1、考研数学一（一元函数积分概念、计算及应用）-试卷 4 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)为连续函数，I=t （分数：2.00）A.依赖于 s 和 tB.依赖于 s，t，xC.依赖于 t，x，不依赖于 sD.依赖于 s，不依赖于 t3.下列函数中在1，2上定积分不存在的是（分数：2.00）A.B.C.D.4.下列函数中在2，3不存在原函数的是（分数：2.00）A.B.f(x)=maxx，1C.D.5.积分 （分数：2.00）A.与 a 有关
2、B.是与 a 无关的负数C.是与 a 无关的正数D.为零6.设常数 0，I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 B.I 1 I 2 C.I 1 =I 2 D.I 1 与 I 2 的大小与 的取值有关7.下列反常积分中发散的是（分数：2.00）A.(k1)B.C.D.8.设 f(t)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导二、填空题(总题数：21，分数：42.00)9.dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.e x+excosx (cosxs
3、inx)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)连续，f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_15.dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_16.dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_17.xarcsinxdx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_18.dx(n0)= 1 （分数：2.00）填空项 1:_19. （分数：2.00）填空项 1:_20.dx(a0)= 1 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 y=f(x)满足y= x+o(x)，且 f(0)=0，则 （分数：2.00）填空项 1:_22.
4、设 f(x)在a，b上连续可导，f(a)=f(b)=0，且 f 2 (x)dx=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_23.设 f(x)具有连续导数，且 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_24.已知 f(x)= e t2 dt，则 （分数：2.00）填空项 1:_25. （分数：2.00）填空项 1:_26.dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_27.dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_28.曲线 x=a(cost+tsint)，y=a(sinttcost)(0t2)的长度 L= 1（分数：2.00）填空项 1:_29.曲线 y 2 =2x 在任意点处的曲率为 1（分
5、数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：6，分数：12.00)30.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_31.设有一半径为 R 长度为 l 的圆柱体，平放在深度为 2R 的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)设圆柱体的比重为 (1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功?（分数：2.00）_32.求星形线 （分数：2.00）_33.求由曲线 x 2 =ay 与 y 2 =ax(a0)所围平面图形的质心(形心)(如图 333) （分数：2.00）_34.设函数 f(x)在0，上连续，且 f(x)sinxdx=0， （分数：2.00）_35.设 f(x)在(，+
6、)连续，以 T 为周期，令 F(x)= f(t)dt，求证：()F(x)一定能表成：F(x)=kx+(x)，其中 k 为某常数，(x)是以 T 为周期的周期函数；() f(x)dx；()若又有 f(x)0(x(，+)，n 为自然数，则当 nTx(n+1)T 时，有 n （分数：2.00）_考研数学一（一元函数积分概念、计算及应用）-试卷 4 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)为连续函数，I=t （分数：2.00）A.依赖于 s 和 t
7、B.依赖于 s，t，xC.依赖于 t，x，不依赖于 sD.依赖于 s，不依赖于 t 解析：解析：I=3.下列函数中在1，2上定积分不存在的是（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：显然，(A)，(B)，(C)中的 f(x)在一 1，2均有界，至多有一个或两个间断点，因而 f(x)在一 1，2均可积，即4.下列函数中在2，3不存在原函数的是（分数：2.00）A.B.f(x)=maxx，1C. D.解析：解析：先考察 f(x)的连续性关于(A)： f(x)在一 2，3连续，存在原函数 (B)中f(x)如图 31 所示，显然处处连续，在一 2，3存在原函数 显然，(D)中 g(x)在一 2，
8、3可积，f(x)= g(t)dt 在一 2，3连续5.积分 （分数：2.00）A.与 a 有关B.是与 a 无关的负数C.是与 a 无关的正数 D.为零解析：解析：由于被积函数 ln(2+cosx).cosx 是以 2 为周期的偶函数，因此 6.设常数 0，I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 B.I 1 I 2 C.I 1 =I 2 D.I 1 与 I 2 的大小与 的取值有关解析：解析： 当 0x 7.下列反常积分中发散的是（分数：2.00）A.(k1)B.C.D. 解析：解析：对于(A)：由于当 K1 时 故 dx 收敛 对于(B)： 是收敛的 对于(C)：8.设 f(t)=
9、 （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导 D.可导解析：解析：f(0)= =1 因 f(t)=1=f(0)，故函数 f(t)在 t=0 处连续 又二、填空题(总题数：21，分数：42.00)9.dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xlnlnx+C）解析：解析：原式=(lnlnx+x.12.e x+excosx (cosxsinx)dx= 1（分数：2.00）填
10、空项 1:_ （正确答案：正确答案：e excosx +C）解析：解析：e x+excosx (cosxsinx)dx=e excosx (cosxsinx)de x = excosx d(e x cosx) =d(e excosx )=e excosx +C13.设 f(x)连续，f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原式= dx而 于是14.dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：原式=15.dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 2 +2）解析：解析： 16.d
11、x= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原式=17.xarcsinxdx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 其中 单位圆的面积即18.dx(n0)= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原式= 19. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由周期函数的积分性质得 当 n 为奇数时，由于被积函数为奇函数，故 I n，m =0 当m 为奇数(设 m=2k+1，k=0，1，2，)时 I n，m = sin n x(1 一 sin 2 x)
12、k dsinx=R(sinx) 20.dx(a0)= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用分部积分法21.设 y=f(x)满足y= x+o(x)，且 f(0)=0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设可知 ，从而 由 f(0)=0 可得 C=0于是 f(x)= 由定积分几何意义得22.设 f(x)在a，b上连续可导，f(a)=f(b)=0，且 f 2 (x)dx=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因 =f(x)f(x)，所以23.设 f(x)具有连续导数，且
13、F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 所以 又依题设，当 x0 时 F(x)与 x 2 为等价无穷小，从而 24.已知 f(x)= e t2 dt，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：用分部积分法由于 f(x)=e x4 (x 2 )=2xe x4 ，故 25. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：令 x 2 =t，则 26.dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：27.dx= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
14、案：正确答案：*）解析：解析：因(xe x )=e x (x+1)，令 xe x =t，则 dt=e x (x+1)dx，于是 28.曲线 x=a(cost+tsint)，y=a(sinttcost)(0t2)的长度 L= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 2 a）解析：解析：曲线由参数方程表出，直接套弧长公式得29.曲线 y 2 =2x 在任意点处的曲率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：K=*）解析：解析：用曲率计算公式 K=三、解答题(总题数：6，分数：12.00)30.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）
15、_解析：31.设有一半径为 R 长度为 l 的圆柱体，平放在深度为 2R 的水池中(圆柱体的侧面与水面相切)设圆柱体的比重为 (1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：任取小区间x，x+dx R，R相应的柱体薄片，其体积为 2yldx=2l dx 移至水面时薄片移动的距离为 Rx，所受的力(重力与浮力之差)为(1)2l dx，因而移至水面时做的功为 (1)2l(Rx) dx 整个移出水面时，此薄片离水面距离为 R+x，将薄片从水面移到此距离时所做的功为 (R+x)2l. dx，于是对薄片做的功为 dW=2l(1)(Rx)+(R+x) dx =2l
16、(21)R+x dx 因此，所求的功 W= dx+0 =2l(21)R. )解析：解析：首先建立坐标系，取 x 轴垂直水平面并过球心，方向向上，原点为球心，如图 332 所示然后用微元法，考察微元上的作用力注意，在水里时受重力与浮力的作用，在水面上时只受重力的作用32.求星形线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 dsds= dt=3asintcostdt 再求总长度 l= a 积分于是 故星形线的质心为 )解析：33.求由曲线 x 2 =ay 与 y 2 =ax(a0)所围平面图形的质心(形心)(如图 333) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两曲线的交点是(0，0)，
17、(a，a)设该平面图形的质心(形心)为( )，则由质心(形心)公式有 同样计算或由对称性可知 )解析：34.设函数 f(x)在0，上连续，且 f(x)sinxdx=0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：反证法如果 f(x)在(0，)内无零点(或有一个零点，但 f(x)不变号，证法相同)，即 f(x)0(或0)，由于在(0，)内，亦有 sinx0，因此，必有 f(x)sinxdx0(或0)这与假设相矛盾 如果 f(x)在(0，)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为 a(0，)，于是在(0，a)与(a，)内 f(x)sin(xa)同号，因此 f(x)sin(xa)dx0但是，另一方
18、面 f(x)sin(xa)dx= f(x)(sinxcosacosxsina)dx =cosa )解析：35.设 f(x)在(，+)连续，以 T 为周期，令 F(x)= f(t)dt，求证：()F(x)一定能表成：F(x)=kx+(x)，其中 k 为某常数，(x)是以 T 为周期的周期函数；() f(x)dx；()若又有 f(x)0(x(，+)，n 为自然数，则当 nTx(n+1)T 时，有 n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()即确定常数 k，使得 (x)=F(x)kx 以 T 为周期由于 (x+T)=F(x+T)k(x+T)= f(t)dtkT =(x)+ f(t)dtkT， 因此，取 k= f(t)dt，(x)=F(x)kx，则 (x)是以 T 为周期的周期函数此时 F(x)= f(t)dtx+(x) ()不能用洛必达测因为f(x)不存在但 f(t)dt 可表成 f(t)dt+(x) (x)在(，+)连续且以 T 为周期，于是，(x)在0，T有界，在(，+)也有界因此 f(t)dt ()因 f(x)0，所以当nTx(n+1)T 时， )解析：
