1、考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 xf“(x)+3xf(x)2=1e x 且 f(0)=0，f“(x)在 x=0 连续，则下列正确的是（A）(0 ，f(0) 是曲线 y=f(x)的拐点（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） f(0)不是 f(x)的极值， (0，f(0) 也不是 y=f(x)的拐点（D）f(0)是 f(x)的极大值2 若函数 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，且 f(0)0，f(x)k0，则在(0，+) 内 f(x)（A）没有零点（B）至少有一个零点（C）只有一个零点
2、（D）有无零点不能确定二、填空题3 f(x)= 的极大值点是 x=_，极小值点是 x=_4 数列 1， ，的最大项为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 设函数 f(x)，g(x) 在 x=x0 有连续的二阶导数且 f(x0)=g(x0)，f(x 0)=g(x0)，f“(x 0)=g“(x0)0，说明这一事实的几何意义6 求曲线 y= +ln(1+ex)的渐近线方程7 设函数 f(x)在区间0，a上单调增加并有连续的导数，且 f(0)=0，f(a)=b，求证： 0af(x)dx+0bg(x)dx=ab， 其中 g(x)是 f(x)的反函数8 设 f(x)在0，a二次可导且 f
3、(0)=0，f“(x) 0求证： 在(0，a单调下降9 设 y=y(x)是由方程 2y3 2y2+2xyx 2=1 确定的，求 y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?10 求函数 f(x)= (2t)e t dt 的最值11 设 f(x)在0，b可导，f(x)0( x(0，b)，t 0，b，问 t 取何值时，图 410中阴影部分的面积最大? 最小 ?12 求证：当 x0 时不等式(1+x)ln 2(1+x)x 2 成立13 求证：x0,1 时， xp+(1x) p1，p1；1x p+(1x) p ，0p114 设 f(x)在0，1连续，在 (0，1)可导，f(0)=0，0f(x)1(x
4、 (0，1)，求证： 01f(x)dx2 01f3(x)dx15 设 f(x)在( ，a)内可导， ，求证：f(x)在(， a)内至少有一个零点16 设 f(x)在(a，b)内可导，且 =A求证：存在 (a，b)使得f()=017 设 f(x)= (akcoskx+bksinkx)，其中 ak，b k(k=1，2，n)为常数证明：()f(x)在0，2)必有两个相异的零点； ()f (m)(x)在0，2)也必有两个相异的零点18 设 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(1)=0，试证： (0，1)使得19 就 a 的不同取值情况，确定方程 lnx=xa(a0)实根的个数20 作函数 y=
5、 的图形21 设 P(x)在0，+)连续且为负值， y=y(x)在0 ，+)连续，在(0，+) 满足 y+P(x)y0 且 y(0)0，求证：y(x)在0 ，+)单调增加22 证明方程 x=asinx+b(a0，b0 为常数)至少有一个正根不超过 a+b23 讨论曲线 y=2lnx 与 y=2x+ln2x+k 在(0，+) 内的交点个数 (其中 k 为常数)24 设 ae，0xy ，求证 aya x(cosxcosy)a xlna25 已知以 2， 为周期的周期函数 f(x)在( ，+) 上有二阶导数，且 f(0)=0设F(x)= (sinx1) 2f(x)，证明 使得 F“(x0)=026
6、设有参数方程 0t()求证该参数方程确定 y=y(x)，并求定义域；()讨论 y=y(x)的可导性与单调性；()讨论 y=y(x)的凹凸性27 设 f(x)在(a，+)内可导，求证： ()若 x0(a，+)，f(x)0(xx 0)，则=+； ()若 =A0，则 =+28 设 f(x)= ()求 f(x)； ()证明：x=0 是 f(x)的极大值点；( )令 xn= ，考察 f(xn)是正的还是负的，n 为非零整数；()证明：对0，f(x)在(，0上不单调上升，在0， 上不单调下降29 求从点 A(10，0) 到抛物线 y2=4x 的最短距离考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷 6 答案与
7、解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(0)=0 知 x=0 是 f(x)的驻点为求 f“(0)，把方程改写为 f“(x)+3f(x)2= 令 x0 ，得 f“(0)= = 10=f(0)为极大值故选 D【知识模块】 微分中值定理及其应用2 【正确答案】 C【试题解析】 讨论函数的零点，一般要用连续函数在闭区间上的介值定理根据拉格朗日中值定理，f(x)=f(0)+f()x(0 x)，得 f(x)f(0)+kx显然当 x 足够大时f(x)0(事实上只需 x )，又 f(0)0，这就表明在 (0，x)内存在 f(x)的零点，又 f
8、(x)0，即有 f(x)单调增加，从而零点唯一，故选 C【知识模块】 微分中值定理及其应用二、填空题3 【正确答案】 x=0；x= 和 x=【试题解析】 0x1 时 f(x)0，按定义 x=0 是极大值点，x0 时=x= 是极小值点由于f(x)是偶函数，x= 也是极小值点【知识模块】 微分中值定理及其应用4 【正确答案】 【试题解析】 考察函数 f(x)= (x1)，求 f(x)在1，+)上的最大值由=f(x)在1，e单调上升，在e， +)单调下降，f(x)= 在 x=e 取最大值，它的相邻两点是 x=2，3现比较 f(2)= ，因此，最大项是： 【知识模块】 微分中值定理及其应用三、解答题解
9、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 曲线 y=f(x)，y=g(x) 在公共点 M0(x0，f(x 0)即(x 0，g(x 0)处相切，在点 M0 的某邻域有相同的凹凸性因 f“(x)，g“(x) 在 x0 处连续，f“(x 0)=g“(x0)0(或0)= x0 的某邻域(x 0 ，x 0+)，当 x(x0 ，x 0+)时 f“(x)0，g“(x)0(或f“(x)0，g“(x)0)又由曲率计算公式知，这两条曲线在点 M0 处有相同的曲率【知识模块】 微分中值定理及其应用6 【正确答案】 只有间断点 x=0，因 =，故有垂直渐近线 x=0又 因此，x+时有斜渐近线 y=x最后
10、， =0+ln1=0，于是 x时有水平渐近线 y=0【知识模块】 微分中值定理及其应用7 【正确答案】 令 F(a)=0af(x)dx+0f(a)g(x)dxaf(a)，对 a 求导得 F(a)=f(a)+gf(a)f(a)af(a)f(a) ， 由题设 g(x)是 f(x)的反函数知 gf(a)=a，故 F(a)=0，从而 F(a)为常数又 F(0)=0，故 F(a)=0，即原等式成立【知识模块】 微分中值定理及其应用8 【正确答案】 对 F(x)求导得 F(x)=xf“(x)0 ( x(0，a)又 F(0)=0，则 F(x)0(x(0，a)，即 xf(x)f(x)0(0xa) 【知识模块】
11、 微分中值定理及其应用9 【正确答案】 () 先用隐函数求导法求出 y(x)将方程两边对 x 求导得 6y2y 4yy+2xy+2y2x=0，整理得 y= ()由 y(x)=0 及原方程确定驻点由 y(x)=0 得 y=x 代入原方程得 2x 32x 2+2xxx 2=1， 即 x3x 2+x31=0， (x 1)(2x 2+x+1)=0仅有根 x=1当 y=x=1 时，3y22y+x0 因此求得驻点 x=1 ()判定驻点是否是极值点将式化为(3y22y+x)y=xy 将式两边对 x 在 x=1 求导，注意 y(1)=0，y(1)=1 ，得 2y“(1)=1，y“(1)= 0故 x=1 是隐函
12、数 y(x)的极小值点【知识模块】 微分中值定理及其应用10 【正确答案】 由于 f(x)是偶函数，我们只需考察 x0，+)由变限积分求导公式得 f(x)=2x(2x 2) 解 f(x)=0 得 x=0 与 x= ，于是从而 f(x)的最大值是=02(2 t)et dt= 02(2t)de t =(t2)e t 02 02et dt =2+et 02=1+e2 由上述单调性分析，为求最小值，只需比较 f(0)与 的大小由于=0+(2t)e t dt=(t2)e t +et 0+=1f(0)=0，因此 f(0)=0 是最小值【知识模块】 微分中值定理及其应用11 【正确答案】 由于 S(t)=0
13、tf(t)f(x)dx+ tbf(x) f(t)dx =tf(t) 0tf(x)dx+tbf(x)dx+(tb)f(t)在0，b 可导，且 S(t)=tf(t)+f(t)f(t) f(t)+f(t)+(tb)f(t)则 S(t)在时，S(t)取最小值S(t)在0，b连续，也一定有最大值，且只能在 t=0 或 t=b 处取得S(0)= 0bf(x)dxbf(0)，S(b)=bf(b) 0bf(x)dx，S(b)S(0)= 不能肯定最大值点不确定但只能在 t=0 或 t=b 处取得【知识模块】 微分中值定理及其应用12 【正确答案】 令 f(x)=x2(1+x)ln 2(1+x)，则有 f(0)=
14、0， f(x)=2xln 2(1+x)2ln(1+x)，f(0)=0， f“(x)= ，f(0)=0 ， f“(x)= ，f“(0)=0 于是 f“(x)当 x0 时单调增加，又 f“(0)=0，所以当 x0 时 f“(x)f“(0)=0 从而 f(x)当 x0 时单调增加，又 f(0)=0，故当x0 时 f(x)f(0)=0因此 f(x)当 x0 时单调增加，又 f(0)=0，所以当 x0 时 f(x)f(0)=0原不等式得证【知识模块】 微分中值定理及其应用13 【正确答案】 令 f(x)=xp+(1x) p，则 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且有 f(x)=px p1 (1
15、x) p1 令 f(x)=0 得 x= 易知 f(0)=f(1)=1， 当 p1 时，1 =f(x)在0，1的最大值为 1，最小值为 = f(x)1，x0，1 当 0p1 时，1 = f(x)在0，1的最大值为 ，最小值为1=f(x) ，x0，1【知识模块】 微分中值定理及其应用14 【正确答案】 即证 01f(x)dx2 01f3(x)dx0考察 F(x)=0xf(t)dt2 0xf3(t)dt，若能证明 F(x)0(x(0， 1)即可这可用单调性方法 令 F(x)=0xf(t)dt2 0xf3(t)dt，易知 F(x)在0，1 可导，且 F(0)=0，F(x)=f(x)2 0xf(t)dt
16、f 2(x) 由条件知，f(x)在0，1 单调上升， f(x)f(0)=0(x(0 ，1)，从而 F(x)与 g(x)=20xf(t)dtf 2(x)同号再考察 g(x)=2f(x)1f(x)0(x (0，1)， g(x)在0，1连续，于是 g(x)在0，1单调上升， g(x)g(0)=0(x (0，1)，也就有 F(x)0(x (0，1) ，即 F(x)在0，1单调上升， F(x)F(0)=0(x(0，1) 因此 F(1)= 01f(x)dx2 01f3(x)dx0 即结论成立【知识模块】 微分中值定理及其应用15 【正确答案】 由极限的不等式性质， 0，当 xa，a)时 0，即f(x)0，
17、也就有 f(a)0 x0a，当 xx0 时 f(x) 0于是由微分中值定理知，当 xx 0， (x，x 0)使得 f(x)=f(x 0)+f()(xx 0)f(x0)+ (xx 0)，由此可得 使得 f(z1)0在x 1，a上应用连续函数零点存在性定理，f(x)在(x 1，a) 上至少存在一个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用16 【正确答案】 设 g(x)= 则 g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g(a)=g(b)，把罗尔定理用于 g(x)即知存在 (a，b)使得 g()=f()=0【知识模块】 微分中值定理及其应用17 【正确答案】 () 令 F(x)= ，显然，F(x)
18、=f(x)由于 F(x)是以 2 为周期的可导函数，故 F(x)在0 ，2上连续，从而必有最大值与最小值设 F(x)分别在 x1，x 2 达到最大值与最小值，且 x1x2，x 1，x 20，2)，则F(x1)，F(x 2)也是 F(x)在( ，+)上的最大值，最小值，因此 x1，x 2 必是极值点又 F(x)可导，由费马定理知 F(x1)=f(x1)=0，F(x 2)=f(x2)=0()f (m)(x)同样为()中类型的函数即可写成 f(m)(x)= (kcoskx+ksinkx)，其中k， k(k=1，2，n)为常数，利用 ()的结论， f(m)(x)在0 ，2) 必有两个相异的零点【知识模
19、块】 微分中值定理及其应用18 【正确答案】 令 F(x)= ，由于因此 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导由于 f(0)=f(1)=0，由罗尔定理知， (0，1)使 f()=0因此，F()=F(1)=0，对 F(x)在，1 上利用罗尔定理得 (，1)，使 F()=0，即【知识模块】 微分中值定理及其应用19 【正确答案】 令 f(x)=lnxx a，即讨论 f(x)在(0，+)有几个零点用单调性分析方法求 f(x)的单调区间则当0xx 0 时，f(x)单调上升；当 xx0 时，f(x) 单调下降；当 x=x0 时，f(x)取最大值f(x0)= 从而 f(x)在(0，+) 有几个零点，
20、取决于 y=f(x)属于图 414 中的哪种情形()当 f(x0)=时，恒有 f(x)0 ( x(0，+)，故 f(x)=0 没有根()当 f(x0)= 时，由于 x(0，+)，当 xx0=ee 时，f(x) 0，故 f(x)=0 只有一个根，即 x=x0=ee( )当 f(x0)= 时，因为 故方程 f(x)=0 在(0，x 0)，(x 0，+)各只有一个跟因此 f(x)=0 在(0 ，+)恰有两个根【知识模块】 微分中值定理及其应用20 【正确答案】 定义域：x0()渐近线：只有间断点 x=0由 = 可知，有垂直渐近线 x=0；由=0 可知，有水平渐近线 y=0【知识模块】 微分中值定理及
21、其应用21 【正确答案】 由 y+P(x)y0(x0)= 0 (x0)，又在0，+)连续，=y(x) 0(x0)=y(x)P(x)y(x)0 (x0)=y(x)在0，+) 单调增加【知识模块】 微分中值定理及其应用22 【正确答案】 考察 f(x)=xasinxb，即证它在(0，a+b有零点显然，f(x)在0，a+b连续，且 f(0)= b0，f(a+b)=a1 sin(a+b)0 若 f(a+b)=0，则该方程有正根 x=a+b若 f(a+b)0，则由连续函数零点存在性定理= c(0，a+b)，使得f(c)=0【知识模块】 微分中值定理及其应用23 【正确答案】 令 f(x)=2x+ln2x
22、+k2lnx(x(0 ，+)，于是本题两曲线交点个数即为函数 f(x)的零点个数由 令 g(x)=x+lnxl 令 f(x)=0 可解得唯一驻点 x0=1(0，+) 当 0x1 时 f(x)0 ，f(x) 在(0，1单调减少；而当x1 时 f(x)0，f(x)在1+)单调增加于是 f(1)=2+k 为 f(x)在(0，+)内唯一的极小值点，且为(0，+)上的最小值点因此 f(x)的零点个数与最小值 f(1)=2+k 的符号有关当 f(1)0 即 k2 时 f(x)在(0，+) 内恒为正值函数，无零点当 f(1)=0 即 k=2 时 f(x)在(0 ， +)内只有一个零点 x0=1当 f(1)0
23、 即 k2 时需进一步考察 f(x)在 x0 +与 x+ 的极限：由连续函数的零点定理可得，x1(0，1)与 x2(1，+) 使得 f(x1)=f(x2)=0，且由 f(x)在(0，1)与(1 ，+) 内单调可知 f(x)在(0，1)内与(1 ，+)内最多各有一个零点，所以当 k2 时，f(x)在(0，+) 内恰有两个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用24 【正确答案】 把不等式改写成 注意到(a x)=axlna，(cosx)=sinx，而sinx 1对 f(t)=a，g(t)=cost ，在区间x，y_上应用柯西中值定理，即知存在满足 0xy 的 ，使得由于axa ， 0sin1，故由
24、上式可得 aya x(cosxcosy)a xlna【知识模块】 微分中值定理及其应用25 【正确答案】 显然 F(0)= =0，于是由罗尔定理知， ，使得F(x1)=0又 F(x)=2(sinx1)f(x)+(sinx1) 2f(x)，对 F(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在 x0* ，使得 F“(x0*)=0注意到 F(x)以 2 为周期，F(x)与 F“(x)均为以 2 为周期的周期函数，于是，使得 F“(x0)=F“(x0*)=0【知识模块】 微分中值定理及其应用26 【正确答案】 () =3cos2t(sint)0，(t0， )，仅当 t=0， ， 时为零=x是 t 的
25、单调( 减) 函数， 反函数 t=t(x)=y=sin3t(x)=y(x)，x1，1() 当 =反函数 t=t(x)可导=y=y(x)可导= =0x1 时 y(x)单调下降，1x0 时 y(x)单调上升=y=y(x)在 1，0，0，1均是凹的y=y(x) 的图形如图 42【知识模块】 微分中值定理及其应用27 【正确答案】 () xx 0，由拉格朗日中值定理， (x0，x)， f(x)=f(x 0)+f()(xx 0)f(x 0)+(xx 0)，又因()因 0，由极限的不等式性质= x0(a，+) ，当 xx 0 时 f(x) 0，由题()得=+【知识模块】 微分中值定理及其应用28 【正确答
26、案】 () 当 x0 时按求导法则得当 x=0 时按导数定义得()由于 f(x)f(0)= 0(x0) ，即 f(x)f(0)，于是由极值的定义可知 x=0 是 f(x)的极大值点() 令 ，于是()对 0，当 n 为 负奇数且n充分大时 xn(，0)，f(x n)0=f(x) 在( ，0)不单调上升；当 n 为正偶数且 n 充分大时 xn(0，)，f(x n) 0=f(x)在(0，)不单调下降【知识模块】 微分中值定理及其应用29 【正确答案】 抛物线上点 P( ，y)到 A(10，0)的距离的平方(如图 44)为问题是求 d(y)在0，+)上的最小值(d(y)在(，+)为偶函数)由于 在(0，+)解 d(y)=0 得 y=于是 =36，d(0)=100又 =+=d(y)在0，+) 的最小值为36，即最短距离为 6【知识模块】 微分中值定理及其应用
