【考研类试卷】考研数学一(常微分方程)-试卷8及答案解析.doc

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1、考研数学一(常微分方程)-试卷 8 及答案解析(总分:52.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.已知,y 1 =x,y 2 =x 2 ,y 3 =e x 为方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的三个特解,则该方程的通解为( )(分数:2.00)A.y=C 1 x+C 2 x+e x B.y=C 1 x+C 2 e x +xC.y=C 1 (x 一 x)+C 2 (x 一 e x )+xD.y=C 1 (x 一 x)+C 2 (x 一 e x )3.在下列方程中,以

2、y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ,C 2 ,C 3 为任意常数)为通解的是( )(分数:2.00)A.y“+y“一 4y“一 4y=0B.y“+y“+4y“+4y=0C.y“一 y“一 4y“+4y=0D.y“一 y“+4y“一 4y=04.若 y=xe x +x 是微分方程 y“一 2y“+ay=bx+c 的解,则( )(分数:2.00)A.a=1,6=1,c=1B.a=1,b=1,c=一 2C.a=一 3,b=一 3,c=0D.a=一 3,b=1,c=15.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py“+qy=e 满足初始条件 y(0)=y“(0)

3、=0 的特解,则当 x0 时,函数 (分数:2.00)A.不存在B.等于 1C.等于 2D.等于 36.方程 y“+2y“=x 2 +xe 2x 的特解形式为( )(分数:2.00)A.y=ax 2 +bx+c+x(dx+e)e 2x B.y=x 2 (ax 2 +bx+c)+x 2 e 2x C.y=(ax 2 +bx+c)+(dx+e)e 2x D.y=x 2 (ax 2 +bx+c)+x(dx+e)e 2x 7.方程 y“一 3y“+2y=e x +1+e x cos2x 的特解形式为( )(分数:2.00)A.y=axe x +b+Ae x cos2xB.y=ae x +b+e x (

4、Acos2x+Bsin2x)C.y=axe x +b+xe x (Acos2x+Bsin2x)D.y=axe x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)8.设曲线 y=y(x)满足 xdy+(x 一 2y)dx=0,且 y=y(x)与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转的旋转体体积最小,则 y(x)=( ) (分数:2.00)A.B.C.D.9.设 f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,du(x,y)=f(x)ydx+sinxf(x)dy,则 f(x)等于( )(分数:2.00)A.cosx+sinx 一 1B.C.eosxsinx+xe x D.cosxsinx+xe

5、 x 二、填空题(总题数:10,分数:20.00)10.方程(y+ (分数:2.00)填空项 1:_11.微分方程 yy“+y“ 2 =0 满足初始条件 y(0)=1,y“(0)= (分数:2.00)填空项 1:_12.微分方程 xy“+2y=sinx 满足条件 y x= = (分数:2.00)填空项 1:_13.微分方程 y“一 4y=e 2x 的通解为 y= 1。(分数:2.00)填空项 1:_14.微分方程 y“+y=e x cosx 满足条件 y(0)=0 的解为 1(分数:2.00)填空项 1:_15.微分方程 y“+2y“+5y=0 的通解为 1。(分数:2.00)填空项 1:_1

6、6.若函数 f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)一 2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2e x ,则 f(x)= 1。(分数:2.00)填空项 1:_17.微分方程 xy“+2y=xlnx 满足 y(1)=一 (分数:2.00)填空项 1:_18.若二阶常系数线性齐次微分方程 y“+ay“+by=0 的通解为 y=(C 1 ,+C x x)e x ,则非齐次方程y“+ay“+by=x 满足条件 y(0)=2,y“(0)=0 的解是 y= 1(分数:2.00)填空项 1:_19.微分方程 xy“+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y= 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答

7、题(总题数:7,分数:14.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_21.求微分方程 y“一 3y“+2y=2xe x 的通解(分数:2.00)_22.求微分方程 y“一 a(y“) 2 =0(a0)满足初始条件 y x=0 =0,y“ x=0 =一 1 的特解(分数:2.00)_23.求微分方程(1+x)y“= (分数:2.00)_24.求锯二阶微分方程 (分数:2.00)_25.设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ 0 t f(s)sinsds,求 f(t)(分数:2.00)_26.利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx 一 2y

8、“sinx+3ycosx=e x 化简,并求出原方程的通解(分数:2.00)_考研数学一(常微分方程)-试卷 8 答案解析(总分:52.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.已知,y 1 =x,y 2 =x 2 ,y 3 =e x 为方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的三个特解,则该方程的通解为( )(分数:2.00)A.y=C 1 x+C 2 x+e x B.y=C 1 x+C 2 e x +xC.y=C 1 (x 一 x)+C 2 (x 一 e x )+x

9、 D.y=C 1 (x 一 x)+C 2 (x 一 e x )解析:解析:方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程,则(x 一 x 2 )和(xe x )为其对应齐次方程的两个线性无关的特解,则原方程通解为 y=C 1 (x 一 x 2 )+C 2 (x 一 e x )+x,故选 C3.在下列方程中,以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ,C 2 ,C 3 为任意常数)为通解的是( )(分数:2.00)A.y“+y“一 4y“一 4y=0B.y“+y“+4y“+4y=0C.y“一 y“一 4y“+4y=0D.y“一 y“+4y“

10、一 4y=0 解析:解析:由通解 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x 的形式可知,所求方程的特征方程为(r 一 1).(r 2 +4)=0,即 r 3 一 r 2 +4r 一 4=0,则对应的方程为 y“一 y“+4y“一 4y=0,故选 D4.若 y=xe x +x 是微分方程 y“一 2y“+ay=bx+c 的解,则( )(分数:2.00)A.a=1,6=1,c=1B.a=1,b=1,c=一 2 C.a=一 3,b=一 3,c=0D.a=一 3,b=1,c=1解析:解析:由于 y=xe x +x 是方程 y“一 2y“+ay=bx+c 的解,则 xe x 是对应的

11、齐次方程的解,其特征方程有二重根 r 1 =r 2 =1,则 a=1;x 为非齐次方程的解,将 y=x 代入方程 y“一 2y“+y=bx+c,得 b=1,c=一 2,故选 B5.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+py“+qy=e 满足初始条件 y(0)=y“(0)=0 的特解,则当 x0 时,函数 (分数:2.00)A.不存在B.等于 1C.等于 2 D.等于 3解析:解析: 在方程 y“+py“+qy=e 3x 中,令 x=0 得 y“(0)+py“(0)+qy(0)=1, 由已知条件得 y“(0)=1 因此, 6.方程 y“+2y“=x 2 +xe 2x 的特解形式为( )(分

12、数:2.00)A.y=ax 2 +bx+c+x(dx+e)e 2x B.y=x 2 (ax 2 +bx+c)+x 2 e 2x C.y=(ax 2 +bx+c)+(dx+e)e 2x D.y=x 2 (ax 2 +bx+c)+x(dx+e)e 2x 解析:解析:齐次方程 y“+2y“=0 的特征方程为 r 3 +2r 2 =0 其特征根为 r 1 =r 2 =0,r 3 =一 2,则方程 y“+2y“=x 2 +xe 2x 的特解形式为 y=x 2 (ax 2 +bx+c)+x(dx+e)e 2x 故选 D7.方程 y“一 3y“+2y=e x +1+e x cos2x 的特解形式为( )(分

13、数:2.00)A.y=axe x +b+Ae x cos2xB.y=ae x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)C.y=axe x +b+xe x (Acos2x+Bsin2x) D.y=axe x +b+e x (Acos2x+Bsin2x)解析:解析:齐次方程 y“一 3y“+2y=0 的特征方程为 r 2 一 3r+2=0 特征根为 r 1 =1,r 2 =2,则方程y“一 3y“+2y=e x +1+e x cos2x 的待定特解为 y=axe x +b+e x x(Acos2x+Bsin2x), 故选 C8.设曲线 y=y(x)满足 xdy+(x 一 2y)dx=0,且 y

14、=y(x)与直线 x=1 及 x 轴所围的平面图形绕 x 轴旋转的旋转体体积最小,则 y(x)=( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:9.设 f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,du(x,y)=f(x)ydx+sinxf(x)dy,则 f(x)等于( )(分数:2.00)A.cosx+sinx 一 1B. C.eosxsinx+xe x D.cosxsinx+xe x 解析:解析:由 du(x,y)=f(x)ydx+sinx 一 f(x)dy 知二、填空题(总题数:10,分数:20.00)10.方程(y+ (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y= )解

15、析:解析:由题干方程可知11.微分方程 yy“+y“ 2 =0 满足初始条件 y(0)=1,y“(0)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=*)解析:解析:令 y“=P(y)(以 y 为自变量),则12.微分方程 xy“+2y=sinx 满足条件 y x= = (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=*(sinx 一 xcosx))解析:解析:由题干中方程可知13.微分方程 y“一 4y=e 2x 的通解为 y= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=C 1 e 2x +(C 2 + )解析:解析:对应齐次微分方程的特征方

16、程为 r 2 一 4=0,解得 r 1 =2,r 2 =一 2 故 y“一 4y=0 的通解为 y 1 =C 1 e 2x +C 2 e 2x ,其中 C 1 ,C 2 为任意常数 由于非齐次项为 f(x)=e 2x ,=2 为特征方程的单根,因此原方程的特解可设为 y * =Axe 2x , 代入原方程可求出 A= 故所求通解为 y=y 1 +y * =C 1 e 2x +C 2 e 2x + 14.微分方程 y“+y=e x cosx 满足条件 y(0)=0 的解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=e x sinx)解析:解析:原方程的通解为 y=e 1dx

17、(e x cosx.e 1dx dx+C) =e x (cosxdx+C)=e x (sinx+C) 由 y(0)=0 得 C=0,故所求解为 y=e x sinx15.微分方程 y“+2y“+5y=0 的通解为 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=e x (C 1 cos2x+C 2 sin2x))解析:解析:由题干可知,方程 y“+2y“+5y=0 的特征方程为 r 2 +2r+5=0解得 r 1,2 = 16.若函数 f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)一 2f(x)=0 及 f“(x)+f(x)=2e x ,则 f(x)= 1。(分数:2.00)填空项

18、1:_ (正确答案:正确答案:e x)解析:解析:齐次微分方程 f“(x)+f“(x)一 2f(x)=0 的特征方程为 r 2 +r 一 2=0,特征根为 r 1 =1,r 2 =一 2,该齐次微分方程的通解为 f(x)=C 1 e x +C 2 e 2x 再由 f“(x)+f(x)=2e x , 解得 2C 1 e x +5C 2 e 2x =2e x , 比较系数可得 C 1 =1,C 2 =0故 f(x)=e x 17.微分方程 xy“+2y=xlnx 满足 y(1)=一 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=*)解析:解析:原方程等价为18.若二阶常系数线性齐次微

19、分方程 y“+ay“+by=0 的通解为 y=(C 1 ,+C x x)e x ,则非齐次方程y“+ay“+by=x 满足条件 y(0)=2,y“(0)=0 的解是 y= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=x(1 一 e x )+2)解析:解析:由已知 y=(C 1 +C 2 x)e x 是齐次方程的通解可知,r=1 是齐次方程特征方程二重根,则特征方程为(r 一 1) 2 =0,即 r 2 一 2r+1=0则 a=一 2,b=1 设非齐次方程的一个特解为 y=Cx+d,将之代入原方程得 y * =x+2,非齐次方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x +x

20、+2 由 y(0)=2,y“(0)=0 得 19.微分方程 xy“+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=*)解析:解析:由 ,两边积分,得 lny=一 lnx+C代入条件 y(1)=1,得 C=0所以 y=三、解答题(总题数:7,分数:14.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:21.求微分方程 y“一 3y“+2y=2xe x 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:齐次方程 y“一 3y“+2y=0 的特征方程为 r 2 一 3r+2=0,由此得 r 1 =2,r

21、2 =1 即对应齐次方程的通解为 Y=C 1 e 2x +C 2 e x 设非齐次方程的特解为 y * =(ax+b)xe x 则 (y * )“=ax x +(2a+b)x+be x ,(y * )“=ax+(4a+b)x+2a+2be x 代入原方程得 a=一 1,b=一 2,因此所求解为 y=C 1 e 2x +C 2 e x 一 x(x+2)e x (C 1 ,C 2 为任意常数)解析:22.求微分方程 y“一 a(y“) 2 =0(a0)满足初始条件 y x=0 =0,y“ x=0 =一 1 的特解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:23.求微分方程(1+x)y“=

22、(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 p=y“,则 y“=p“,故有 由 y“(0)=0 得 C 1 =1 或 C 1 =一 1由题意知x+11,k0,故 p“=y“0,所以 y“单调增加,又 y“(0)=0,则 x0 时,y“0,因此 C 1 =1,于是 )解析:24.求锯二阶微分方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 u= =uu“,原方程化为 ucosy.u“+u 2 siny=u当 u=0,y=c(常数)不符合初始条件,舍去 )解析:25.设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ 0 t f(s)sinsds,求 f(t)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因 f(t)连续,因此 0 t f(s)sinsds 可导,从而 f(t)可导,于是 )解析:26.利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx 一 2y“sinx+3ycosx=e x 化简,并求出原方程的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 ycosx=u,则 y=usecx,从而 y“=u“secx+usecxtanx, y“=u“secx+2u“secxtanx+usecxtan 2 x+usec 3 x 代入原方程,则 u“+4u=e x 这是一个二阶常系数非齐次线性方程,其通解为 )解析:

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