1、考研数学一（微分中值定理及其应用）-试卷 1及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)在 x=0的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.是 f(x)的驻点，且为极大值点B.是 f(x)的驻点，且为极小值点C.是 f(x)的驻点，但不是极值点D.不是 f(x)的驻点3.设 f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个： ()f(x)在 x=0处三阶可导，且 =1； ()f(x)在 x=0邻域二阶可导，f(0)=0，且 （分数：2.00）A.f(
2、0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)是 f(x)的极大值二、解答题(总题数：28，分数：56.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_5.证明函数恒等式 arctanx= arctan （分数：2.00）_6.设函数 f(x)，g(x)在 x=x 0 有连续的二阶导数且 f(x 0 )=g(x 0 )，f(x 0 )=g(x 0 )，f(x 0 )=g(x 0 )0，说明这一事实的几何意义（分数：2.00）_7.设 f(x)在(a，b)内可
3、导，证明： （分数：2.00）_8.求函数 y=x+ （分数：2.00）_9.求曲线 y= （分数：2.00）_10.运用导数的知识作函数 y=x+ （分数：2.00）_11.在椭圆 （分数：2.00）_12.在半径为 a的半球外作一外切圆锥体，要使圆锥体体积最小，问高度及底半径应是多少?（分数：2.00）_13.设函数 f(x)在区间0，a上单调增加并有连续的导数，且 f(0)=0，f(a)=b，求证： f(x)dx+（分数：2.00）_14.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导且满足 f(0)=0，f(x)0，f(x)f(x)( （分数：2.00）_15.证明函数 f(x)=
4、（分数：2.00）_16.设 f(x)在0，a二次可导且 f(0)=0，f(x)0求证： （分数：2.00）_17.设 f(x)在(a，b)四次可导， x 0 (a，b)使得 f(x 0 )= （分数：2.00）_18.设 y=y(x)是由方程 2y 3 2y 2 +2xyx 2 =1确定的，求 y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?（分数：2.00）_19.求函数 y= （分数：2.00）_20.设 a0，求 f(x)= （分数：2.00）_21.求函数 f(x)= （分数：2.00）_22.在椭圆 （分数：2.00）_23.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)内 f(x)0 且
5、xf(x)=f(x)+ （分数：2.00）_24.设 f(x)在0，b可导，f(x)0( x(0，b)，t0，b，问 t取何值时，图 410 中阴影部分的面积最大?最小? （分数：2.00）_25.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且f(x)1，又 f(0)=f(1)，证明：对于 x 1 ，x 2 0，1，有 f(x 1 )f(x 2 ) （分数：2.00）_26.设 ae，0xy （分数：2.00）_27.证明：当 x1 时 0lnx+ （分数：2.00）_28.当 x0，证明 (tt 2 )sin 2n tdt （分数：2.00）_29.求证：当 x0 时不等式(1+x)ln
6、 2 (1+x)x 2 成立（分数：2.00）_30.求证：x(0，1)时 （分数：2.00）_31.设 f(x)在0，+)可导，且 f(0)=0若 f(x)f(x)， （分数：2.00）_考研数学一（微分中值定理及其应用）-试卷 1答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)在 x=0的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.是 f(x)的驻点，且为极大值点B.是 f(x)的驻点，且为极小值点C.是 f(x)的驻点，但不是极值点 D.不
7、是 f(x)的驻点解析：解析：本题应先从 x=0是否为驻点入手，即求 f(0)是否为 0；若是，再判断是否为极值点 由=1，可知 f(x)=0，从而 f(0)=0，f(0)= = =10=0 可知 x=0是 f(x)的驻点再由极限的局部保号性还知，在 x=0的某去心邻域内3.设 f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个： ()f(x)在 x=0处三阶可导，且 =1； ()f(x)在 x=0邻域二阶可导，f(0)=0，且 （分数：2.00）A.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D
8、.f(0)是 f(x)的极大值解析：解析：()由条件 =1及 f(x)在 x=0连续即知 f(x)=f(0)=0 用洛必达法则得型未定式极限 J= 因 f(x)=f(0)，若 f(0)0，则 J=，与 J=1矛盾，故必有f(0)=0再由 (0)的定义得 因此，(0，f(0)是拐点选(C) ()已知 f(0)=0，现考察f(0)由方程得 =3 f(x)=3+0=3， 由 f(x)在 x=0连续二、解答题(总题数：28，分数：56.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：5.证明函数恒等式 arctanx= arctan （分数：2.00）_正确答案：(正
9、确答案：令 f(x)=arctanx， g(x)= ，要证 f(x)=g(x)当 x(1，1)时成立，只需证明： 1f(x)，g(x)在(1，1)可导且当 x(1，1)时 f(x)=g(x)； 2 x 0 (1，1)使得 f(x 0 )=g(x 0 ) 由初等函数的性质知 f(x)与 g(x)都在(1，1)内可导，计算可得 )解析：6.设函数 f(x)，g(x)在 x=x 0 有连续的二阶导数且 f(x 0 )=g(x 0 )，f(x 0 )=g(x 0 )，f(x 0 )=g(x 0 )0，说明这一事实的几何意义（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=f(x)，y=g(x)在公共
10、点 M 0 (x 0 ，f(x 0 )即(x 0 ，g(x 0 )处相切，在点 M 0 的某邻域有相同的凹凸性因 f(x)，g(x)在 x 0 处连续，f(x 0 )=g(x 0 )0(或0) x 0 的某邻域(x 0 ，x 0 +)，当 x(x 0 ，x 0 +)时 f(x)0，g(x)0(或 f(x)0，g(x)0)又由曲率计算公式知，这两条曲线在点 N 0 处有相同的曲率 )解析：7.设 f(x)在(a，b)内可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：充分性：设(*)成立， x 1 ，x 2 (a，b)且 x 1 x 2 f(x 2 )f(x 1 )+f(x 1 )(x 2
11、 x 1 )，f(x 1 )f(x 2 )+f(x 2 )(x 1 x 2 ) 两式相加 f(x 1 )f(x 2 )(x 2 x 1 )0 f(x 1 )f(x 2 )，即 f(x)在(a，b)单调减少 必要性：设 f(x)在(a，b)单调减少对于 )解析：8.求函数 y=x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()定义域 x1，间断点 x=1，零点 x=0，且是奇函数 ()求 y，y和它们的零点 由 y=0 得驻点 x=0， ；由 y=0 得 x=0，由这些点及间断点 x=1把函数的定义域按自然顺序分成(， ，+)由此可列出函数如下分段变化表，并标明每个区间上函数的单调性、凹凸性及
12、相应的极值点与拐点 因此，单调增区间是(， ，+)，单调减区间是 ；极大值点是 x= ，对应的极大值是 ，极小值点是 x= ，对应的极小值是 )解析：9.求曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：只有间断点 x=0，因 +ln(1+e x )=，故有垂直渐近线 x=0又 因此，x+时有斜渐近线 y=x 最后， )解析：10.运用导数的知识作函数 y=x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求渐近线只有两个间断点 x=1 =，则 x=1为垂直渐近线又=，则 x=1 也是垂直渐近线又 所以 y=x是斜渐近线，无水平渐近线 综上所述，作函数图形如图 47 所示 )解析：11.在
13、椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设椭圆内接矩形在第一象限中的顶点为 M(x，y)，则矩形的面积为 S(x)=4xy=(0xa) 下面求 S(x)在0，a上的最大值先求 S(x)： 令 S(x)=0 解得 x= ，因 S(0)=S(a)=0，S( )解析：12.在半径为 a的半球外作一外切圆锥体，要使圆锥体体积最小，问高度及底半径应是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设外切圆锥体的底半径为 r，高为 h见图 48， 记ABO=，则 tam=，于是圆锥体体积为 V= (ar+) 求 V(r)的最小值点等价于求 f(r)= 的最小值点由于 因此，当 r= )解析：13.
14、设函数 f(x)在区间0，a上单调增加并有连续的导数，且 f(0)=0，f(a)=b，求证： f(x)dx+（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(a)= )解析：解析：即证对 a有函数恒等式 f(x)dx+14.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导且满足 f(0)=0，f(x)0，f(x)f(x)( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)f(x)0， 得 e x f(x)f(x)=e x f(x)0 又 f(x)e x x=0 =0， 则 f(x)e x f(x)e x x=0 =0进而 f(x)0(x0，+)， 因此 f(x)0( )解析：解析：因 f
15、(x)0，若能证 f(x)0，则 f(x)0因 f(0)=0，若能证 f(x)单调不增或对某正函数R(x)，R(x)f(x)是单调不增的，这只需证 f(x)0 或R(x)f(x)0由所给条件及积分因子法的启发，应采取后一种方法15.证明函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=(1+ ，则 下证 2 x ln2 x (1+2 x )ln(1+2 x )0( x0)令 t=2 x ，则 x0 时 t1， 2 x ln2 x (1+2 x )ln(1+2 x )=tlnt(1+t)ln(1+t) g(t) 由于 g(t)=lntln(1+t)0( t0) g(t)在(0
16、，+)单调下降，又 g(t)=0 )解析：16.设 f(x)在0，a二次可导且 f(0)=0，f(x)0求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 F(x)求导得 F(x)=xf(x)0 ( x(0，a) 又 F(0)=0，则 F(x)0( )解析：解析：要证 在(0，a单调下降，只需证明导数 0为此令 F(x)=xf(x)f(x)，则只需证 F(x)0(17.设 f(x)在(a，b)四次可导， x 0 (a，b)使得 f(x 0 )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f (4) (x)0(x(a，b)，知 (x)在(a，b)单调上升又因 (x 0 )=0， 故 )解析
17、：18.设 y=y(x)是由方程 2y 3 2y 2 +2xyx 2 =1确定的，求 y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先用隐函数求导法求出 y(x)将方程两边对 x求导得 6y 2 y4yy+2xy+2y2x=0， 整理得 y= ()由 y(x)=0 及原方程确定驻点由 y(x)=0得 y=x代入原方程得 2x 3 2x 2 +2xxx 2 =1 即 x 3 x 2 +x 3 1=0，(x1)(2x 2 +x+1) =0 仅有根 x=1当 y=x=1时，3y 2 2y+x0因此求得驻点 x=1 ()判定驻点是否是极值点将式化为(3y
18、2 2y+x)y=xy 将式两边对 x在 x=1求导，注意 y(1)=0，y(1)=1，得 2y(1)=1，y(1)= )解析：19.求函数 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 y= 在定义域(0，+)上处处连续，先求 y，y和它们的零点及不存在的点 由 y=0 得 x=1；x= 时 y不存在；x= 时 y不存在；无 y=0 的点 现列下表： 因此得 y= 单调减少区间是(0，1)，单调增加区间是(1，+)，x=1 是极小值点，凹区间是(0， )，凸区间是 是拐点 最后求渐近线因 y= 在(0，+)连续，且 y=0，所以无垂直渐近线由于 )解析：20.设 a0，求 f(x)=
19、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)在(，+)上连续且可写成如下分段函数 由此得 x(，0)时f(x)0，故 f(x)在(，0单调增加；x(0，+)时 f(x)0，故 f(x)在a，+)单调减少从而 f(x)在0，a上的最大值就是 f(x)在(，+)上的最大值 在(0，a)上解 f(x)=0，即(1+ax) 2 (1+x) 2 =0，得 x= 又 =f(0)=f(a)， 因此 f(x)在0，a即在(，+)的最大值是 由于 f(x)在(，0)单调增加，在(a，+)单调减少，又 f(x)在0，a的最小值 )解析：21.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由
20、于 f(x)是偶函数，我们只需考察 x0，+)由变限积分求导公式得 f(x)=2x(2x 2 )e x2 解 f(x)=0 得 x=0与 x= ，于是 从而，f(x)的最大值是 f( )= e t dt =2+e t =1+e 2 由上述单调性分析，为求最小值，只需比较 f(0)与 f(x)的大小由于 )解析：解析： f(x)的定义域是(，+)，由于它是偶函数，故只需考虑 x0，+)求 f(x)和驻点并考察驻点两侧的单调性由于需要考察 f(0)是否为最值，还需讨论极限值22.在椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：过椭圆上任意点(x 0 ，y 0 )的切线的斜率 y(x 0 )满足
21、切线方程为yy 0 = (xx 0 ) 分别令 y=0与 x=0，得 x，y 轴上的截距： 于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图 49)为 S(x 0 )= ab 问题是求：S(x)= ab(0xa)的最小值点，其中 y= ，将其代入 S(x)中，问题可进一步化为求函数 f(x)=x 2 (a 2 x 2 )在闭区间0，a上的最大值点 由 f(x)=2x(a 2 2x 2 )=0(x(0，a)得 a 2 2x 2 =0，x=x 0 = a注意 f(0)=f(a)=0，f(x 0 )0，故 x 0 = 是 f(x)在0，a的最大值点因此 P( )解析：23.设 f(x)在0，1连续，在(
22、0，1)内 f(x)0 且 xf(x)=f(x)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()首先由 xf(x)=f(x)+ ax 2 ，f(x)0(x(0，1)求出 f(x)这是求解一阶线性方程 f(x) ax两边乘积分因子 = (取其中一个)，得 a，于是 f(x)= ax 2 +Cx，x0，1，其中 C为任意常数使得 f(x)0(x(0，1) ()确定 C与 a的关系使得由 y=f(x)与 x=1，y=0 围成平面图形的面积为 2 由已知条件得 2= 则 C=4a因此，f(x)= ax 2 +(4a)x， 其中 a为任意常数使得 f(x)0(x(0，1) a,有 f(0)=0，f(1
23、)= 又 f(x)=3ax+4a，由此易知8a4 时 f(x)0(x(0，1) ()求旋转体的体积 ()求 V(a)的最小值点由于 )解析：24.设 f(x)在0，b可导，f(x)0( x(0，b)，t0，b，问 t取何值时，图 410 中阴影部分的面积最大?最小? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 S(t)= f(t)f(x)dx+ f(x)f(t)dx =tf(t) f(x)dx+(tb)f(t) 在0，b可导，且 S(t)=tf(t)+f(t)f(t)f(t)+f(t)+(tb)f(t) 则 S(t)在0， ，时，S(t)取最小值 S(t)在0，b连续，也一定有最大值，且只
24、能在 t=0或 t=b处取得 )解析：解析：先写出面积函数 S(t)，它由两块面积相加，然后求 S(t)的最大、最小值点25.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且f(x)1，又 f(0)=f(1)，证明：对于 x 1 ，x 2 0，1，有 f(x 1 )f(x 2 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：联系 f(x 1 )f(x 2 )与 f(x)的是拉格朗日中值定理不妨设 0x 1 x 2 1分两种情形： 1)若 x 2 x 1 ，直接用拉格朗日中值定理得 f(x 1 )f(x 2 )=f()(x 2 x 1 )=f()x 2 x 1 2)若 x 2 x 1 ，当0x
25、1 x 2 1 时，利用条件 f(0)=f(1)分别在0，x 1 与x 2 ，1上用拉格朗日中值定理知存在(0，x 1 )，(x 2 ，1)使得 f(x 1 )f(x 2 )=f(x 1 )f(0)f(x 2 )f(1) f(x 1 )f(0)+f(1)f(x 2 ) =f()x 1 +f()(1x 2 ) x 1 +(1x 2 )=1(x 2 x 1 ) ， 当 x 1 =0且 x 2 时，有 f(x 1 )f(x 2 )=f(0)f(x 2 )=f(1)f(x 2 )=f()(1x 2 ) 当 x 1 且 x 2 =1时，同样有 f(x 1 )f(x 2 )=f(x 1 )f(1)=f(x
26、 1 )f(0)=f()(x 1 0) 因此对于任何 x 1 ，x 2 0，1总有 f(x 1 )f(x 2 ) )解析：26.设 ae，0xy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(t)=a t ，g(t)=cost，在区间x，y上应用柯西中值定理，即知存在满足0xy 的 ，使得 )解析：解析：把不等式改写成 27.证明：当 x1 时 0lnx+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 x1 引入函数 f(x)=lnx+ 2，则 f(x)在1，+)可导，且当 x1 时 从而 f(x)在1，+)单调增加，又 f(1)=0，所以当 x1 时，f(x)f(1)=0，即 lnx+
27、20 令 g(x)=lnx+ (x1) 3 ，则 g(x)在1，+)可导，且当 x1 时 故 g(x)在区间1，+)上单调减少，又 g(1)=0，所以当 x1 时 g(x)g(1)=0，即 lnx+ 2 )解析：28.当 x0，证明 (tt 2 )sin 2n tdt （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= (tt 2 )sin 2n tdt，则 f(x)=(xx 2 )sin 2n x当0x1 时，f(x)0；当 x1 时，除 x=k(k=1，2，3，)的点外，f(x)0，则 f(x)在 0x1单调上升，在 x1 单调减小，因此 f(x)在0，+)上取最大值 f(1)又当
28、t0 时 sintt，于是当x0 时有 )解析：29.求证：当 x0 时不等式(1+x)ln 2 (1+x)x 2 成立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 2 (1+x)ln 2 (1+x)，则有 f(0)=0， f(x)=2xln 2 (1+x)2ln(1+x)，f(0)=0， )解析：30.求证：x(0，1)时 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(x)= ，则由题知当 x0 时有 故 g(x)在(0，1)内单调下降又 g(x)在(0，1连续，且 g(1)= 1，g(x)在 x=0无定义，但 若补充定义 g(0)= ，则 g(x)在0，1上连续又 g(x)0,0x1，因此 g(x)在0，1单调下降所以，当 0x1 时 g(1)g(x)g(0)，即 )解析：31.设 f(x)在0，+)可导，且 f(0)=0若 f(x)f(x)， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要证 f(x)0 e x f(x)0 (x0) 由e x f(x)=e x f(x)+f(x)0 (x0) e x f(x)在0，+)单调上升 e x f(x)e x f(x) x=0 =0(x0) )解析：
