1、考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷 9及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：31，分数：62.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2.作函数 y= （分数：2.00）_3.设 f(x)，g(x)在(a，b)内可导，g(x)0 且 （分数：2.00）_4.证明：arctanx= （分数：2.00）_5.设 P(x)在0，+)连续且为负值，y=y(x)在0，+)连续，在(0，+)满足 y+P(x)y0 且 y(0)0，求证：y(x)在0，+)单调增加（分数：2.00）_6.设 g(x)在a，b连续，f(x)在a，b二
2、阶可导，f(a)=f(b)=0，且对 （分数：2.00）_7.设 f(x)在a，b连续，在(a，b)可导，f(a)=f(b)，且 f(x)不恒为常数，求证：在(a，b)内存在一点，使得 f()0（分数：2.00）_8.证明方程 x=asinx+b(a0，b0 为常数)至少有一个正根不超过 a+b（分数：2.00）_9.求证：e x +e -x +2eosx=5恰有两个根（分数：2.00）_10.设当 x0 时，方程 kx+ （分数：2.00）_11.讨论曲线 y=2lnx与 y=2x+ln 2 x+k在(0，+)内的交点个数(其中 k为常数)（分数：2.00）_12.证明：x- x 2 ln(
3、1+x)x( （分数：2.00）_13.设 f(x)在1，+)可导， xf(x)-kf(x)(x1)，在(1，+)的 子区间上不恒等，又f(1)M，其中 k，M 为常数，求证：f(x) （分数：2.00）_14.设 ae，0xy （分数：2.00）_15.设 0x 1 x 2 ，f(x)在x 1 ，x 2 可导，证明：在(x 1 ，x 2 )内至少 一个 c，使得 （分数：2.00）_16.设 f(x)在0，1可导且 f(1)= e 1-x2 f(x)dx，求证： （分数：2.00）_17.已知以 2 为周期的周期函数 f(x)在(-，+)上有二阶导数，且 f(0)=0设 F(x)=(sinx
4、-1) 2 f(x)，证明 （分数：2.00）_18.设 ba0，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，f(a)f(b)，求证：存在 ，(a，b)使得（分数：2.00）_19.设 f(x)在 x=0的某邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)=0，f(0)存在求证： （分数：2.00）_20.设有参数方程 （分数：2.00）_21.设 f(x)=nx(1-x) n (n为自然数)，()求 f(x)；()求证： （分数：2.00）_22.()设 f(x)在x 0 ，x 0 +)(x 0 -，x 0 )连续，在(x 0 ，x 0 +)(x 0 -，x 0 )可导，又 ，求证：f + (x 0 )
5、=A(f - (x 0 )=A) ()设 f(x)在(x 0 -，x 0 +)连续，在(x 0 -，x 0 +)x 0 可导，又 （分数：2.00）_23.设 f(x)在(a，+)内可导，求证： ()若 x 0 (a，+)，f(x)a0(xx 0 )，则 =+： ()若 （分数：2.00）_24.证明奇次方程 a 0 x 2n+1 +a 1 x 2n +a 2 x+a 2n+1 =0一定有实根，其中常数 a 0 0（分数：2.00）_25.设 f(x)在(-，+)可导，且 =A，求证： （分数：2.00）_26.设 ()求 f(x)； ()证明：x=0 是 f(x)的极大值点； ()令 x n
6、 = ，考察 f(x n )是正的还是负的，n 为非零整数； ()证明：对 （分数：2.00）_27.求函数 f(x)= （分数：2.00）_28.将长为 a的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少?（分数：2.00）_29.求从点 A(10，0)到抛物线 y 2 =4x的最短距离（分数：2.00）_30.求圆 x 2 +y 2 =1的一条切线，使此切线与抛物线 y=x 2 -2所围面积取最小值，并求此最小值（分数：2.00）_31.要建一个圆柱形无盖水池，使其容积为 V 0 m 3 底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径 r与高h各是多少，
7、才能使水池造价最低?（分数：2.00）_考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷 9答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：31，分数：62.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：2.作函数 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：定义域：x0 ()由 由 得 ()渐近线：只有间断点 x=0由可知，有垂直渐近线 x=0； 由 )解析：3.设 f(x)，g(x)在(a，b)内可导，g(x)0 且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以存在常数 c，使得 ，即 f(x)=cg(x)( )解析：4.证明
8、：arctanx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=arctanx-arcsin ，则 )解析：5.设 P(x)在0，+)连续且为负值，y=y(x)在0，+)连续，在(0，+)满足 y+P(x)y0 且 y(0)0，求证：y(x)在0，+)单调增加（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y+P(x)y(x0) e 0xP(t)dt y(x)0(x0)，又 e 0xP(t)dt y(x)在0，+)连续， e 0xP(t)dt y(x)在0，+单调 e 0xP(t)dt y(x)e 0xP(t)dt y(x)x 0 =y(0)0 y(x)0(x0) y(x)-P(x)
9、y(x)0(x0) )解析：6.设 g(x)在a，b连续，f(x)在a，b二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 f(x)在a，b上不恒为零，则 f(x)在a，b取正的最大值或负的最小值 不妨设 f(x 0 )= f(x)0，则 x 0 (a，v)且 f(x 0 )=0，f(x 0 )0 f(x 0 )+g(x 0 )f(x 0 )-f(x 0 )0 与已知条件矛盾同理，若 f(x 1 )= f(x)0，同样得矛盾因此 f(x)0 )解析：7.设 f(x)在a，b连续，在(a，b)可导，f(a)=f(b)，且 f(x)不恒为常数，求证：在(a，b)
10、内存在一点，使得 f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若不然 (a，b)，f(x)0 f(x)在a，b单调不增 a，b，f(a)f(x)f(b) )解析：8.证明方程 x=asinx+b(a0，b0 为常数)至少有一个正根不超过 a+b（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考察 f(x)=x-asinx-b，即证它在(0，a+b有零点显然，f(x)在0，a+b连续，且 f(0)=-b0，f(a+b)=a1-sin(a+b)0 若 f(a+b)=0，则该方程有正根 x=a+b若 f(a+b)0，则由连续函数零点存在性定理 )解析：9.求证：e x +e -x +2eosx=5恰
11、有两个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：即证 f(x)=e x +e -x +2cosx-5在(-，+)恰有两个零点由于 f(x)=e x -e -x -2sinx， f(x)=e x +e -x -2cosx2-2cosx0 (x0)， f(x)在(-，+) 又因 f(0)=0 f(x)在(-，0单调下降，在0，+)单调上升 又 f(0)=-10， =+，因此 f(x)在(-，0)与(0，+)各 )解析：10.设当 x0 时，方程 kx+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=kx+ -1(x0)，则 ()当 k0 时，f(x)0，f(x)单调减少，又 故 f(x
12、)此时只有一个零点 ()当 k0 时，由 f(x)=0得 ，由于 f(x)0，x= 是极小值点，且极小值为 当极小值为零时，即当 时，有 k= ，此时方程有且仅有一个根；当 k 时，方程无根或有两个根 因此，k 的取值范围为 k0 及 k= )解析：11.讨论曲线 y=2lnx与 y=2x+ln 2 x+k在(0，+)内的交点个数(其中 k为常数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=2x+ln 2 x+k-2lnx(x(0，+)，于是本题两曲线交点个数即为函数f(x)的零点个数由 令 g(x)=x+lnx-1 令 f(x)=0可解得唯一驻点 x 0 =1(0，+) 当0x1
13、 时 f(x)0，f(x)在(0，1单调减少；而当 x1 时 f(x)0，f(x)在1，+)单调增加于是f(1)=2+k为 f(x)在(0，+)内唯一的极小值点，且为(0，+)上的最小值点因此 f(x)的零点个数与最小值 f(1)=2+k的符号有关 当 f(1)0 即 k-2 时 f(x)在(0，+)内恒为正值函数，无零点 当 f(1)=0即 k=-2时 f(x)在(0，+)内只有一个零点 x 0 =1 当 f(1)0 即 k-2 时需进一步考察 f(x)在 x0 + 与 x+的极限： 由连续函数的零点定理可得， )解析：12.证明：x- x 2 ln(1+x)x( （分数：2.00）_正确答
14、案：(正确答案：()令 F(x)=x-ln(1+x) (x0) 又 F(0)=0，F(x)在0，+)连续 F(x)在0，+) F(x)F(0)=0( 0) ()令 G(x)=ln(1+x)- x 2 ，则 )解析：13.设 f(x)在1，+)可导， xf(x)-kf(x)(x1)，在(1，+)的 子区间上不恒等，又f(1)M，其中 k，M 为常数，求证：f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 xf(x)+(k+1)f(x)0(x1)，在(1，+) 子区间上不恒为零，要证f(x)x k+1 M(x1)令 F(x)=f(x)x k+1 F(x)=x k+1 f(x)+(k+1)x
15、 k f(x)=x k xf(x)+(k+1)f(x)0(x1)，在(1，+) 子区间上不恒为零，又 F(x)在1，+)连续 F(x)在1，+)单调下降 )解析：14.设 ae，0xy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把不等式改写成 注意到(a x )=axlna，(cosx)=-sinx，而sinx1对 f(t)=a t ，g(t)=cost，在区间x，y上应用柯西中值定理，即知存在满足0xy 的 ，使得 )解析：15.设 0x 1 x 2 ，f(x)在x 1 ，x 2 可导，证明：在(x 1 ，x 2 )内至少 一个 c，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 e x
16、1 f(x 2 )-e x2 f(x 1 )， 要证 f(x)-f(x)+k在(x 1 ，x 2 ) 零点 e -x f(x)-f(x)+k=e -x (f(x)-k)在(x 1 ，x 2 ) 零点 令 F(x)=e -x f(x)-k，则 F(x)在x 1 ，x 2 可导考察 F(x 1 )-F(x 2 )=e -x1 f(x 1 )-k-e -x2 f(x 2 )-k =e -x1-x2 (e x2 f(x 1 )-e x1 f(x 2 )+k(e x1 -e x2 ) 因此，由罗尔定理 )解析：16.设 f(x)在0，1可导且 f(1)= e 1-x2 f(x)dx，求证： （分数：2.
17、00）_正确答案：(正确答案：即证 f(x)-2xf(x)在(0，1)存在零点 e -x2 f(x)-2xf(x)在(0，1)存在零点 e -x2 f(x)在(0，1)存在零点 作辅助函数 F(x)=e -x2 f(x)时，按题设还要找一个(0，1)，使得 F(1)=F()，即 e -1 f(1)=e -2 f()由题设及积分中值定理， 使得 f(1)= e 1-x2 f(x)dx= e -2+1 f()=e -2+1 f() 于是 F(1)=F() 令 F(x)=e -x2 f(x)，则 F(x)g=0，1可导，且 F(1)=e -1 f(1)=2e -1 e 1-x2 f(x)dx 因此，
18、由罗尔定理， (0，) )解析：17.已知以 2 为周期的周期函数 f(x)在(-，+)上有二阶导数，且 f(0)=0设 F(x)=(sinx-1) 2 f(x)，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先，因 f(x)是周期为 2 的周期函数，则 F(x)也必为周期函数，且周期为2，于是只需证明 ，使得 F(x 0 * )=0即可 显然 F(0)= =0，于是由罗尔定理知， ，使得 F(x 1 )=0又 F(x)=2(sinx-1)f(x)+(sinx-1) 2 f(x)， 对 F(x)应用罗尔定理，由于 F(x)二阶可导，则存在 x 0 * ，使得 F(x 0 * )=0 注意到
19、 F(x)以 2 为周期，F(x)与 F(x)均为以 2 为周期的周期函数，于是 x 0 =2+x 0 * ，即 x 0 )解析：18.设 ba0，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，f(a)f(b)，求证：存在 ，(a，b)使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在 (a，b)，使 令 g(x)=x 2 ，由柯西中值定理知， (a，b)，使 将式代入式，即得 f()=(a+b) )解析：19.设 f(x)在 x=0的某邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)=0，f(0)存在求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
20、因为 ln(1+x)x(x(-1，+)，故由拉格朗日中值定理可知，存在 (x)(ln(1+x)，x)，使得 由此可得 由于当 x0 时，有 ；当-1x0 时，有 故由夹逼定理知， ，于是 )解析：20.设有参数方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() =3cos 2 t(-sint)0，(t0，)，仅当 t=0， ， 时为零 x是 t的单调 (减)函数， 反函数 t=t(x) y=sin 3 t(x)=y(x)，x-1，1 ()记 当 t0， 反函数 t=t(x)可导 y=y(x)可导 注意 y=y(x)在-1，1连续，t 与x的对应关系： 于是 0x1 时 y(x)单调下降，-1
21、x0 时 y(x)单调上升 ()由 y=y(x)在-1，0，0，1均是凹的y=y(x)的图形如图 42 )解析：21.设 f(x)=nx(1-x) n (n为自然数)，()求 f(x)；()求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求 f(x)=n(1-x) n-1 1-(n+1)x ，得唯一驻点 x=x n = .又 ()注意 单调下降极限为 )解析：22.()设 f(x)在x 0 ，x 0 +)(x 0 -，x 0 )连续，在(x 0 ，x 0 +)(x 0 -，x 0 )可导，又 ，求证：f + (x 0 )=A(f - (x 0 )=A) ()设 f(x)在(x 0 -，
22、x 0 +)连续，在(x 0 -，x 0 +)x 0 可导，又 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()f + (x 0 ) 另一类似 ()由题() f + (x 0 )=f - (x 0 )=A f(x 0 )=A或类似题()，直接证明 ()即证 f(x)中至少有一个不 若它们均存在， f(x)=A ，由题() f (x 0 )=A .因 f(x)在 x 0 可导 A + =A - =f(x 0 ) )解析：23.设 f(x)在(a，+)内可导，求证： ()若 x 0 (a，+)，f(x)a0(xx 0 )，则 =+： ()若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() x 0 ，
23、由拉格朗日中值定理， (x 0 ，x)， f(x)=f(x 0 )+f()x-x 0 )f(x 0 )+(x-x 0 )， 又因 f(x 0 )+(x-x 0 )= =+. ()因 ，由极限的不等式性质 x 0 (a，+)，当 xx 0 时 f(x) 0，由题()得 )解析：24.证明奇次方程 a 0 x 2n+1 +a 1 x 2n +a 2 x+a 2n+1 =0一定有实根，其中常数 a 0 0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记方程左端为函数 f(x)，设 a 0 0，只需证明： =-即得结论 不妨设a 0 0令 f(x)=a 0 x 2n+1 +a 1 x 2n +a 2n x
24、+a 2n+1 x，则 )解析：25.设 f(x)在(-，+)可导，且 =A，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由极限不等式性质转化为有限区间的情形(如图 43) 若 f(x)A，显然成立若 f(x)A，必存在 x 0 ，f(x 0 )A，不妨设 f(x 0 )A由极限不等式性质， x 0 ，f(b)f(x 0 )； )解析：26.设 ()求 f(x)； ()证明：x=0 是 f(x)的极大值点； ()令 x n = ，考察 f(x n )是正的还是负的，n 为非零整数； ()证明：对 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 x0 时按求导法则得 当 x=0时按导数定
25、义得 ()由于 f(x)-f(0)=-x 2 0(x0)，即 f(x)f(0)，于是由极值的定义可知 x=0是 f(x)的极大值点 ()令 x n = (n=1，2，3，)，则 sin =(-1) n ，于是 f(x n )= ()对 0，当 n为 负奇数且n充分大时 x n (-，0)，f(x n )0 f(x)在(-，0)不单调上升；当 n为正偶数且 n充分大时 x n (0，)，f(x n )0 )解析：27.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求导数并得驻点 由 f(x)=0即 再求 由于 f(x)在(-，+)内可导，且有唯一的极小值点 x= ，因而必是最小
26、值点，f(x)的最小值为 )解析：28.将长为 a的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设围成圆的铁丝长为 x，则围成正方形的铁丝长为 a-x，于是圆的半径 r= ，正方形边长 (a-x)，问题是求面积 S(x)= ，x(0，a)的最小值点由 )解析：29.求从点 A(10，0)到抛物线 y 2 =4x的最短距离（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：抛物线上点 到 A(10，0)的距离的平方(如图 44)为 d(y)= +y 2 问题是求 d(y)在0，+)上的最小值(d(y)在(-，+)为偶
27、函数) 由于 在(0，+)解d(y)=0得 于是 =36，d(0)=100. 又 )解析：30.求圆 x 2 +y 2 =1的一条切线，使此切线与抛物线 y=x 2 -2所围面积取最小值，并求此最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 45，圆周的参数方程为 x=cos，y=sin圆周上 点(cos，sin)处切线的斜率是 ，于是切线方程是 它与 y=x 2 -2交点的横坐标较小者为，较大者为 ，则 ， 是方程 x 2 +xcot-2- =0的根，并且切线与抛物线所围面积为 -xcot+ -(x 2 -2)dx =- (x 2 +xcot-2- )d=- (x-)(x-)dx =
28、(x-)d(x-) 2 = (x-) 2 dx= (-) 3 为求 (-) 3 最小值，只要求(-) 2 最小值，由一元二次方程根与系数关系得 (-) 2 =(+) 2 -4 所以，当 +2=0时取最小值 3由 因此，所围面积最小值为 所求切线有两条： )解析：31.要建一个圆柱形无盖水池，使其容积为 V 0 m 3 底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径 r与高h各是多少，才能使水池造价最低?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出水池总造价的表达式设水池周围单位面积造价为 a元m 2 ，水池造价为 y，则 y=2rha+2ar 2 又知 V 0 =r 2 h，代入上式得 y=2a ，0r+ 现求 y(r)在(0，+)上的最小值点求 y(r)： 因此，当 )解析：
