1、考研数学一（一元函数积分概念、计算及应用）-试卷 3 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 F(x)= （分数：2.00）A.为正数B.为负数C.恒为零D.不是常数3.设 F(x)= （分数：2.00）A.B.f(lnx)+f(C.D.f(lnx)f(4.设 f(x)为(，+)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)= （分数：2.00）A.单调增加的奇函数B.单调增加的偶函数C.单调减小的奇函数D.单调减小的偶函数5.下列可表示由双纽线(x 2 +y
2、 2 ) 2 =x 2 y 2 )围成平面区域的面积的是（分数：2.00）A.2B.4C.2D.二、填空题(总题数：1，分数：2.00)6.由曲线 x=a(tsint)，y=a(1cost)(0t2)(摆线)及 x 轴围成平面图形的面积 S= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：29，分数：58.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_8.证明下列不等式：() dx； () （分数：2.00）_9.设 f(x)在(a，b)上有定义，c(a，b)，又 f(x)在(a，b)c连续，c 为 f(x)的第一类间断点问f(x)在(a，b)是否存在原函
3、数?为什么?（分数：2.00）_10.设 f(x)定义在(a，b)上，c(a，b)，又设 H(x)，G(x)分别在(a，c，c，b)连续，且分别在(a，c)与(c，b)是 f(x)的原函数令 （分数：2.00）_11.已知 （分数：2.00）_12.计算下列不定积分： () dx； () dx； () (ab)； () dx(a 2 +b 2 0)； () dx； () （分数：2.00）_13.计算下列定积分：() dx；() ；() dx；() （分数：2.00）_14.求下列积分： ()设 f(x)= e y2 dy，求 x 2 f(x)dx； ()设函数 f(x)在0，1连续且 f(x
4、)dx=A，求 （分数：2.00）_15.设函数 f(x)在(，+)内满足 f(x)=f(x)+sinx，且 f(x)=x，x0，)，求 （分数：2.00）_16.计算下列反常积分：() ；() ；() dx；() （分数：2.00）_17.假定所涉及的反常积分(广义积分)收敛，证明： （分数：2.00）_18.设 f(x)在a，b上有二阶连续导数，求证： (ba)f(a)+f(b)+ （分数：2.00）_19.设函数 f(x)与 g(x)在区间a，b上连续，证明： （分数：2.00）_20.设 f(x)与 g(x)在a，b上连续，且同为单调不减(或同单调不增)函数，证明：(ba) （分数：2
5、.00）_21.设 f(x)在a，b有二阶连续导数，M= f(x)，证明： （分数：2.00）_22.设 f(x)在a，b有连续的导数，求证： （分数：2.00）_23.设 f(x)= （分数：2.00）_24.设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，f(0)=g(0)0，求 （分数：2.00）_25.求 I= （分数：2.00）_26.设 f(x)在a，b可积，求证：(x)= （分数：2.00）_27.设 F(x)= e t2 dt，试求： ()F(x)的极值； ()曲线 y=F(x)的拐点的横坐标； () （分数：2.00）_28.求曲线 r=asin 3 （分数：2.00）_
6、29.求曲线 r=a(1+cos)的曲率（分数：2.00）_30.已知一条抛物线通过 x 轴上两点 A(1，0)，B(3，0)，求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于 x轴与该抛物线所围成的面积（分数：2.00）_31.求下列旋转体的体积 V： ()由曲线 x 2 +y 2 2x 与 yx 确定的平面图形绕直线 x=2 旋转而成的旋转体； ()由曲线 y=3x 2 1与 x 轴围成封闭图形绕直线 y=3 旋转而成的旋转体（分数：2.00）_32.求以半径为 R 的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为 h 的正劈锥体的体积（分数：2.00）_33.设两点 A(1，0，0)与 B(0，1，
7、1)的连线 （分数：2.00）_34.求曲线 x=acos 3 t，y=asin 3 t 绕直线 y=x 旋转一周所得曲面的面积（分数：2.00）_35.边长为 a 和 b 的矩形薄板与液面成 角斜沉于液体内，长边平行于液面位于深 h 处，设 ab，液体的比重为 ，求薄板受的液体压力（分数：2.00）_考研数学一（一元函数积分概念、计算及应用）-试卷 3 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 F(x)= （分数：2.00）A.为正数B.为负数
8、C.恒为零D.不是常数解析：解析：由于被积函数连续且以 为周期(2 也是周期)，故(x)=F(0)= f(t)dt=2 f(t)dt，即 F(x)为常数由于被积函数是变号的，为确定积分值的符号，可通过分部积分转化为被积函数定号的情形，即 2 3.设 F(x)= （分数：2.00）A. B.f(lnx)+f(C.D.f(lnx)f(解析：解析：这是上、下限均为已知函数的变限积分，直接由变限积分求导法得 F(x)=f(lnx)(lnx)4.设 f(x)为(，+)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)= （分数：2.00）A.单调增加的奇函数B.单调增加的偶函数C.单调减小的奇函数 D.单调减小的偶函
9、数解析：解析：对被积函数作变量替换 u=xt，就有 F(x)= uf(u)du 由于 f(x)为奇函数，故f(u)du 为偶函数，于是 x f(u)du 为奇函数，又因 uf(u)为偶函数，从而 uf(u)du 为奇函数，所以 F(x)为奇函数又 F(x)= f(u)du+xf(x)2xf(x)= f(u)duxf(x)， 由积分中值定理知在 0 与 x 之间存在 使得 f(u)du=xf()从而 F(x)=xf()f(x)，无论 x0，还是x0，由 f(x)单调增加，都有 F(x)0，从而应选(C) 其实，由 F(x)= f(u)duxf(x)=5.下列可表示由双纽线(x 2 +y 2 )
10、2 =x 2 y 2 )围成平面区域的面积的是（分数：2.00）A.2 B.4C.2D.解析：解析：双纽线的极坐标方程是：r 4 =r 2 (cos 2 sin 2 )即 r 2 =cos2当，时，仅当 时才有 r0(图 324) 由于曲线关于极轴与 y 轴均对称，如图 324，只需考虑 0， 部分由对称性及广义扇形面积计算公式得 S=4. 二、填空题(总题数：1，分数：2.00)6.由曲线 x=a(tsint)，y=a(1cost)(0t2)(摆线)及 x 轴围成平面图形的面积 S= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3a 2）解析：解析：当 t0，2时，曲线与 x
11、轴的交点是 x=0，2a(相应于 t=0，2)，曲线在 x 轴上方，见图 325于是图形的面积三、解答题(总题数：29，分数：58.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：8.证明下列不等式：() dx； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 f(x)= ，则 f(x)在区间0，1上连续，且 可见函数 f(x)在点x= 处取得它在区间0，1上的最小值 ，又因 f(0)=f(1)=1，故 f(x)在区间0，1上的最大值是 f(0)=f(1)=1，从而 注意 于是有 ()注意 0x 时，0xtanx1，则 )解析：9.设 f(x)在(a，
12、b)上有定义，c(a，b)，又 f(x)在(a，b)c连续，c 为 f(x)的第一类间断点问f(x)在(a，b)是否存在原函数?为什么?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)是 f(x)在(a，b)的原函数考察 于是 F + (c)= f(x)，F = f(x)， 由于 x=c 是 f(x)的第一类间断点，故 存在，但不相等，即 F + (c)F (c) 或 )解析：解析：f(x)在(a，c)与(c，b)上连续，分别存在原函数，于是关键是看 x=c 处的情况10.设 f(x)定义在(a，b)上，c(a，b)，又设 H(x)，G(x)分别在(a，c，c，b)连续，且分别在(a，c
13、)与(c，b)是 f(x)的原函数令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()F(c)= )解析：解析：关键就看是否有 F(c)=f(c)11.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易求得 仅当 A=0 时 f(x)在 x=0 连续于是 f(x)在(，+)连续，从而存在原函数当 A0 时 x=0 是 f(x)的第一类间断点，从而 f(x)在(，+)不存在原函数因此求得A=0下求 f(x)的原函数 被积函数是分段定义的连续函数，它存在原函数，也是分段定义的由于原函数必是连续的，我们先分段求出原函数，然后把它们连续地粘合在一起，就构成一个整体的原函数 当 x0 时， 当 x0 时，
14、 取 C 1 =0，随之取 C 2 =1，于是当 X0 时与 x0 + 时f(x)dx 的极限同为 1，这样就得到 f(x)的一个原函数 )解析：12.计算下列不定积分： () dx； () dx； () (ab)； () dx(a 2 +b 2 0)； () dx； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()采用凑微分法，并将被积函数变形，则有 ()如果令 t= ，计算将较为复杂，而将分子有理化则较简便于是 () ()对此三角有理式，如果分子是asinx+bcosx 与(asinx+bcosx)=acosxbsinx 的线性组合，就很容易求其原函数，故设 a 1 sinx+b 1
15、cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosxbsinx) 为此应有 解得 故 ()记原式为 J，先分项： J= j 1 +j 2 易凑微分得 J 2 =arcsinxdarcsinx= arcsin 2 x+C 下求 J 1 ()记原积分为 J )解析：13.计算下列定积分：() dx；() ；() dx；() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()这是一个含根式的积分，首先应该通过变量替换去掉根式 令 dt于是 ()万能代换令 t=tan 故 ()由于 ，故被积函数为分段函数，其分界点为 于是 ()作幂函数替换后再分部积分，则有 )解析：14.求下列积分： ()设 f(x)
16、= e y2 dy，求 x 2 f(x)dx； ()设函数 f(x)在0，1连续且 f(x)dx=A，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()令 (x)= f(y)dy，则 (x)=f(x)，于是 )解析：解析：该例中的两个小题均是求形如 g(y)dydx 的积分，它可看作区域D=(x，y)axb，ayx上一个二重积分的累次积分，有时通过交换积分次序而求得它的值作为定积分，若 f(x)的原函数易求得 F(x)=f(x)，则可由分部积分法得15.设函数 f(x)在(，+)内满足 f(x)=f(x)+sinx，且 f(x)=x，x0，)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
17、： )解析：解析：由于题目只给出了 f(x)在区间0，)上的具体表达式，为计算在，3上的积分值，就应该通过换元法使其积分区间换到0，上另外，也可以通过 f(x)=f(x)+sinx 及 f(x)在0，)上的表达式，求出 f(x)在，3)上的表达式，然后再求积分值这里所采用的是第一种方法，读者可采用第二种方法计算16.计算下列反常积分：() ；() ；() dx；() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()这是一个无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计算 ()这是一个有理函数在无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计算 因为 ，且 x1，于是有原函数 从而 () ()这是一
18、个无界函数的反常积分，其瑕点为 a，由于被积函数中含有根式，应通过变量替换将根式去掉，注意被积函数可改写成为 ，因而可令 x sint，即 x=(1+sint)，代入即得 )解析：17.假定所涉及的反常积分(广义积分)收敛，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 t=x ，则当 x+时，t+，x0+时，t；x0时，t+；x时，t，故应以 0 为分界点将(*)式左端分成两部分，即 而且将 x 与 t 的关系反解出来，即得 x= 同时，当 x0 时，x= ，dx= dt；当 x0 时，x= dt因此)解析：18.设 f(x)在a，b上有二阶连续导数，求证： (ba)f(a)+f(b)
19、+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：连续利用分部积分有 f(x)dx= f(x)d(xb)=f(a)(ba) f(x)(xb)d(xa) =f(a)(ba)+ (xa)df(x)(xb) =f(a)(ba)+ f(x)(xa)(xb)dx =f(a)(ba)+f(b)(ba) f(x)(xa)(xb)dx， 移项后得 (ba)f(a)+f(b)+ )解析：解析：很自然的想法是用分部积分法，但要注意“小技巧”：19.设函数 f(x)与 g(x)在区间a，b上连续，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此不等式通常的证明方法是引入参数，即考虑f(x)+tg(x) 2 由于 f
20、(x)+tg(x) 2 dx= g 2 (x)dx0， 因此，其判别式=2 )解析：20.设 f(x)与 g(x)在a，b上连续，且同为单调不减(或同单调不增)函数，证明：(ba) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据 f(x)与 g(x)同为增(或同为减)函数的假定，则无论 x 与 y 的大与小，定有 f(x)f(y)g(x)g(y)0 两边对 x 与 y 同时求积分，则有 f(x)g(x)f(y)g(x)f(x)g(y)+f(y)g(y)dx)dy0， 即 )解析：21.设 f(x)在a，b有二阶连续导数，M= f(x)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分部积分
21、两次得 于是 )解析：解析： 用分部积分法导出 J 与 f(x)的有关积分的关系或由泰勒公式导出 f(22.设 f(x)在a，b有连续的导数，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可设 f(x)=f(x 0 )，即证 (ba)f(x 0 ) f(x)dx， 即证 注意 )解析：23.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：这里被积函数也含参变量 x，要设法转化为被积函数不含参变量 x 的情形注意相对于积分变量 t 来说 x 是常量 先将被积函数恒等变形，作配方 txt 2 =(t ) 2 + ，于是被积函数中含变量戈的因子 可分离出来提到积分号外，
22、最后再作变量替换 s=t 24.设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，f(0)=g(0)0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题是求 型未定式的极限，需用洛必达法则，但分子分母都需先作变量替换，使被积函数中的 与 g(xt)不含 x 才可以求导令 原式= 由积分中值定理，在 0 与 x之间存在 ，使 g(u)du=xg()，于是有 )解析：25.求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是求 型的极限用洛必达法则时就要求变限积分的导数这里被积函数f(x)= dt 还是变限积分注意到这一点就容易求得 )解析：26.设 f(x)在a，b可积，求证：(x)=
23、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： x，x+xa，b，考察 (x+x)(x)= f(u)du， 由 f(x)在a，b可积 f(x)在a，b有界设f(x)M(xa，b)，则 (x+x)(x) f(u)duMx 因此， x，x+xa，b，有 )解析：27.设 F(x)= e t2 dt，试求： ()F(x)的极值； ()曲线 y=F(x)的拐点的横坐标； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 F(x)=2xe x4 ，即知 F(x)在 x=0 处取极小值 0，且无其他极值 ()F(x)=2(14x 4 )e x4 ，注意到仅当 x= 时 F(x)=0，且在 x= 两侧 F
24、(x)变号，即知 x= 为曲线 y=F(x)的拐点的横坐标 ()注意到 x 2 F(x)为奇函数，因此 )解析：28.求曲线 r=asin 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r=asin 3 以 6 为周期，0，3 0，r0；(3，6) (，2)，r0只需考虑 0，3 )解析：29.求曲线 r=a(1+cos)的曲率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线的参数方程为 x=rcos=a(1+cos)cos， y=rsin=a(1+cos)sin， x=asin(1+2cos)=a(sin+sin2)，y=a(cos+cos2) x 2 +y 2 =a 2 2(1+cos)=2
25、ar，x=a(cos+2cos2)，y=a(sin+2sin2)， xyxy)=a 2 (sin+sin2)(sin+2sin2)+(cos+cos2)(cos+2cos2) =3a 2 (1+cos)=3ar 因此，曲率 K= )解析：30.已知一条抛物线通过 x 轴上两点 A(1，0)，B(3，0)，求证：两坐标轴与该抛物线所围成的面积等于 x轴与该抛物线所围成的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)写出抛物线方程 Y=a(x1)(x3)(a0 或 a0 为常数)，如图 326 所示 2)求两坐标轴与抛物线所围面积 S 1 ，即 3)求 x 轴与该抛物线所围面积 S 2 ，即
26、)解析：31.求下列旋转体的体积 V： ()由曲线 x 2 +y 2 2x 与 yx 确定的平面图形绕直线 x=2 旋转而成的旋转体； ()由曲线 y=3x 2 1与 x 轴围成封闭图形绕直线 y=3 旋转而成的旋转体（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()对该平面图形，我们可以作垂直分割也可作水平分割 作水平分割该平面图形如图 327上半圆方程写成 x=1 (0y1)任取 y 轴上0，1区间内的小区间y，y+dy，相应的微元绕 x=2 旋转而成的立体体积为 dV=2(1 2 (2y) 2 dy， 于是 ()曲线 y=3x 2 1与 x 轴的交点是(2，0)，(2，0)曲线 y=f(x)
27、=3x 2 1与 x轴围成的平面图形，如图 328 所示 显然作垂直分割方便任取x，x+dx 2，2，相应的小竖条绕 y=3 旋转而成的立体体积为 dV=3 2 (3f(x) 2 dx=(9x 2 1 2 )dx， 于是 )解析：32.求以半径为 R 的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为 h 的正劈锥体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取底圆所在平面为 Oxy 平面，圆心 O 为原点，并使 x 轴与劈锥的顶平行，底圆方程为 x 2 +y 2 =R 2 过 x 轴上的点 x(RxR)作垂直于 x 轴的瓶面，截正劈锥体得等腰三角形，底边长即 2 ，高为 h，该截面的面积为 S
28、(x)= 于是 V= R 2 h (由定积分的几何意义直接写出 dx=以半径为尺的半圆的面积= )解析：解析：首先要建立坐标系(如图 329)，然后求平行截面面积，最后将立体体积表为截面面积的定积分33.设两点 A(1，0，0)与 B(0，1，1)的连线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 直线方程： 上任意点(x，y，z)与 z 轴的距离的平方为：x 2 +y 2 =(1t) 2 +t 2 =z 2 +(1z) 2 ，则 S(t)=z 2 +(1z) 2 ，从而 v= )解析：解析：这是截面积已知的立体与 z 轴垂直的平面截此旋转体所得截面即此平面与 的交点绕z 轴旋转所得的圆，其面
29、积记为 S(z)，则 V= S(z)dz关键求34.求曲线 x=acos 3 t，y=asin 3 t 绕直线 y=x 旋转一周所得曲面的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 330，曲线关于 y=x 对称，只需考察 t 一段曲线现在没有现成的公式可用用微元法导出旋转面的面积公式任取曲线的小微元，端点坐标为(x(t)，y(t)=(acos 3 t，asin 3 t)，它到直线 y=x 的距离为 l(t)= 曲线微元的弧长 ds= dt=3asintcostdt，它绕 y=x 旋转所得曲面微元的面积为 ds=2l(t)ds=2 .3asintcostdt，因此整个旋转面的面积为 )解析：35.边长为 a 和 b 的矩形薄板与液面成 角斜沉于液体内，长边平行于液面位于深 h 处，设 ab，液体的比重为 ，求薄板受的液体压力（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：建立坐标系如图 331 所示，x 轴铅直向下一长边的深度为 h，另一长边的深度为 h+bsin，在h，h+bsin中任取x，x+dx，相应的薄板上一小横条，长 a，宽 ，于是所受的压力为 dP=xa 整块板受的压力为 P= bsi
