1、考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f()可导，恒正，且 0ab 时恒有 f()f()，则（A）bf(a) af(b)（B） abf() 2f(b)（C） af(a) f()（D）abf() 2f(a)2 若函数 f()在0 ，)上连续，在(0，) 内可导，且 f(0)0，f()k0，则在(0， )内 f()（A）没有零点（B）至少有一个零点（C）只有一个零点（D）有无零点不能确定3 曲线 yarctan 渐近线的条数是（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题4 f() ，的极大值点是 _，极小
2、值点是_5 曲线 y3 1 的渐近线方程为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 证明奇次方程 0 一定有实根，其中常数a107 设 f()在( ，)可导，且 A，求证： c(，)，使得 f(c)08 设 f() ()求 f()； ()证明：0 是 f()的极大值点； () 令 n 1，考察 f(n)是正的还是负的， n 为非零整数； ()证明：对 0，f()在( ，0上不单调上升，在0， 上不单调下降9 求函数 f() (，)的最小值10 将长为口的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少?11 求从点 A(10，0) 到抛
3、物线 y24 之最短距离12 求圆 2y 21 的一条切线，使此切线与抛物线 y 22 所围面积取最小值，并求此最小值13 要造一个圆柱形无盖水池，使其客积为 V0m3底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径 r 与高 h 各是多少，才能使水池造价最低?14 证明函数恒等式 arctan ， (1，1)15 设函数 f()，g()在 0 有连续的二阶导数且 f(0)g( 0)，f( 0)g( 0)，f(0)g( 0)0，说明这一事实的几何意义16 设 f()在(a，b)内可导，证明： ， 0(a，b)且 0 时，f() 在(a，6)单调减少的充要条件是 f( 0)f( 0)( 0)f() (*)
4、17 求函数 y 的单调区间、极值点及其图形的凹凸区间与拐点18 求曲线 y ln(1e )的渐近线方程19 在椭圆 1 内嵌入有最大面积的四边平行于椭圆轴的矩形，求该最大面积20 在半径为 a 的半球外作一外切圆锥体，要使圆锥体体积最小，问高度及底半径应是多少?21 设函数 f()在区间0 ，a上单调增加并有连续的导数，且 f(0)0，f(a)b，求证：0af()d 0bg()dab，其中 g()是 f()的反函数22 设 f()在0，)上连续，在(0，) 内可导且满足 f(0)0，f()0，f()f()(0)，求证：f()023 证明函数 f() 在(0，)单调下降24 设 f()在0，a
5、 二次可导且 f(0)0，f() 0求证： 在(0，a 单调下降25 设 f()在(a，b)四次可导， 0(a，b)使得 f( 0)f( 0)0，又设 f(4)()0( (a，b)，求证 f()在(a ，b)为凹函数26 设 y()是由方程 2y32y 22y 21 确定的，求 yy()的驻点，并判定其驻点是否是极值点?27 求函数 y (0，)的单调区间与极值点，凹凸区间与拐点及渐近线28 设 a0，求 f() 的最值29 求函数 f() (2t)e -tdt 的最值30 在椭圆 1 的第一象限部分上求一点 P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小31 设 f()在0，1连续，
6、在(0，1)内 f()0 且茄 f()f() a2，又由曲线Yf()与直线 1，y0 围成平面图形的面积为 2，求函数 yf()，问 a 为何值，此图形绕 轴旋转而成的旋转体体积最小?32 设 f()在0，b可导，f()0( (0，b)，t0，b，问 t 取何值时，图 410中阴影部分的面积最大? 最小 ?考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 微分中值定理及其应用2 【正确答案】 C【试题解析】 讨论函数的零点，一般要用连续函数在闭区间上的介值定理根据拉格朗日中值定理，f()f(
7、0) f()(0)，得 f()f(0)k 显然当 足够大时 f()0 又 f(0)0，这就表明在(0，)内存在 f()的零点，f()0，即有 f()单调增加，从而零点唯一，故选 C【知识模块】 微分中值定理及其应用3 【正确答案】 A【试题解析】 令 f()arctan ，f()的定义域是(，2)(2，1)(1，)，因f() ，从而 1 与 2 不是曲线 yf()的渐近线又因 故 y 是曲线yf()的水平渐近线综合知曲线 yf() 有且只有一条渐近线选 A【知识模块】 微分中值定理及其应用二、填空题4 【正确答案】 0；【试题解析】 01 时 f()0，按定义 0 是极大值点，0 时 f()2
8、ln(ln 21) 得 是极小值点 由于 f()是偶函数， 也是极小值点【知识模块】 微分中值定理及其应用5 【正确答案】 y3 1【试题解析】 只有间断点 0， 0 为垂直渐近线又则有斜渐近线 y31【知识模块】 微分中值定理及其应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 不妨设 a0令 f() ，则 又 f()在(，)连续，因此在( ， )内 f()至少存在一个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用7 【正确答案】 由极限不等式性质转化为有限区间的情形(如图 43)若 f()A，显然成立若 f() A，必存在 0，f( 0)A，不妨设 f(0)A由极限不等式性质
9、 b 0，f(b) f( 0)； a 0，f(a)f( 0)f()在a，b有最小值，它不能在 a 或 b 处达到，必在(a，b)内某点c 处达到，于是 f(c)0【知识模块】 微分中值定理及其应用8 【正确答案】 () 当 0 时按求导法则得当 0 时按导数定义得 f(0) 0 ()由于 f()f(0)(2sin)0(0)，即 f()f(0)，于是由极值的定义可知 0 是 f()的极大值点 ()令 n (n1，2 ，3，)，则 (1) n，于是 f( n)()对 0，当 n 为 负奇数且n充分大时 n(，0) ，f( n)0 f()在(，0)不单调上升；当 n 为正偶数且 n 充分大时 n(
10、0， )，f( n)0 得 f()在(0，) 不单调下降【知识模块】 微分中值定理及其应用9 【正确答案】 先求导数并得驻点由 f()0 即 2 得唯一驻点 再求由于 f()在(， )内可导，且有唯一的极小值点 ，因而必是最小值点， f()的最小值为【知识模块】 微分中值定理及其应用10 【正确答案】 设围成圆的铁丝长为 ，则围成正方形的铁丝长为 a，于是圆的半径 r ，正方形边长 (a)，问题是求面积S() ， (0，a)的最小值点由因此 时面积和最小 4【知识模块】 微分中值定理及其应用11 【正确答案】 抛物线上点 P( ，y)到 A(10，0)的距离的平方(如图 44)为 d(y) y
11、 2 问题是求 d(y)在0，)上的最小值(d(y)在(，)为偶函数) 由于 d(y) ， 在(0，)解 d(y)0 得 y 于是 d( )36，d(0)100 又 d(y)在0， )的最小值为 36，即最短距离为 6【知识模块】 微分中值定理及其应用12 【正确答案】 如图 45，圆周的参数方程为 cos ，ysin 圆周上 点(cos， sin)处切线的斜率是 cot ，于是切线方程是 ycot它与 y 22 交点的横坐标较小者为 ，较大者为 ，则 ， 是方程2cot 2 0 的根，并且切线与抛物线所围面积为为求( )3 最小值，只要求() 2 最小值，由一元二次方程根与系数关系得所以，当
12、 20时取最小值 3由 sin 因此，所围面积最小值为Smin 所求切线有两条：【知识模块】 微分中值定理及其应用13 【正确答案】 先求出水池总造价的表达式设水池周围单位面积造价为 a 元m 2，水池造价为 y，则 y2rha2ar 2h 又知 V0r 2h 代入上式得y2a( r 2)，0r 现求 y(r)在(0，)上的最小值点求 y(r)：因此，当 r(相应地，h )时，即水池造价最低【知识模块】 微分中值定理及其应用14 【正确答案】 令 f()arctan ，g() ，要证 f()g()当(1，1)时成立， 只需证明：f()，g() 在( 1，1)可导且当 (1，1)f()g()；
13、1，1)使得 f(0)g( 0) 由初等函数的性质知 f()与 g()都在(1， 1)内可导，计算可得即当 (1， 1)时 f() g()又 f(0)g(0)0，因此当 (1，1)时 f()g() ，即恒等式成立【知识模块】 微分中值定理及其应用15 【正确答案】 曲线 yf()，yg() 在公共点 M0(0，f( 0)即( 0，g( 0)处相切，在点 M0 的某邻域有相同的凹凸性因 f()，g()在 处连续，f( 0)g( 0)0(或 0) 0 的某邻域( 0， 0) ，当 (0 ， 0)时 f()0，g()0( 或 f()0，g ()0)又由曲率计算公式知，这两条曲线在点 M0 处有相同
14、的曲率【知识模块】 微分中值定理及其应用16 【正确答案】 必要性：设(*)成立， 1， 2(a，b)且 1 2 f(2)f( 1)f( 1)(2 1)，f( 1)f( 2)f( 2)(1 2) 两式相加 f(1)f( 2)(2 1)0 (1)f( 2)，即 f()在(a，b)单调减少 充分性：设 f()在(a，b)单调减少对于 ， 0(a，b)且 0，由微分中值定理得 f()f( 0)f( 0)( 0)f()f( 0)( 0)0， 其中 在 与 0 之间，即(*)成立【知识模块】 微分中值定理及其应用17 【正确答案】 () 定义域 1，间断点 1，零点 0，且是奇函数 ()求 y，y和它们
15、的零点 由 y0 得驻点 0， ；由 y0 得 0，由这些点及间断点 1 把函数的定义域按自然顺序分成(， )，( ，1)，(1，0)，(0，1)，(1， )，( ， )由此可列出函数如下分段变化表，并标明每个区间上函数的单渊性、凹凸性及相应的极值点与拐点因此，单调增区间是(， )，( ，)，单调减区间是( ，1)，(1， 1)，(1， )；极大值点是 ，对应的极大值是 ，极小值点是 ，对应的极小值是 ；凸区间是( ，1) ，(0，1)，凹区间是(1，0)，(1， )；拐点是(0，0)【知识模块】 微分中值定理及其应用18 【正确答案】 只有间断点 0因 ，故有垂直渐近线 0又因此，时有斜渐近
16、线 y 最后，0，于是 时有水平渐近线 y0【知识模块】 微分中值定理及其应用19 【正确答案】 设椭圆内接矩形在第一象限中的顶点为 M(，y)，则矩形的面积为 S()4y (0a) 下面求 S()在0，a上的最大值先求 S()：令 S()0 解得 ，因 S(0)S(a) 0 ，S( )2ab，所以S()在0，a 的最大值即内接矩形最大面积为 2ab【知识模块】 微分中值定理及其应用20 【正确答案】 设外切圆锥的底半径为 r，高为 h见图 48，记ABO 则tan ，于是圆锥体体积为 求 V(r)的最小值点等价于求 f(r) 的最小值点由于因此，当 时圆锥体体积最小【知识模块】 微分中值定理
17、及其应用21 【正确答案】 令 F(a) 0af()d 0f(a)g()daf(a)，对 a 求导得 F(a)f(a)gf(a)f(a)af(a)f(a)， 由题设 g()是 f()的反函数知 gf(a)a，故 F(a)0，从而 F(a)为常数又 F(0)0，故 F(a)0，即原等式成立【知识模块】 微分中值定理及其应用22 【正确答案】 由 f()f()0 ， 得 e f()()e ()0 又 f()e 0 0， 则 f()e f()e 0 0进而 f()0(0，)， 因此 f()0(0，)【知识模块】 微分中值定理及其应用23 【正确答案】 下证 2ln2 (12 )ln(1 2)0( 0
18、)令 t2 ， 0 时 t1， 2 ln2(12 )ln(12 )tlnt(1t)ln(1t) g(t) 由于 g(t)lntln(1 t)0( 0)g(t)在(0，)单调下降，又 0 g(t)0 (t0)【知识模块】 微分中值定理及其应用24 【正确答案】 由微分中值定理， (0，a， (0，)使得 f() f()f()f()f(0)f()f() f()f()0(因为 f()单调减少)【知识模块】 微分中值定理及其应用25 【正确答案】 由 f(4)()0( (a，b)，f() 在(a ，b) 单调上升又因 f(0)0， 故 从而 f()在 0，b)单调上升，在(a ， 0单调下降又 f(
19、0)0，故 f() 0( (a，b)， 0)，因此 f()在(a，b)为凹函数【知识模块】 微分中值定理及其应用26 【正确答案】 () 先用隐函数求导法求出 y()将方程两边对 求导得 6y2y4yy2y 2y20 整理得 ()由y()0 及原方程确定驻点由 y()0 得 y 代入原方程得 232 22 21，即 3 2 310，( 1)(2 2 1)0 仅有根1当 y 1 时，3y 22y0因此求得驻点 1 ( )判定驻点是否是极值点将式化为 (3y2 2y)y y 将式两边对 在 1 求导，注意y(1)0，y(1)1，得 2y (1)1，y(1) 0 故 1 是隐函数 y()的极小值点【
20、知识模块】 微分中值定理及其应用27 【正确答案】 函数 y 在定义域(0，)上处处连续，先求 y，y和它们的零点及不存在的点由 y0 得 1； 时 y不存在； 时 y不存在；无 y0 的点 现列下表：因此得 y 单调减少区间是(0，1)，单调增加区问是(1，)，1 是极小值点，凹区间是(0， )，凸区间是( ，)，( ，0)是拐点 最后求渐近线因 y 在(0，)连续，且 y0，所以无垂直渐近线由于因此只有斜渐近线 y 【知识模块】 微分中值定理及其应用28 【正确答案】 f() 在( ，)上连续且可写成如下分段函数由此得 ( ，0)时 f()0，故 f()在( ，0单调增加； (a，)时 f
21、)0，故 f()在 a，) 单调减少从而 f()在0 ，a上的最大值就是 f()在(， )上的最大值 在(0，a) 上解 f()0，即(1a) 2(1) 20，得 又 因此 f()在0，a即在(， )的最大值是 由于 f()在( ， 0)单调增加，在(a，)单调减少，又 f()在 0，a 的最小值 0，因此 f()在(， )上无最小值【知识模块】 微分中值定理及其应用29 【正确答案】 由于 f()是偶函数，我们只需考察 0，)由变限积分求导公式得 f() 2(2) 解 f()0 得 0 与 ，于是从而，f()的最大值是 f( ) 02(2t)e -tdt 02(2t)de -t(t2)e
22、t 02 02e-tdt 2e -t 021e -2 由上述单调性分析，为求最小值，只需比较 f(0)与 f()的大小由于因此 f(0)0 是最小值【知识模块】 微分中值定理及其应用30 【正确答案】 椭圆参数方程为 acost ，ybsint过椭圆上第一象限任意点的切线参数方程为 分别令 y0 与 0，得 ，y 轴的截距为 S(t) (0t )的最小值点，即 f(t)sintcost sin2t(0t )的最大值点，显然 t 为所求因此( ，y) 时面积最小【知识模块】 微分中值定理及其应用31 【正确答案】 求旋转体的体积求 V(a)的最小值点由于 则当a5 时 f()0( (0，1)，旋转体体积取最小值【知识模块】 微分中值定理及其应用32 【正确答案】 由于 s(t) 0tf(t)f()d tbf()f(t)d tf(t) 0tf()d tbf()d(tb)f(t) 在0，b可导，且 S(t)tf(t) f(t)f(t)f(t) f(t)(tb)f(t)则 S(t)a 在 ，在，因此 t 时，S(t)取最小值 S(t) 在0 ，b连续，也一定有最大值，且只能在 t0 或 tb 处取得 S(0) 0bf()dbf(0)，S(b) bf(b) 0bf()d， S(b)S(0) ，不能肯定【知识模块】 微分中值定理及其应用
