)上有连续导数，求极限 （分数：2.00）_16.求 （分数：2.00）_17.设 f(x)在(，+)连续，在点 x=0 处可导，且 f(0)=0，令 （分数：2.00）_18.设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足 f(x)= （分数：2.00）_19.求函数 f(x)= （分数：2.00
3、）_20.求星形线 L： （分数：2.00）_21.求下列旋转体的体积 V： ()由曲线 y=x 2 ，x=y 2 所围图形绕 x 轴旋转所成旋转体； ()由曲线x=a(tsint)，y=a(1cost)(0t2)，y=0 所围图形绕 y 轴旋转的旋转体（分数：2.00）_22.求双组线 r 2 =a 2 cos2(a0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积（分数：2.00）_23.求功：()设半径为 1 的球正好有一半沉入水中，球的比重为 1，现将球从水中取出，问要做多少功?()半径为 R 的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?（分数：2.00）_24.求引力：()在 x 轴上
4、有一线密度为常数 ，长度为 l 的细杆，在杆的延长线上离杆右端为 a 处有一质量为 m 的质点 P，求证：质点与杆间的引力为 F= (M 为杆的质量)()设有以 O 为心，r 为半径，质量为 M 的均匀圆环， 垂直圆面， =b，质点 P 的质量为 m，试导出圆环对 P 点的引力公式 F=k（分数：2.00）_25.过曲线 y=x 2 (x0)上某点 A 作一切线，使之与曲线及 x 轴围成图形面积为 （分数：2.00）_26.设常数 ab，曲线 ：y= (x，)的弧长为 l()求证： ；()求定积分 J= （分数：2.00）_27.设 f(x)为非负连续函数，且满足 f(x) f(xt)dt=s
5、in 4 x,求 f(x)在0， （分数：2.00）_28.设 a0，f(x)在(0，+)连续，求证：() dx； ()又设 f( )=f(x)(x0)，则（分数：2.00）_29.设 f(x)在a，b上连续，f(x)0 且 （分数：2.00）_30.证明 I n （分数：2.00）_31.证明定积分 I= （分数：2.00）_32.证明：() lnsinxdx= lncosxdx；() lnsin2xdx= lnsinxdx；()lnsinxdx= （分数：2.00）_33.证明 （分数：2.00）_34.证明 （分数：2.00）_35.设 f(x)在0，1连续，且对任意 x，y0，1均有f
6、(x)f(y)Mxy，M 为正的常数，求证： （分数：2.00）_考研数学一（一元函数积分概念、计算及应用）-试卷 1 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：35，分数：70.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：2.己知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按题意：f(x)= x 3 f(x)dx )解析：3.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意分解 1+x 6 =1+(x 2 ) 3 =(1+x 2 )(1 一 x 2 +x 4 ) )解析：4.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作
7、恒等变形，然后凑微分即得 )解析：5.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 记 sgnx= 则 )解析：6.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 x=asint(t )，则 )解析：7.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：8.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用定积分的分段积分法与推广的牛顿一莱布尼兹公式得 )解析：解析：先用凑微分法求 或用变量替换令 t=tanx，则 x=arctant，dx= 于是 现用牛顿莱布尼茨公式即得 注意所得的积分值为负，无疑是错误的，但错在哪里呢?这是因为由函数0， 上的原函数，它在积分区间0， 上也不连
8、续，故不符合牛顿-莱布尼茨公式及其推广的条件 用换元法令 t=tanx，则 a=tan0=0，=tan =1于是 这当然也是错的，错在哪里呢?因为当 t一 1，0时，x=arctant 之值不落在原积分区间0，9.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.求定积分： ()J= min2，x 2 dx； ()J= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()min2，x 2 = 于是 ()当一 1x0 时，J= (1+x) 2 当 x0 时，J= )解析：11.设 n 为正整数，利用已知公式，I n = ，其中 求下列积分： ()J n = sin n xcos n xdx
9、； ()J n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()J n =2 n sin n udu，而 () )解析：12.求无穷积分 J= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因此 )解析：13.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，f(x)=sin2xdx= cos2x+C 1 ； 当 x0 时，f(x)=ln(2x+1)dx=xln(2x+1)一 dx =xln(2x+1)一dx+ =xln(2x+1)一 x+ ln(2x+1)+C 2 ， 为了保证F(x)在 x=0 点连续，必须 C 2 = +C 1 (*) 特别，若取 C 1 =0，C 2 = 就是
10、 f(x)的一个原函数 若 C 1 任意取值，C 2 满足(*)，即 )解析：解析：本题的被积函数是分段定义的连续函数，则 f(x)存在原函数，相应的原函数也应该分段定义然而按照原函数的定义，F(x)=f(x)，即 F(x)必须是可导的，而且导数是 f(x)这样，F(x)首先就应该连续，下面就是按照这一要求，利用连续拼接法把分段定义的原函数粘合在一起，构成一个整体的原函数14.设 f(x)=arcsin(x1) 2 ，f(0)=0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 a0，f(x)在(，+)上有连续导数，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 I(a
11、)= f(t+a)一 f(t 一 a)dt，由积分中值定理可得 I(a)= f(+a)f(a).2a= f(+a)一 f(a)， 一 aa 因为 f(x)有连续导数，应用拉格朗日中值定理可得 I(a)= f().2a=f()，a+a 于是 )解析：16.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 f(x)在(，+)连续，在点 x=0 处可导，且 f(0)=0，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由变上限积分性质知 F(x)在 x0 时连续为使其在 x=0 处连续，只要F(x)=A而 故令 A=0 即可 ()当 x0 时 F(x)= tf(t)dt 在 x=0
12、 处，由导数定义和洛必达法则可得 (*) 所以 又 )解析：18.设 x0，a时 f(x)连续且 f(x)0(x(0，a)，又满足 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(x)= dt， (*) 由 f(x)连续及 x 2 可导知 f 2 (x)可导，又 f(x)0，从而 f(x)可导，f 2 (x)=2f(x)f(x)，故将上式两边对 x 求导，得 2f(x)f(x)=f(x).2x f(x)=x 在(*)式中令 x=0 可得 f(0)=0 于是(*)式 两边积分 得 )解析：19.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 f(x)在a，b上连续
13、，其最大(小)值的求法是：求出 f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出 f(a)与 f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若 f(x)单调，则最大(小)值必在端点处取得由 可知 f(x)在e，e 2 上单调增加，故 )解析：20.求星形线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：图形关于 x，y 轴均对称，第一象限部分：0xa，0y )解析：21.求下列旋转体的体积 V： ()由曲线 y=x 2 ，x=y 2 所围图形绕 x 轴旋转所成旋转体； ()由曲线x=a(tsint)，y=a(1cost)(0t2)，y=0 所围图形绕 y 轴旋转的旋转体（分数：2.
14、00）_正确答案：(正确答案：()如图 32，交点(0，0)，(1，1)，则所求体积为 ()如图 33，所求体积为 )解析：22.求双组线 r 2 =a 2 cos2(a0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：双纽线如图 34 所示由对称性，只需考察 0， 面积 S=2.2 d 由 r 2 =a 2 cos2 )解析：23.求功：()设半径为 1 的球正好有一半沉入水中，球的比重为 1，现将球从水中取出，问要做多少功?()半径为 R 的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()(微元法)以球心为原点
15、，x 轴垂直向上，建立坐标系(如图 35) 取下半球中的微元薄片，即 取小区间x，x+dx 一 1，0，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为 (1 一 x 2 )dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1+x)，故需做功 dw 1 =(1+x)(1 一 x 2 )dx因此，对下半球做的功 w 1 = (1+x)(1 一 x 2 )dx 取上半球中的微元薄片，即 取小区间x，x+dx 0，1，相应的小薄片，其重量为(1 一 x 2 )dx，当球从水中移出时，此薄片移动距离为 1所受力为重力，故需做功 dw 2 =(1 一 x 2 )dx因此，对上半球做的功 w 2 = (
16、1 一 x 2 )dx 于是，对整个球做的功为 ()建立坐标系如图 36取 x 为积分变量，x0，R x，x+dx相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为 (R 2 x 2 )dx， 又比重 =1，于是把这层水抽出需做功 dw=x(R 2 一 x 2 )dx因此，所求的功 )解析：24.求引力：()在 x 轴上有一线密度为常数 ，长度为 l 的细杆，在杆的延长线上离杆右端为 a 处有一质量为 m 的质点 P，求证：质点与杆间的引力为 F= (M 为杆的质量)()设有以 O 为心，r 为半径，质量为 M 的均匀圆环， 垂直圆面， =b，质点 P 的质量为 m，试导出圆环对 P 点的引力公式 F=k（分
17、数：2.00）_正确答案：(正确答案：()如图 37 建立坐标系，取杆的右端为原点，x 轴正向指向质点 P 任取杆的一段x，x+dx，它对质点 P 的引力为 因此，杆与质点 P 间的引力大小为 其中 M 是杆的质量 ()如图 38，由对称性，引力沿 方向取环上某点为计算弧长的起点，任取弧长为 s 到s+ds 的一段微元 与 方向的分力为 dF=k ，于是整个圆环对 P 点的引力为 )解析：25.过曲线 y=x 2 (x0)上某点 A 作一切线，使之与曲线及 x 轴围成图形面积为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 39()设点 A(x 0 ， )，点 A 处的切线方程 令 y=0
18、按题意 解得 x 0 =1 A(1，1) ()过 A 点的切线 y=2x 一 1 ()旋转体体积 V= )解析：26.设常数 ab，曲线 ：y= (x，)的弧长为 l()求证： ；()求定积分 J= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()：y 2 =(x 一 a)(b 一 x)=x 2 +(a+b)x 一 ab，两边对 x 求导得 ()曲线 ：y= ，0)为圆心，半径为 的半圆周由题()：=a，= ，则对应的 长 l=圆周长的 )解析：27.设 f(x)为非负连续函数，且满足 f(x) f(xt)dt=sin 4 x,求 f(x)在0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x
19、t=u，则 f(u)du于是 两边积分 故 f(x)在0， )解析：28.设 a0，f(x)在(0，+)连续，求证：() dx； ()又设 f( )=f(x)(x0)，则（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()按要证的等式，将等式左端改写可得 ()按题设，对左端作变换 t=)解析：29.设 f(x)在a，b上连续，f(x)0 且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由定积分的性质 )解析：30.证明 I n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 利用被积函数的结合性，原式改写成 I n = cos n1 xcosxsinnxdx， 两式相加得 现得递推公式 2I n = +2
20、 n1 J n1 令 J n =2 n J n ，得 J n = +J n1 由此进一步得 注意 J 0 =0 )解析：31.证明定积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作变量替换 t=x 2 (x= dt 被积函数在0，2上变号，t(0，)时取正值，t(，2)时取负值，于是 把后一积分转化为0，上积分，然后比较被积函数，即 被积函数 )解析：32.证明：() lnsinxdx= lncosxdx；() lnsin2xdx= lnsinxdx；()lnsinxdx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()J= lncostdt () ()由题()与题()得 )解析：33.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：要将积分作恒等变形，可供考虑的方法是分部积分法34.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：使用换元积分法令 x= +t，则 )解析：35.设 f(x)在0，1连续，且对任意 x，y0，1均有f(x)f(y)Mxy，M 为正的常数，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 分别表成 代入不等式左端，然后利用定积分性质与已知条件得)解析：
