1、考研数学一（向量代数和空间解析几何）-试卷 1及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 a，b 均为非零向量，(a+3b)(7a 一 5b)，(a 一 4b)(7a 一 2b)，则向量 a与 b的夹角为( )（分数：2.00）A.B.C.D.3.设 a，b，c 为非零向量，且 a=bc，b=c a，c=ab，则a+b+c=( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.34.已知曲面 z=4一 x 2 一 y 2 上点 P处的切平面平行于平面 2x+2
2、y+z一 1=0，则点 P的坐标是( )（分数：2.00）A.(1，一 1，2)B.(一 1，1，2)C.(1，1，2)D.(一 1，一 1，2)5.已知向量 a，b 的模分别为a=2，b= （分数：2.00）A.2B.C.D.16.已知直线 L 1 ：x+1=y 一 1=z与直线 L 2 ： （分数：2.00）A.0B.1C.一D.7.直线 1 ： （分数：2.00）A.L 1 L 2 B.L 1 与 L 2 相交但不垂直C.L 1 L 2 且相交D.L 1 ，L 2 是异面直线8.函数 f(x，y，z)=x 2 y 3 +3y 2 z 3 在点(0，1，1)处方向导数的最大值为( )（分数
3、：2.00）A.B.C.117D.1079.设可微函数 f(x，y，z)在点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处的梯度向量为 g，l=(0，2，2)为一常向量，且g.l=1，则函数 f(x，y，z)在点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处沿 l方向的方向导数等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.在曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4平行的切线( )（分数：2.00）A.只有一条B.只有两条C.至少有三条D.不存在11.设 L是圆周 x 2 +y 2 =1，n 为 L的外法线向量，u(x，y)= （分数：2.00）A.0B.C.D.一 二、
4、填空题(总题数：11，分数：22.00)12.过(1，1，一 1)，(一 2，一 2，2)和(1，一 1，2)三点的平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.经过平面 1 ：x+y+1=0 与平面 2 ：x+2y+2z=0 的交线，并且与平面 3 ：2xyz=0 垂直的平面方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_14.与直线厶： （分数：2.00）填空项 1:_15.若 ，=6，3，一 2，而=14，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设(ab).c=2，则(a+b)(b+c).(c+a)= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.若 ， 是单位向量且满足 +=0，则以
5、 ， 为边的平行四边形的面积 S= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.已知三个向量 a，b，c，其中 ca，cb，a 与 b的夹角为 （分数：2.00）填空项 1:_19.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 z=xyz( （分数：2.00）填空项 1:_21.设函数 u(x，y，z)= （分数：2.00）填空项 1:_22.r= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：2，分数：4.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.求经过直线 L： （分数：2.00）_考研数学一（向量代数和空间解析几何）-试卷 1答案解析(总
6、分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 a，b 均为非零向量，(a+3b)(7a 一 5b)，(a 一 4b)(7a 一 2b)，则向量 a与 b的夹角为( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由题设知3.设 a，b，c 为非零向量，且 a=bc，b=c a，c=ab，则a+b+c=( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：由题设知 a，b，c 两两相互垂直，则 a=bc=bc， b=ac， c=ab， 由此可得a=b=c
7、=1，故a+b+c=34.已知曲面 z=4一 x 2 一 y 2 上点 P处的切平面平行于平面 2x+2y+z一 1=0，则点 P的坐标是( )（分数：2.00）A.(1，一 1，2)B.(一 1，1，2)C.(1，1，2) D.(一 1，一 1，2)解析：解析：由面 z=4一 x 2 一 y在点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处的法线向量为(2x 0 ，2y 0 ，1)由题设知，5.已知向量 a，b 的模分别为a=2，b= （分数：2.00）A.2 B.C.D.1解析：解析：6.已知直线 L 1 ：x+1=y 一 1=z与直线 L 2 ： （分数：2.00）A.0B.1C.一D. 解析：解析
8、：直线：L 1 ：x+1=y 一 1=z的方向向量为 s 1 =(1，1，1)，直线 L 2 ： 的方向向量为s 2 =(1，2，) 显然 s 1 与 s 2 不平行，则 L 1 与 L 2 相交于一点的充要条件是 L 1 与 L 2 共面，即 7.直线 1 ： （分数：2.00）A.L 1 L 2 B.L 1 与 L 2 相交但不垂直C.L 1 L 2 且相交D.L 1 ，L 2 是异面直线解析：解析：由题干知，8.函数 f(x，y，z)=x 2 y 3 +3y 2 z 3 在点(0，1，1)处方向导数的最大值为( )（分数：2.00）A.B. C.117D.107解析：解析：函数 f(x，
9、y，z)=x 2 y 3 +3y 2 z 3 在点(0，1，1)处方向导数的最大值等于 f(x，y，z)在点(0，1，1)处梯度向量的模 gradf(0，1，1)=(0，6，9)，g= 9.设可微函数 f(x，y，z)在点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处的梯度向量为 g，l=(0，2，2)为一常向量，且g.l=1，则函数 f(x，y，z)在点(x 0 ，y 0 ，z 0 )处沿 l方向的方向导数等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：设 l的方向余弦为 cos，cos，cos，则10.在曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4平行
10、的切线( )（分数：2.00）A.只有一条B.只有两条 C.至少有三条D.不存在解析：解析：曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 在点 t=t 0 处的切向量为 t=(1，一 2t 0 ，3t 0 2 )平面x+2y+z=4的法线向量为 n=(1，2，1)由题设知 n上 t，即 14t 0 +3t 0 2 =0，则 t 0 =1或 t 0 = 11.设 L是圆周 x 2 +y 2 =1，n 为 L的外法线向量，u(x，y)= （分数：2.00）A.0B. C.D.一 解析：解析： (n，y)，这里的 cos(n，x)，cos(n，y)为曲线 L的外法线向量的方向余弦，设 t为 L的逆时针
11、方向的切线向量，则 cos(n，x)=cos(t，y)，COS(n，y)=cos(f，x)，则二、填空题(总题数：11，分数：22.00)12.过(1，1，一 1)，(一 2，一 2，2)和(1，一 1，2)三点的平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 一 3y一 2z=0）解析：解析：设已知的三个点分别是 A(1，1，一 1)，B(一 2，一 2，2)和 C(1，一 1，2)，因此可知向量=(0，一 2，3) 平面的法向量 n与以上两个向量垂直，因此 n=13.经过平面 1 ：x+y+1=0 与平面 2 ：x+2y+2z=0 的交线，并且与平面 3 ：2xy
12、z=0 垂直的平面方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3x+4y+2z+2=0）解析：解析：联立 1 与 2 的方程 取 x=0，可得点 P 0 (0，一 1，1) 由所求平面过点 P 0 且 1 ， 2 交线的方向向量 s与 n 3 =(2，一 1，一 1)垂直，因此 14.与直线厶： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xy+z=0）解析：解析：设所求平面方程是 Ax+By+Cz+D=0，根据题意可得15.若 ，=6，3，一 2，而=14，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：26，3，一 2）解析：解析：设 =
13、，则= ，即 14=16.设(ab).c=2，则(a+b)(b+c).(c+a)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：(a+b)(b+c).(c+a) =(a+b)b.(C+a)+(a+b)c.(c+a) =(ab).c+(bc).a =(ab).c+(ab).c=417.若 ， 是单位向量且满足 +=0，则以 ， 为边的平行四边形的面积 S= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令=，则以 ， 为边的平行四边形的面积为18.已知三个向量 a，b，c，其中 ca，cb，a 与 b的夹角为 （分数：2.00）填空项 1
14、:_ （正确答案：正确答案：27）解析：解析：由题设可知 ab=absin(a，b)=6319.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，1，1）解析：解析：20.设 z=xyz( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2z）解析：解析：21.设函数 u(x，y，z)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：22.r= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：先求 gradr三、解答题(总题数：2，分数：4.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.求经过直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 L的方程改为交面式 则经过 L的平面可用平面束方程表示为 即x+3y+2z+2=0 由点到平面的距离公式有 )解析：
