1、考研数学一（微分中值定理及其应用）模拟试卷 3 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 求函数 的单调区间，极值点，凹凸性区间与拐点2 作函数 y= 的图形3 设 f(x)，g(x) 在(a，b) 内可导，g(x)0 且 (a，b)证明：存在常数 c，使得 f(x)=cg(x)，x(a，b)4 证明：arctanx=arcsin (x( ，+)5 设 P(x)在0，+)连续且为负值， y=y(x)在0 ，+)连续，在(0，+) 满足 y+P(x)y0 且 y(0)0，求证：y(x)在0 ，+)单调增加6 设 g(x)在a，b 连续，f(x)在a ，b二阶可导，f(a)
2、=f(b)=0，且对 x(axb)满足f(x)+g(x)f(x)f(x)=0 求证： f(x)=0 (xa，b)7 设 f(x)在a，b连续，在(a，b) 可导，f(a)=f(b)，且 f(x)不恒为常数，求证：在(a， b)内存在一点 ，使得 f()08 证明方程 x=asinx+b(a0，b0 为常数)至少有一个正根不超过 a+b9 求证：e x+ex +2cosx=5 恰有两个根10 设当 x0 时，方程 kx+ =1 有且仅有一个解，求 k 的取值范围11 讨论曲线 y=2lnx 与 y=2x+ln2x+k 在(0，+) 内的交点个数 (其中 k 为常数)12 证明：x x2ln(1+
3、x)x( x0)13 设 f(x)在1，+)可导， xf(x)kf(x)(x 1)，在 (1，+)的 子区间上不恒等，又 f(1)M，其中后 k，M 为常数，求证：f(x) (x1)14 设 0x 1x 2，f(x)在x 1，x 2可导，证明：在(x 1，x 2)内至少 一个 c，使得15 设 f(x)在0，1可导且 f(1)=2 f(x)dx，求证： (0，1)，使得 f()=2f()16 已知以 2 为周期的周期函数 f(x)在( ，+) 上有二阶导数，且 f(0)=0设 F(x)=(sinx 1)2f(x)，证明 =x0(2， )使得 F(x0)=017 设 ba0，f(x)在a，b上连
4、续，在(a ，b)内可导，f(a)f(b) ，求证：存在， (a，b)使得18 设 f(x)在 x=0 的某邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)=0，f(0)存在求证：19 设有参数方程 0t()求证该参数方程确定 y=y(x)，并求定义域；()讨论 y=y(x)的可导性与单调性；()讨论 y=y(x)的凹凸性20 设 f(x)=nx(1x) n(n 为自然数)，( )求 f(x)；()求证： f(x) 21 ()设 f(x)在x 0，x 0+)(x0，x 0)连续，在(x 0，x 0+)(x0 ，x 0)可导，又=A( =A)，求证：f +(x0)=A(f (x0)=A)()设 f(x)在(
5、x0，x 0+)连续，在(x 0，x 0+)x 0可导，又 f(x)=A，求证：f(x 0)=A()设 f(x)在(a，b)可导，x 0(a，b) 是 f(x)的间断点，求证：x=x 0 是 f(x)的第二类间断点22 设 f(x)在(a，+)内可导求证： ()若 x0(a，+)，f(x)0(xx 0)，则f(x)=+；( )若 f(x)=A0，则 f(x)=+23 证明奇次方程 a0x2n+1+a1x2n+a2nx+a2n+1=0 一定有实根，其中常数 a0024 设 f(x)在( ，+)可导，且 f(x)=A，求证： c(，+)，使得 f(c) =025 设 ()求 f(x)； () 证明
6、：x=0 是 f(x)的极大值点；() 令 xn= ，考察 f(x0)是正的还是负的，n 为非零整数；()证明：对0，f(x)在(，0上不单调上升，在0， 上不单调下降26 求函数 f(x)= (x(，+)的最小值27 将长为 a 的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少?28 求从点 A(10，0) 到抛物线 y2=4x 之最短距离29 求圆 x2+y2=1 的一条切线，使此切线与抛物线 y=x22 所围面积取最小值，并求此最小值30 要造一个圆柱形无盖水池，使其容积为 V0m3底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径 r 与高 h 各是多少
7、，才能使水池造价最低?考研数学一（微分中值定理及其应用）模拟试卷 3 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 定义域：x1()由单调增区间(0 ，1) ；单调减区间 (一，0)(1，+) ；极小值点 x=0( )由凹区间【知识模块】 微分中值定理及其应用2 【正确答案】 定义域：x0()由 y=由 y=()渐近线：只有间断点 x=0由 =可知，有垂直渐近线 x=0；由=0 可知，有水平渐近线 y=0【知识模块】 微分中值定理及其应用3 【正确答案】 因为所以存在常数 c，使得 =c ( x(a，b)，即 f(z)=cg(z) ( x(a，b)【试题解析】
8、即证明 f(x)g(x) 在(a，b)为常数，只需证在(a，b)有f(x) g(x)=0【知识模块】 微分中值定理及其应用4 【正确答案】 令 f(x)=arctanxarcsin ，则f(x)为常数又 f(0)=0 f(x)0，x(一 ，+) 【知识模块】 微分中值定理及其应用5 【正确答案】 由 y+P(x)y0(x 0) y(x)在0， +)连续，y(x)0(x0) y(x)P(x)y(x)0(x0) y(x)在0 ，+)单调增加【知识模块】 微分中值定理及其应用6 【正确答案】 若 f(x)在a ，b上不恒为零，则 f(x)在a，b取正的最大值或负的最小值不妨设 f(x0)= f(x)
9、0，则 x0(a，b)且 f(x0)=0，f(x 0)0 f(x0)+g(x0)f(x0)f(x 0)与已知条件矛盾同理，若 f(x1)= f(x)0，同样得矛盾因此 f(x)0( xa，b)【知识模块】 微分中值定理及其应用7 【正确答案】 若不然 x(a，b)，f(x)0 f(x)在a，b单调不增 xa，b，f(a)f(x)f(b) f(x)f(a)=f(b)在a ，b为常数，矛盾了【知识模块】 微分中值定理及其应用8 【正确答案】 考察 f(x)=x 一 asinx 一 b，即证它在(0，a+b有零点显然，f(x)在0，a+b连续，且 f(0)= b0，f(a+b)=a1 sin(a+b
10、)0若 f(a+b)=0，则该方程有正根 x=a+b若 f(a+6)0，则由连续函数零点存在性定理 c(0，a+b)，使得f(c)=0【知识模块】 微分中值定理及其应用9 【正确答案】 即证 f(x)=ex+ex +2cosx5 在(，+)恰有两个零点由于 f(x)=exe x 2sinx ，f(x)=e x+ex 2cosx 22cosx0 (x0)， f(x)在(，+)又因 f(0)=0 f(x) f(x)在( ， 0单调下降，在0，+)单调上升又 f(0)=10， f(x)=+，因此 f(x)在( ，0)与(0，+) 各 唯一零点，即在( ，+)恰有两个零点【知识模块】 微分中值定理及其
11、应用10 【正确答案】 设 f(x)=kx+ 1(x0)，则 f(x)=k 一 0()当 k0 时，f(x)0，f(x)单调减少，又故 f(x)此时只有一个零点() 当 k0 时，由 f(x)=0 得 x= 是极小值点，且极小值为 当极小值为零时，即当时，有 k= ，此时方程有且仅有一个根；当 k 时，方程无根或有两个根因此，k 的取值范围为 k0 及 k=【知识模块】 微分中值定理及其应用11 【正确答案】 令 f(x)=2x+ln2x+k2lnx(x(0 ，+)，于是本题两曲线交点个数即为函数 f(x)的零点个数由 f(x)=2+ (x+lnx1)，令 f(x)=0 可解得唯一驻点 x0=
12、1(0，+)当 0x1 时 f(x)0，f(x)单调减少；而当 x1 时 f(x)0，f(x)单调增加于是 f(1)=2+k 为 f(x)在(0，+)内唯一的极小值点，且为(0，+) 上的最小值点因此 f(x)的零点个数与最小值 f(1)=2+k 的符号有关当f(1)0 即 k2 时 f(x)在(0，+) 内恒为正值函数，无零点当 f(1)=0 即 k=2时 f(x)在(0，+)内只有一个零点 x0=1当 f(1)0 即 k2 时需进一步考察 f(x)在 x0 +与 x+的极限： 由连续函数的零点定理可得， x1(0，1) 与 x2(1，+) 使得 f(x1)=f(x2)=0，且由 f(x)在
13、(0，1)与(1，+)内单调可知 f(x)在(0 ，1)内与(1， +)内最多各有一个零点，所以当k2 时，f(x)在(0，+)内恰有两个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用12 【正确答案】 () 令 F(x)=xln(1+x) F(x)=1 一 0(x0)又 F(0)=0，F(x)在0，+)连续 F(x)在0，+) F(x)F(0)=0( x0)()令 G(x)=ln(1+x)(x x2)=ln(1+x)一 x+ x2，则故 G(x)在0，+)，即有G(x)G(0)=0【知识模块】 微分中值定理及其应用13 【正确答案】 已知 xf(x)+(k+1)f(x)0(x1)，在(1，+) 子区
14、间上不恒为零，要证 f(x)xk+1M(x1)令 F(x)=f(x)xk+1 F(x)=xk+1f(x)+(k+1)xkf(x)=xkxf(x)+(k+1)f(x)0(x1) ，在(1，+) 子区间上不恒为零，又 F(x)在1，+)连续 F(x)在1， +)单调下降 F(x)F(1)=f(1)M (x1) 【知识模块】 微分中值定理及其应用14 【正确答案】 记 k= ex1f(x2)e x2f(x1)，要证f(x)f(x)+k 在(x 1，x 2) 零点 ex f(x)一 f(x)+k=ex (f(x)一 k)在(x 1，x 2) 零点令 F(x)=ex f(x)一 k，则 F(x)在x 1
15、，x 2可导考察因此，由罗尔定理c(x1，x 2)，F(c)=0 【知识模块】 微分中值定理及其应用15 【正确答案】 令 F(x)= f(x)，则 F(x)在0，1可导，且因此，由罗尔定理， (0，1)，使得 F()= =0，即 f()=2f()【试题解析】 即证 f(x)一 2xf(x)在(0，1)存在零点 f(x)2xf(x)在(0，1)存在零点 f(x)在(0，1)存在零点作辅助函数 F(x)= f(x)时，按题设还要找一个 (0，1) ，使得 F(1)=F()，即 e1 f(1)= f()由题设及积分中值定理， ，使得于是 F(1)=F() 【知识模块】 微分中值定理及其应用16 【
16、正确答案】 显然 F(0)=F =0，于是由罗尔定理知， x1(0， )，使得F(x1)=0又 F(x)=2(sinx 一 1)f(x)+(8inx 一 1)2f(x)，对 F(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在 x0*(x1， )，使得 F(x0*)=0注意到 F(x)以 2 为周期，F(x)与 F(x)均为以 2 为周期的周期函数，于是 x0=2+x0*，即x0(2， )，使得 F(x0)=F(x0*)=0【试题解析】 首先，因 f(x)是周期为 2 的周期函数，则 F(x)也必为周期函数，且周期为 2，于是只需证明 ，使得 F(x0*)=0 即可【知识模块】 微分中值定理及其
17、应用17 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在(a， b)，使 令 g(x)=x2，由柯西中值定理知， (a，b)，使 将式代入式，即得 f()=(a+b)【知识模块】 微分中值定理及其应用18 【正确答案】 因为 ln(1+x)x(x(一 1，+)，故由拉格朗日中值定理可知，存在 (x)(ln(1+x)，x)，使得 由此可得由于当 x0 时，有 1； 当1x0 时，有 1 故由夹逼定理知，=0于是【知识模块】 微分中值定理及其应用19 【正确答案】 () =3cos2t(sint)0，(t0， )，仅当 t=0， x是 t 的单调( 减) 函数， y=
18、sin3t(x)=y(x)，x1，1()记0t当 t0，注意 y=y(x)在一 1，1连续，t与 x 的对应关系：0x1 时 y(x)单调下降，一 1x0 时 y(x)单调上升()由y=y(x)在1，0，0 ，1均是凹的y=y(x)的图形如图 4 2【知识模块】 微分中值定理及其应用20 【正确答案】 () 先求 f(x)=n(1 一 x)n1 1 一(n+1)x 0，得唯一驻点 x=xn=又 f(0)=f(1)=0 ()注意 单调下降极限为 e【知识模块】 微分中值定理及其应用21 【正确答案】 ()f +(x0) f(x)=A另一类似( )由题 () f+(x0)=f (x0)=A f(x
19、0)=A或类似题()，直接证明()即证 f(x)中至少一个不 若它们均存在， f(x)=A，由题() f(x0)=A因 f(x)在 x0 可导f(x)在 x=x0 连续，与已知矛盾因此， x=x0 是 f(x)的第二类间断点【知识模块】 微分中值定理及其应用22 【正确答案】 () xx 0，由拉格朗日中值定理， (x0，x)，f(x)=f(x 0)+f()(x 一 x0)f(x 0)+(x 一 x0)，又因 f(x)=+() 因 0，由极限的不等式性质 x0(a，+)，当xx 0 时 f(x) 0，由题( )得 f(x)=+【知识模块】 微分中值定理及其应用23 【正确答案】 不妨设 a00
20、令 f(x)=a0x2n+1+a1x2n+a2nx+a2n+1，则又 f(x)在( 一，+)连续，因此在(一，+)内 f(x)至少存在一个零点【试题解析】 记方程左端为函数 f(x)，设 a00，只需证明：f(x)= 即得结论【知识模块】 微分中值定理及其应用24 【正确答案】 由极限不等式性质转化为有限区间的情形(如图 43)若 f(x)A，显然成立若 f(x) A，必存在 x0，f(x 0)A，不妨设 f(x0)A由极限不等式性质， bx 0，f(b) f(x 0)； ax 0，f(a)f(x 0).f(x)在a ，b有最小值，它不能在 x=a 或 x=b 处达到，必在(a ，b) 内某点
21、 C 处达到，于是 f(c)=0【知识模块】 微分中值定理及其应用25 【正确答案】 () 当 x0 时按求导法则得当 x=0 时按导数定义得 ()由于 f(x)一 f(0)=x 2(2+sin )0(x0)，f(x)f(0) ，于是由极值的定义可知 x=0 是 f(x)的极大值点( )令 xn= =(一 1)n，于是()对 负奇数且n充分大时 xn(一 ,0)，f(x n)0 f(x)在(一 ，0)不单调上升；当 n 为正偶数且 n 充分大时 xn(0，)，f(x n)0 f(x)在(0，)不单调下降【知识模块】 微分中值定理及其应用26 【正确答案】 先求导数并得驻点再求由于 f(x)在(
22、一，+)内可导，且有唯一的极小值点 x= ，因而必是最小值点，f(x)的最小值为【知识模块】 微分中值定理及其应用27 【正确答案】 围成圆的铁丝长为 x，则围成正方形的铁丝长为 a 一 x，于是圆的半径 r= ，正方形边长 ，x(0，a)的最小值点由时面积和最小【知识模块】 微分中值定理及其应用28 【正确答案】 抛物线上点 P( ，y)到 A(10，0)的距离的平方(如图 44)为问题是求 d(y)在0，+)上的最小值(d(y)在(一，+)为偶函数)由于 在(0，+)解 d(y)=0 得 y= 于是 d( )=36，d(0)=100又 d(y)在0，+)的最小值为 36，即最短距离为 6【
23、知识模块】 微分中值定理及其应用29 【正确答案】 如图 45，圆周的参数方程为 x=cos，y=sin 圆周上 点(cos， sin)处切线的斜率是 =cot，于是切线方程是它与 y=x22 交点的横坐标较小者为 ，较大者为 ，则 ， 是方程 x2+xcot2 =0 的根，并且切线与抛物线所围面积为为求 ()3 最小值，只要求() 2 最小值，由一元二次方程根与系数关系得() 2=(+)24=cot2+4(2+ ) 所以，当 +2=0 时取最小值 3由 因此，所围面积最小值为所求切线有两条：【知识模块】 微分中值定理及其应用30 【正确答案】 先求出水池总造价的表达式设水池周围单位面积造价为 a 元m 2，水池造价为 y，则 y=2rha+2ar2又知 V0=r2h，代入上式得 y=2a( +r2)，0r 现求 y(r)在(0，+)上的最小值点求 y(r)：因此，当 r=时，y 取最小值，即水池造价最低【知识模块】 微分中值定理及其应用
