1、考研数学一（向量代数和空间解析几何）模拟试卷 4及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 a，b，c 为非零向量，则与 a不垂直的向量是( )（分数：2.00）A.(ac)b(ab)c。B.bC.ab。D.a+(ab)a。3.设 a，b 为非零向量，且满足(a+3b)(7a 一 5b)，(a 一 4b)(7a 一 2b)，则 a与 b的夹角 =( )（分数：2.00）A.B.C.D.4.已知向量 a，b 的模分别为a=2，b= （分数：2.00）A.2
2、。B.。C.。D.1。5.已知 ab+bc+ca=0，则必有( )（分数：2.00）A.a，b，c 两两相互平行。B.a，b，c 两两相互垂直。C.a，b，c 中至少有一个为零向量。D.a，b，c 共面。6.设有直线 l 1 ： ，则直线 l 1 与 l 2 的夹角为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.已知两条直线 L 1 ： （分数：2.00）A.L 1 。B.L 1 。C.L 2 。D.L 1 L 2 。8.设有直线 L 1 ： （分数：2.00）A.相交于一点。B.平行但不重合。C.重合。D.异面。9.设有直线 L： （分数：2.00）A.平行于平面。B.在平面上。C.垂直于平
3、面。D.与平面斜交。10.设 a，b 为非零向量，满足ab=a+b，则必有( )（分数：2.00）A.ab=a+b。B.a=b。C.ab=0。D.ab=0。11.直线 L 1 ： （分数：2.00）A.L 1 L 2 。B.L 1 L 2 。C.L 1 与 L 2 相交但不垂直。D.L 1 与 L 2 为异面直线。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12. 过点 P(一 1，0，4)且与平面 3x一 4y+z+10=0平行，又与直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_13.两个平行平面 1 ：2xy 一 3z+2=0与 2 ：2xy 一 3z一 5=0之间的距离是 1。（分数：2.0
4、0）填空项 1:_14.设直线 l过点 M(1，一 2，0)且与两条直线 l 1 ： （分数：2.00）填空项 1:_15.曲面 x 2 +2y 2 +3z 2 =21在点(1，一 2，2)处的法线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.空间曲线 （分数：2.00）填空项 1:_17.过点(2，0，一 3)且与直线 （分数：2.00）填空项 1:_18.曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 与平面 x+2y+z=4平行的切线方程是 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.设 z=z(x，y)由 ze z 2xy=3确定，则曲面 z=z(x，y)在点 P 0 (1，2，0)处的
5、切平面方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.求过两点 A(0，1，0)，B(一 1，2，1)且与直线 x=一 2+t，y=14t，x=2+3t 平行的平面方程。（分数：2.00）_22.求通过坐标原点且垂直于直线 l： （分数：2.00）_23.求过点(1，2，1)与直线 l 1 ： =y=一 z相交且垂直于直线 l 2 ： （分数：2.00）_24.求直线 （分数：2.00）_25.求点 P(1，2，一 1)到直线 l： （分数：2.00）_26.证明 L 1 ：
6、（分数：2.00）_27.求以曲线 （分数：2.00）_28.求直线 L： （分数：2.00）_29.求曲线 C： （分数：2.00）_30.试确定过 M 1 (2，3，0)，M 2 (一 2，一 3，4)及 M 3 (0，6，0)三点的平面方程。（分数：2.00）_31.求过点 A(一 1，2，3)垂直于 L： （分数：2.00）_32.求直线 L 1 ： （分数：2.00）_33.求直线 L： （分数：2.00）_34.判断直线 L 1 ： （分数：2.00）_35.求两曲面 x 2 +y 2 =z与一 2(x 2 +y 2 )+z 2 =3的交线在 xOy平面上的投影曲线方程。（分数：2
7、.00）_36.圆柱面的轴线是 L： （分数：2.00）_考研数学一（向量代数和空间解析几何）模拟试卷 4答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 a，b，c 为非零向量，则与 a不垂直的向量是( )（分数：2.00）A.(ac)b(ab)c。B.bC.ab。D.a+(ab)a。 解析：解析：两向量垂直的充要条件为两向量的数量积为零，结合向量的运算法则 对于(A)，a(ac)b一(ab)c=0； 对于(B)，ab 一 3.设 a，b 为非零向量，且
8、满足(a+3b)(7a 一 5b)，(a 一 4b)(7a 一 2b)，则 a与 b的夹角 =( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：根据两向量垂直的充要条件可得4.已知向量 a，b 的模分别为a=2，b= （分数：2.00）A.2。 B.。C.。D.1。解析：解析：由已知条件，ab=abcos 。 故 ab=absin5.已知 ab+bc+ca=0，则必有( )（分数：2.00）A.a，b，c 两两相互平行。B.a，b，c 两两相互垂直。C.a，b，c 中至少有一个为零向量。D.a，b，c 共面。 解析：解析：由 ab+bc+ca=0，知(ab)c+(bc)c+(ca)c=0，
9、而(bc)c+(ca)c=0，则(ab)c=0，根据三向量共面的充要条件可知 a，b，c 共面，应选 D。6.设有直线 l 1 ： ，则直线 l 1 与 l 2 的夹角为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由直线方程可知 l 1 的方向向量 s 1 =(1，2，1)，将直线 l 2 化为标准式方程 ，可知 l 2 的方向向量 s 2 =(1，1，2)。因此 因此 = 7.已知两条直线 L 1 ： （分数：2.00）A.L 1 。 B.L 1 。C.L 2 。D.L 1 L 2 。解析：解析：L 1 的方向向量 s 1 =(一 1，2，一 3)。L 2 的方向向量 s 2 =
10、(3，I，2)。的法向量n=(2，7，4)，由于 s 1 n=一 12+2734=0，且 L 1 上的点(I，一 1，3)不满足平面的方程，故 L 1 ，应选 A。8.设有直线 L 1 ： （分数：2.00）A.相交于一点。B.平行但不重合。C.重合。D.异面。 解析：解析：直线 L 1 和 L 2 的方向向量分别为 s 1 = =(1，1，2)，s 2 =(2，3，4)， 显然 s 1 与 s 2 不平行，排除(B)，(C)。 将直线 L 2 方程写成参数式 9.设有直线 L： （分数：2.00）A.平行于平面。B.在平面上。C.垂直于平面。 D.与平面斜交。解析：解析：直线 L的方向向量
11、s=10.设 a，b 为非零向量，满足ab=a+b，则必有( )（分数：2.00）A.ab=a+b。B.a=b。C.ab=0。D.ab=0。 解析：解析：a 一 b=a+b(a 一 b)(a 一 b)=(a+b)(a+b)，所以一 2ab=2ab，即 ab=0。故应选 D。11.直线 L 1 ： （分数：2.00）A.L 1 L 2 。B.L 1 L 2 。C.L 1 与 L 2 相交但不垂直。 D.L 1 与 L 2 为异面直线。解析：解析：直线 L 1 的方向向量 s 1 =(2，3，4)，直线 L 2 的方向向量 s 2 =(1，1，2)。因为 s 1 与s 2 的坐标不成比例，所以 L
12、 1 与 L 2 不平行，又因为 s 1 s 2 =21+31+42=130， 所以 L 1 与 L 2 不垂直，在 L 1 上取一点 M 1 (0，一 3，0)，在 L 2 上取一点 M 2 (1，一 2，2)，作向量*(1，1，2)。混合积(s 1 s 2 )*=0， 所以 L 1 与 L 2 共面，故 L 1 与 L 2 相交但不垂直。应选C。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12. 过点 P(一 1，0，4)且与平面 3x一 4y+z+10=0平行，又与直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：过 P(一 1，0，4)且与平面 3x一
13、4y+z+10=0平行的平面方程是 3(x+1)一 4(y0)+(z一 4)=0， 即 3x 一 4y+z一 1=0。 通过联立方程可知，此平面与直线 的交点为(15，19，32)，即所求的直线过点 P(一 1，0，4)和(15，19，32)，则所求直线的方向向量为(16，19，28)，故直线的方程为13.两个平行平面 1 ：2xy 一 3z+2=0与 2 ：2xy 一 3z一 5=0之间的距离是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在平面 1 上任取一点 P 0 (一 1，0，0)，P 0 到 2 的距离即为 1 与 2 之间的距离，代入点到平面的距离
14、公式得 14.设直线 l过点 M(1，一 2，0)且与两条直线 l 1 ： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：直线 l 1 的方向向量为 s 1 =(2，0，1)(1，一 1，3)=(1，一 5，一 2)， 直线 l 2 的方向向量为 s 2 =(1，一 4，0)，由题意，则直线 l的方向向量为 s=s 1 s 2 =(一 8，一 2，1)。 因此，直线 l的参数方程为 15.曲面 x 2 +2y 2 +3z 2 =21在点(1，一 2，2)处的法线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 F(x，y，z)=x
15、 2 +2y 2 +3z 2 一 21，则 F x =2x，F y =4y，F z =6z。于是法向量 n=(2x，4y，6z) (1，2，2) =(2，一 8，12)， 则法线方程 16.空间曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将 y=z代入到方程 x 2 +y 2 +z 2 =9中，得 x 2 +2y 2 =9，即 =1。 令 x=3cos，y= 的参数方程为 17.过点(2，0，一 3)且与直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 16x+14y+11z+65=0）解析：解析：过已知直线的两个平面的法向量：n 1 =(1，
16、一 2，4)，n 2 =(3，5，一 2)，因此所求平面的法向量 n=n 1 n 2 =(一 16，14，11)，则由已知可得所求平面方程为 一 16(x一 2)+14(y0)+11(z+3)=0， 即一 16x+14y+1z+65=0。18.曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 与平面 x+2y+z=4平行的切线方程是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：曲线的切向量 s=(1，一 2t，3t 2 )，平面的法向量 n=(1，2，1)。由题意 sn=0，即 14t+3t 2 =0，得 t 1 =1，t 2 = 。 当 t 1 =1时，过点(1，一
17、 1，1)，切向量为(1，一 2，3)；当 t 2 = (3，一 2，1)。故所求的切线方程为 19.设 z=z(x，y)由 ze z 2xy=3确定，则曲面 z=z(x，y)在点 P 0 (1，2，0)处的切平面方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x+y 一 4=0）解析：解析：将 P 0 (1，2，0)的坐标代入曲面方程，满足曲面方程，即点 P 0 在曲面 z=z(x，y)上。 记 F(x，y，z)=ze z +2xy一 3，则 F x =2y，F y =2x，F z =1一 e z ，且有 F x (P 0 )=4，F y (P 0 )=2，F z (P
18、 0 )=0。 于是可得曲面的切平面方程 4(x一 1)+2(y一 2)+0(z一 0)=0， 化简得 2x+y一 4=0。三、解答题(总题数：17，分数：34.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.求过两点 A(0，1，0)，B(一 1，2，1)且与直线 x=一 2+t，y=14t，x=2+3t 平行的平面方程。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设所求平面的法向量为 n=(a，b，c)，而已知直线的方向向量为 s=(1，一 4，3)，A，B 两点连线 ：(一 1，1，1)，所以有 )解析：22.求通过坐标原点且垂直于直线 l： （分
19、数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线 l的方向向量 S=(1，一 1，1)(4，一 3，1) = )解析：23.求过点(1，2，1)与直线 l 1 ： =y=一 z相交且垂直于直线 l 2 ： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然，点(1，2，1)不在直线 l 1 上。设过点(1，2，1)和直线 l 1 的平面 1 的法向量为 n，取 l 1 上的点(0，0，0)，则过点(1，2，1)与(0，0，0)的直线 l 1 的方向向量 s 1 =(1，2，1)，于是 n= =一 3i+3j一 3k， 则平面 1 方程为一 3(x一 1)+3(y一 2)一 3(z一 1)=0，即 x一
20、y+z=0。 过点(1，2，1)且垂直于直线 l 2 ： 的平面方程为 2 ：3(x 一 1)+2(y一 2)+(z1)=0，即 3x+2y+z一 8=0。 故所求直线方程为 )解析：24.求直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线的方向向量 s=(1，2，1)，平面的法向量 n=(2，1，一 1)，直线与平面的夹角 满足 所以直线与平面的夹角为 )解析：25.求点 P(1，2，一 1)到直线 l： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 43所示，直线过点 M 0 (1，一 1，2)，则有向量 s=(2，一 1，3)， =(0，一 3，3)。 由点到直线的距离公式可知 )
21、解析：26.证明 L 1 ： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：L 1 的方向向量 s 1 =(1，2，3)且经过点 P 1 (0，0，0)，L 2 的方向向量 s 2 =(1，1，I)且经过点 P 2 (1，一 1，2)。由于 所以 L 1 ，L 2 是异面直线。 公垂线 L的方向向量s与 s 1 ，s 2 都垂直，则 s=s 1 s 2 = =(一 1，2，一 1)， 那么，经过 L 1 并且与 s平行的平面 1 的方程为 =0，整理得 4x+y一 2z=0。 经过 L 2 并且与 s平行的平面 2 的方程为 =0，整理得 x一 z+1=0。而平面 1 与 2 的交线即为 L 1
22、与 L 2 的公垂线 L，即 )解析：27.求以曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：过曲线 上一点(x 0 ，y 0 ，z 0 )且平行于直线 x=y=z的直线方程为 x 一x 0 =yy 0 =zz 0 ， 消去方程组 )解析：28.求直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将直线 L的方程改写为一般式方程 ，则过 L的平面束方程为 x 一 y一1+(y+z 一 1)=0， 即 x+( 一 1)y+z 一(1+)=0。 当它与平面垂直时 (1，1，)(1，一1，2)=0， 即 1一( 一 1)+2=0，解得 =一 2，代回到平面束方程，得过直线 L且与平面垂直的平面
23、方程为 x 一 3y一 2z+1=0， 因此 L 0 的方程为 将 L 0 的方程化为 于是 L 0 绕 y轴旋转一周所成曲面的方程为 x 2 +z 2 =4y 2 + )解析：29.求曲线 C： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：从曲线方程中消去 z，得 x 2 +y 2 =1一 z 2 =1一(一 x一 y) 2 ，即 x 2 +y 2 +xy= ，于是曲线 C在 xOy平面上的投影曲线的方程为 )解析：30.试确定过 M 1 (2，3，0)，M 2 (一 2，一 3，4)及 M 3 (0，6，0)三点的平面方程。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 =(一 2，3，0)
24、，则平面的法向量 )解析：31.求过点 A(一 1，2，3)垂直于 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线 L的方向向量为 s=(4，5，6)，平面的法向量为 n=(7，8，9)。 因为所求直线与直线 L垂直且与平面平行，所以所求直线的方向向量与 s=(4，5，6)及 n=(7，8，9)都垂直，所求直线的方向向量为 sn=(一 3，6，一 3)，于是所求直线为 )解析：32.求直线 L 1 ： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线 L 1 的方向向量为 s 1 =(1，2，1)(1，一 2，1)= =4i一4k=4(1，0，一 1)。 直线 L 2 的方向向量为 s 2
25、 =(1，一 1，一 1)(1，一 1，2)= =一 3i一3j=3(一 1，一 1，0)。 设直线 L 1 与 L 2 的夹角(即 s 1 与 s 2 的夹角)为 ，则 )解析：33.求直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设(x，y，z)为旋转曲面上任一点，它对应曲线 L上的点为(x 0 ，y 0 ，z 0 )，由于绕 z轴旋转，故 z=z 0 ，则 x 2 +y 2 =x 0 2 +y 0 2 ， 又(x 0 ，y 0 ，z 0 )满足 ，代入上式得 x 2 +y 2 =1+ ， 即所求旋转曲面的方程为 x 2 +y 2 一 )解析：34.判断直线 L 1 ： （分数：2
26、.00）_正确答案：(正确答案：直线 L 1 的方向向量 s 1 =(1，2，)，直线 L 2 的方向向量为 s 2 =(1，1，1)，可知 L 1 与 L 2 不平行。 点 A(1，一 1，1)为直线 L 1 上的点，点 B(一 1，1，0)为直线 L 2 上的点， =(一 2，2，一 1)。 直线 L 1 和 L 2 共面的充要条件是向量 s 1 ，s 2 ， 混合积为零，即 当= 时，直线 L 1 与 L 2 相交， 时，直线 L 1 与 L 2 异面。 (1)当 = =t，则 x=1+t，y=一 1+2t，z=1+ ，代入 x+1=y一 1=z得 t=4。则 L 1 与 L 2 的交点
27、为(5，7，6)。 (2)当 时，根据两异面直线间的距离公式可得 )解析：35.求两曲面 x 2 +y 2 =z与一 2(x 2 +y 2 )+z 2 =3的交线在 xOy平面上的投影曲线方程。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在方程组 中消去 z，得(x 2 +y 2 ) 2 一 2(x 2 +y 2 )一 3=0，等价变形为 (x 2 +y 2 3)(x 2 +y 2 +1)=0，即有 x 2 +y 2 =3，故所求投影曲线方程为 )解析：36.圆柱面的轴线是 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：点 P 0 到轴线 L的距离 d即为圆柱面的底面半径，在 L上取一点 P 1 (0，1，一 2)，L的方向向量 s=(1，2，一 2)，则根据点到直线的距离公式有 设 P(x，y，z)是柱面 E异于 P 0 的任一点，则 P到轴线 L的距离仍为 d，即 ， 而 s )解析：
