1、考研数学一（向量代数和空间解析几何）-试卷 2及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 在点(1，一 1，1)处沿曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 在该点指向 x轴负向一侧的切线方向的方向导数等于( )（分数：2.00）A.一 12B.12C.D.3.在曲线 y=x 2 +x+1上横坐标为 x 1 =0，x 2 =一 1，x 3 =一 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.04.已知 a，b
2、为非零向量，且 ab，则必有( )（分数：2.00）A.a+b=a+bB.a 一 b=abC.a+b=a 一 bD.a+b=a一 b5.已知 （分数：2.00）A.重合B.相交于一点C.平行但不重合D.异面直线6.已知 ab+bc+ca=0，则必有( )（分数：2.00）A.a，b，c 两两相互平行B.a，b，C 两两相互垂直C.a，b，c 中至少有一个为零向量D.a，b，C 共面7.函数 u=x 2 y 3 z 4 在点 A(1，1，1)处沿从点 A到点 B(2，3，4)的方向的方向导数等于( )（分数：2.00）A.20B.一 20C.D.一8.已知向量 a，b 相互平行但方向相反，且ab
3、0，则必有( )（分数：2.00）A.a+babB.a+b=abC.a+b=a+bD.a+bab9.函数 f(x，y)=arctan （分数：2.00）A.一 iB.iC.一 jD.j10.设 a，b，c 均为单位向量，且 a+b+c=0，则 a.b+b.c+c.a等于( )（分数：2.00）A.1B.一C.D.一 111.设有直线 L： （分数：2.00）A.平行于B.在上C.垂直于D.与斜交二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.点(2，1，0)到平面 3x+4y+5z=0的距离 d= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_14.直线
4、 （分数：2.00）填空项 1:_15.过点 P(一 1，0，4)且与平面 3x一 4y+z+10=0平行，又与直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_16.点 M 1 (1，2，3)到直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_17.两个平行平面 1 ：2xy 一 3z+2=0， 2 ：2xy 一 3z一 5=0之间的距离是 1（分数：2.00）填空项 1:_18.点 A(4，一 3，1)在平面 II：x+2yz 一 3=0的投影是 1（分数：2.00）填空项 1:_19.直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_20.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_21.设一平面经过原点及点(
5、6，一 3，2)，且与平面 4xy+2z=8垂直，则此平面方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：3，分数：6.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.设直线 l： （分数：2.00）_24.求直线 l： （分数：2.00）_考研数学一（向量代数和空间解析几何）-试卷 2答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 在点(1，一 1，1)处
6、沿曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 在该点指向 x轴负向一侧的切线方向的方向导数等于( )（分数：2.00）A.一 12B.12C. D.解析：解析：曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 在点(1，一 1，1)处切线向量为 t=(1，一 2，3)，而指向 x轴负向一侧的切向量为(一 1，2，一 3)，则所求的方向导数为 3.在曲线 y=x 2 +x+1上横坐标为 x 1 =0，x 2 =一 1，x 3 =一 （分数：2.00）A.1 B.2C.3D.0解析：解析：4.已知 a，b 为非零向量，且 ab，则必有( )（分数：2.00）A.a+b=a+bB.a 一 b=abC.a+
7、b=a 一 b D.a+b=a一 b解析：解析：a+b与a 一 b在几何上分别表示以 a，b 向量为邻边的矩形的两条对角线的长度，则必有a+b=ab，故选 C5.已知 （分数：2.00）A.重合B.相交于一点 C.平行但不重合D.异面直线解析：解析：设 M 1 (a 1 ，b 1 ，c 1 )，M 3 (a 3 ，b 3 ，c 3 )，显然点 M 1 和 M 3 分别在两条直线上 =(a 3 一 a 1 ，b 3 一 b 1 ，c 3 一 c 1 )，由于 6.已知 ab+bc+ca=0，则必有( )（分数：2.00）A.a，b，c 两两相互平行B.a，b，C 两两相互垂直C.a，b，c 中至
8、少有一个为零向量D.a，b，C 共面 解析：解析：由 ab+bc+ca=0，知(ab).c+(bc).c+(ca).c=0 而(bc).c+(ca).c=0，则(ab).c=0故 a，b，c 共面，应选 D7.函数 u=x 2 y 3 z 4 在点 A(1，1，1)处沿从点 A到点 B(2，3，4)的方向的方向导数等于( )（分数：2.00）A.20B.一 20C. D.一解析：解析：8.已知向量 a，b 相互平行但方向相反，且ab0，则必有( )（分数：2.00）A.a+babB.a+b=ab C.a+b=a+bD.a+bab解析：解析：由已知 a，b 相互平行且方向相反，ab0，则9.函数
9、 f(x，y)=arctan （分数：2.00）A.一 iB.iC.一 jD.j 解析：解析： 10.设 a，b，c 均为单位向量，且 a+b+c=0，则 a.b+b.c+c.a等于( )（分数：2.00）A.1B.一 C.D.一 1解析：解析：由于 a+b+c=0，则 (a+b+c).(a+b+c)=0， 即 a 2 +b 2 +c 2 +2(a.b+b.c+c.a)=0 其中，a 2 =b 2 =c 2 =1 因此 a.b+b.c+c.c=一 11.设有直线 L： （分数：2.00）A.平行于B.在上C.垂直于 D.与斜交解析：解析：由已知可得，直线 L的方向向量为 s=二、填空题(总题数
10、：10，分数：20.00)12.点(2，1，0)到平面 3x+4y+5z=0的距离 d= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用点到平面的距离公式可得：13.直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：两条直线方向向量的夹角即为所求， L 1 的方向向量 S 1 =1，一 2，1； 14.直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：=0）解析：解析：设直线与平面的夹角为 ，直线与平面法向量的夹角为 ，直线的方向向量是15.过点 P(一 1，0，4)且与平面 3x一 4y+z+10=0平行，又与直线
11、 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：过点 P(一 1，0，4)且平行于平面 3x一 4y+z+10=0的平面方程为 3x 一 4y+z一 1=0 过直线 的平面束方程为 2x 一 z+2+(2y 一 z一 6)=0， 把点 P(一 1，0，4)的坐标代入上式可得，=一 因此过点 P和直线 L的平面方程为 10x一 4y一 3z+22=0，则16.点 M 1 (1，2，3)到直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：点 M 0 (0，4，3)为 L上的点，以 l=1，一 3，一 2为方向向量， =1，一 2，0
12、，则点 M 1 到直线 L的距离为 17.两个平行平面 1 ：2xy 一 3z+2=0， 2 ：2xy 一 3z一 5=0之间的距离是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在平面上任取一点 P 0 (一 1，0，0)，则平行平面 1 到 2 的距离转化为点 P 0 到平面 2 的距离，利用点到平面的距离公式，则有 18.点 A(4，一 3，1)在平面 II：x+2yz 一 3=0的投影是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(5，一 1，0)）解析：解析：根据题意，由点 A向平面作垂线 L，其参数方程为：x=t+4，y=2t 一 3，
13、z=一 t+1，代入到平面的方程得 (t+4)+2(2t 一 3)一(一 t+1)一 3=0， 解得 t=1故 L与平面的交点是(5，一 1，0)，即投影点是(5，一 1，0)19.直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：假设平面 1 过 L且垂直于平面，设 L的方向向量为 s， 1 的法向量为 n 1 ，的法向量为 n，则 n 1 s，n 1 n，而 20.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：21.设一平面经过原点及点(6，一 3，2)，且与平面 4xy+2z=8垂直，则此平面方程为 1（分数：2.00）填
14、空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x+2y 一 3z=0）解析：解析：原点和点(6，一 3，2)连线的方向向量为 s=(6，一 3，2)；平面 4x一 y+2z=8的法向量为n=4，一 1，2 根据已知条件，所求平面的法向量为三、解答题(总题数：3，分数：6.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.设直线 l： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x，y，z)=x 2 +y 2 z，则有 F“ x =2x，F“ y =2y，F“ z =一 1，在点(1，一 2，5)处曲面的法向 量为 n=2，一 4，一 1，于是切平面的方程为 2(x 一 1)一 4(y+2)一(z 一 5)=0， 化简为 2x 一 4yz一 5=0 根据 l： )解析：24.求直线 l： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：过直线 l作一垂直于平面的平面 1 ，其法向量既垂直于 f的方向向量s=1，1，一 1，又垂直于平面的法向量 n=1，一 1，2，由向量积求得 又因为(1，0，1)是直线 l上的点，所以这个点也在平面 1 上，根据点法式得到 1 的方程为(x 一 1)一 3y一 2(z1)=0，即 x一 3y一 2z+1=0 因此 l 0 的方程为 )解析：
