1、考研数学一（向量代数与空问解析几何）-试卷 3及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 a与 b为非零向量，则 ab=0是 ( )（分数：2.00）A.a=b的充要条件B.ab 的充要条件C.ab 的充要条件D.ab 的必要但不充分条件3.若非零向量 a，b 满足关系式a-b=a+b，则必有 ( )（分数：2.00）A.a-b=a+bB.a=bC.a.b=0D.ab=04.已知向量 角平分线上的一个单位向量为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.
2、5.两条平行直线 之间的距离为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.若 ab，a，b 均为非零向量，x 是非零实数，则有 ( )（分数：2.00）A.a+xba+xbB.a-xba-xbC.a+xbaD.a-xba7.已知 a0，b0，c0，且 a，b，c 互相垂直，则向量 r=xa+yb+zc的模为 ( )（分数：2.00）A.r=xa+yb+zcB.r=xa+yb+zcC.D.8.设 c=a+b，a，b 为非零向量，且 a与 b不平行若这些向量起点相同，且 a，b，c 的终点在同一直线上，则必有 ( )（分数：2.00）A.0B.0C.+=1D. 2 + 2 =19.直线 关于坐
3、标面 z=0的对称直线的方程为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.两张平行平面 1 ：Ax+By+Cz+D 1 =0与 2 ：Ax+By+Cz+D 2 =0之间的距离为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.设有直线 则 L 1 与 L 2 的夹角为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.向量 a=(4，-3，4)在向量 b=(2，2，1)上的投影为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知向量 a=(2，-1，-2)，b=(1，1，z)，则使 a和 b的夹角 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知直线 （分数
4、：2.00）填空项 1:_15.设 x=2a+b，y=ka+b，其中a=1，b=2，且 ab若以 x和 y为邻边的平行四边形面积为 6，则k的值为 1（分数：2.00）填空项 1:_16.若直线 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 a，b 是非零向量，且b=1 及 （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 AABC的顶点坐标为 A(1，2，1)，B(1，0，1)，C(0，1，z)，则当 z= 1时，ABC 的面积最小（分数：2.00）填空项 1:_19.设 a，b，c 的模a=b=c2，且满足 a+b+c=O，则 a.b+c.c+c.a= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(
5、总题数：5，分数：14.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_21.设 a=3i+4k，b=-i+2j-2k，求与向量 a和 b均垂直的单位向量（分数：2.00）_22.求到平面 2x-3y+6z-4=0和平面 12x-15y+16z-1=0距离相等的点的轨迹方程（分数：2.00）_23.确定下列直线与平面的垂直、平行和直线在平面上的位置关系： （分数：2.00）_求下列曲面的方程：（分数：8.00）(1).以曲线 （分数：2.00）_(2).以曲线 （分数：2.00）_(3).以 （分数：2.00）_(4).以 （分数：2.00）_考研数学一（向量代数与空问解析几何）-
6、试卷 3答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 a与 b为非零向量，则 ab=0是 ( )（分数：2.00）A.a=b的充要条件B.ab 的充要条件C.ab 的充要条件 D.ab 的必要但不充分条件解析：解析：选项(A)中 a=b只是 ab=0的充分条件，不是必要的；选项(B)中 ab 是 a.b=0的充要条件；选项(D)显然是错误的(只要 ab，必有 ab=0)；选项(C)是正确的：如果 ab，显然 ab=0如果ab=0，当 a，b 有一个为零
7、向量，零向量可以平行于任何向量，故 ab 正确，当 a，b 都为非零向量时，由于 0=ab=ab ，而a0，b0，从而3.若非零向量 a，b 满足关系式a-b=a+b，则必有 ( )（分数：2.00）A.a-b=a+bB.a=bC.a.b=0 D.ab=0解析：解析：a-b 2 =(a-b).(a-b)=a 2 +b 2 -2a.b， a+b 2 =(a+b).(a+b)=a 2 +b 2 +2a.b， 从a-b=a+b即知-2a.b=2a.b，4a.b=0，所以 a.b=0 或者由向量加减运算的几何意义，a-b 与 a+b分别表示以 a，b 为邻边的平行四边形的两条对角线向量，而平行四边形的
8、两对角线长度相等时，必是矩形，即知 ab，a.b=0应选(C)4.已知向量 角平分线上的一个单位向量为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：先把 a、b 单位化： ，则易知，a 0 +b 0 是 a,b为边的角平分线上的向量，它的单位向量是 5.两条平行直线 之间的距离为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：两条平行直线之间的距离就是一直线上的点到另一直线的距离，在 L 1 上取点 M1(x 1 ，y 1 ，z 1 )，则 M 1 到 L 2 的距离(如图 14-2 所示) 其中 M 2 (x 2 ，y 2 ，z 2 )是 L 2 上的点，s 2 是 L
9、 2 的方向向量所以 应选(D) 6.若 ab，a，b 均为非零向量，x 是非零实数，则有 ( )（分数：2.00）A.a+xba+xbB.a-xba-xbC.a+xba D.a-xba解析：解析：a+xb 2 =(a+xb).(a+xb)=a 2 +2xa.b+x 2 b 2 =a 2 +x 2 b 2 a 2 ， 所以a+xba应选(C)7.已知 a0，b0，c0，且 a，b，c 互相垂直，则向量 r=xa+yb+zc的模为 ( )（分数：2.00）A.r=xa+yb+zcB.r=xa+yb+zcC.D. 解析：解析：r 2 =r.r=(xa+yb+zc).(xa+yb+zc) =x 2
10、a 2 +y 2 b 2 +z 2 c 2 ， 所以 8.设 c=a+b，a，b 为非零向量，且 a与 b不平行若这些向量起点相同，且 a，b，c 的终点在同一直线上，则必有 ( )（分数：2.00）A.0B.0C.+=1 D. 2 + 2 =1解析：解析：依题意，a+b-b 与 a+b- 平行，从而有 (a+b-b)(a+b-)=0， 即ab+ba-ba-ba+ba=0因为 ab=-ba，所以从上式可得 (+)ba=ba 又 a与 b不平行，ab0，故得 +=1应选(C)9.直线 关于坐标面 z=0的对称直线的方程为 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：易知，直线 L与坐
11、标面 z=0交于点 P(1，1，0)又直线 L的方向向量 所以 L关于zOy面对称的直线 L“的方向向量为 s 2 =(2，2，-4)或(1，1，-2)，且 L“也过点 P(1，1，0)，故 L“的方程是 10.两张平行平面 1 ：Ax+By+Cz+D 1 =0与 2 ：Ax+By+Cz+D 2 =0之间的距离为 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： 1 与 2 之间的距离即为平面 1 上一点 M 1 (x 1 ，y 1 ，z 1 )到 2 的距离 因为 M 1 1 ，故 Ax 1 +By 1 +Cz 1 +D 1 =0， 即 Ax 1 +By 1 +Cz 1 =-D1，从
12、而 11.设有直线 则 L 1 与 L 2 的夹角为 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：L 1 的方向向量 s 1 =(1，-2，1)， L 2 的方向向量 s 2 = =-i-j+2k，所以 L 1 与 L 2 之间夹角 的余弦 所以 = 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.向量 a=(4，-3，4)在向量 b=(2，2，1)上的投影为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：13.已知向量 a=(2，-1，-2)，b=(1，1，z)，则使 a和 b的夹角 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-4）解析：
13、解析： 达到最小，则应使 cos 达到最大，故问题成为求函数 f(z)= 的最大值点令 14.已知直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5x+3y-z-1=0）解析：解析：l 1 ，l 2 的方向向量分别为 s 1 =(1，-1，2)，s 2 =(-1，2，1)，过直线 l 1 ，l 2 的平面的法向量可取为 n=s 1 s 2 = 15.设 x=2a+b，y=ka+b，其中a=1，b=2，且 ab若以 x和 y为邻边的平行四边形面积为 6，则k的值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1 或 5）解析：解析：以 x，y 为邻边的平行四边形的面
14、积16.若直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：L 1 的方向向量 s 1 =(1，2，)，L 2 的方向向量 s 2 =(1，1，1)L 1 上的点 A(1，-1，1)，L 2 上的点 B(-1，1，0)因 L 1 与 L 2 相交，故 s 1 ，s 2 与 =(-2，2，-1)三向量共面，(s 1 s 2 ).=0因为 17.设 a，b 是非零向量，且b=1 及 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18.已知 AABC的顶点坐标为 A(1，2，1)，B(1，0，1)，C(0，1，z)，则当 z= 1时，ABC 的面
15、积最小（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 19.设 a，b，c 的模a=b=c2，且满足 a+b+c=O，则 a.b+c.c+c.a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-6）解析：解析：(a+b+c).(a+b+c)=a 2 +b 2 +c 2 +2a.b+2b.c+2a.c， 因为 a+b+c=0，故有 a 2 +b 2 +c 2 +2(a.b+b.C+c.a)=0，a.b+b.c+c.a= 三、解答题(总题数：5，分数：14.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：21.设 a=3i+4k，b=-i+
16、2j-2k，求与向量 a和 b均垂直的单位向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由向量的向量积定义可知 ab既垂直于 a又垂直 b，所以与 a，b 均垂直的单位向量为 因为 而ab= ，所以与 a，b 均垂直的单位向量为 )解析：22.求到平面 2x-3y+6z-4=0和平面 12x-15y+16z-1=0距离相等的点的轨迹方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设所求点的坐标为(x，y，z)由点到平面的距离公式，有 )解析：23.确定下列直线与平面的垂直、平行和直线在平面上的位置关系： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)直线 L的方向向量为 而平面 的法向量 n=
17、(1，1，0)，故 s=2n，所以sn，即直线 L与平面 垂直 (2)直线 L的方向向量 s=(1，2，-3)(-2，6，0)=(18，6，10)， 平面 的法向量 n=(2，-1，-3)，所以 s.n=182+6(-1)+10(-3)=0， 故 sn，即直线 L平面 .取直线上一点，令 z=0，则 ，代入平面方程中，得到： )解析：求下列曲面的方程：（分数：8.00）(1).以曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1-z=x 2 +y 2 ，即 x 2 +y 2 +z=1，是旋转抛物面，是椭圆抛物面的特例)解析：(2).以曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：绕 x轴曲面方程为 x 2 -y 2 -z 2 =3，是旋转双曲面，是双叶双曲面的特例；绕z轴曲面方程为：x 2 +y 2 -z 2 =3，是单叶双曲面的特例)解析：(3).以 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程为 x 2 -2y+xy-x-2=0)解析：(4).以 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程为 y 2 +z 2 -4x 2 =0，是圆锥面)解析：
