1、考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f()在 处连续，且 2，则 f()在 a 处（A）不可导（B）可导且 f(a)0（C）有极大值（D）有极小值2 若 f()3f() 21 e 且 f(0)0，f()在 0 连续，则下列正确的是（A）(0 ，f(0) 是曲线 yf() 的拐点（B） f(0)是 f()的极小值（C） f(0)不是 f()的极值，(0，f(0)也不是 yf()的拐点（D）f(0)是 f()的极大值3 设 f()在( ，b)定义， 0(a，b)，则下列命题中正确的是（A）若 f()在(a
2、，b) 单调增加且可导，则 f()0( (a，b)（B）若 (0， f(0)是曲线 yf()的拐点，则 f()0（C）若 f(0)0，f( 0)0，f( 0)0，则 0 一定不是 f()的极值点（D）若 f()在 0 处取极值，则 f(0)0二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 设 讨论 f()与 g()的极值5 求函数 y 的单调区间，极值点，凹凸性区间与拐点6 作函数 y 的图形7 设 f()，g()在(a，b) 内可导，g()0 且 0 ( (a，b)证明：存在常数 c，使得 f()cg()， (a，b)8 证明：arctan arcsin (，) 9 设 P()在0，)
3、连续且为负值，yy(戈)在0 ， )连续，在(0，)满足yP()y0 且 y(0)0，求证：y()在0，)单调增加10 设 g()在a，b连续，f()在a，b二阶可导，f(a)f(b)0，且对 (ab)满f()g()f()f()0求证：f()0 ( a，b)11 设 f()在a，b连续，在(a ，b)可导，f(a) f(b)，且 f()不恒为常数，求证：在(a， b)内存在一点 ，使得 f()012 证明方程 asin b(a0，b0 为常数)至少有一个正根不超过 ab13 求证：e e 2cos5 恰有两个根14 设当 0 时，方程 k 1 有且仅有一个解，求 k 的取值范围15 讨论曲线
4、y2ln 与 y2 ln 2k 在(0，)内的交点个数(其中 k 为常数)16 证明： 2ln(1)( 0)17 设 f()在1，)可导， f()kf( 1)，在 (1，)的 子区间上不恒等，又 f(1)M，其中 k，M 为常数，求证：f() (1)18 设 ae，0y ，求证 aya (coscosy)a lna19 设 0 1 2，f()在 1， 2可导，证明：在( 1， 2)内至少 一个 c，使得f(c)(c) 20 设 f()在0，1可导且 f(1)2 f()d，求证： (0，1)，使得 f()2f() 21 已知以 2 为周期的周期函数 f()在( ，)上有二阶导数，且 f(0)0设
5、F()(sin1) 2)f()，证明 使得 F( 0)022 设 ba0，f()在a，b上连续，在(a ，b)内可导，f(a)f(b)，求证：存在， (a，b)使得 f() f()23 设 f()在 0 的某邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)0，f(0)存在 求证：24 设有参数方程 0t ()求证该参数方程确定 yy()，并求定义域； () 讨论 yy()的可导性与单调性； ()讨论 yy()的凹凸性25 设 f()n(1) n(n 为自然数 )，()求 f()；() 求证： 26 ()设 f()在， )( ，) 连续，在( ，)(8，)可导，又f() A( f()A)，求证：f +(0)
6、A(f -(0)A) ()设 f()在(0 ， 0)连续，在( 0 ， 0) 可导，又 f()A ，求证：f( 0)A () 设 f()在(a，b)可导， 0(a，b)是 f()的间断点，求证： 0 是 f()的第二类间断点27 设 f()在(a，) 内可导，求证： ()若 0(a， )，f() 0( 0)，则； () 若 f()A0，则 f()考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 f()在 a 连续 f()f(a)又根据极限的保号性0，当 0a 时 0，即 f()f(a)
7、0因此 f(a)为极小值故选 D【知识模块】 微分中值定理及其应用2 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(0)0 知 0 是 f()的驻点为求 f(0) ，把方程改写为 f()3f() 2 令 0，得 f(0) 10 得 f(0)为极大值故选 D【知识模块】 微分中值定理及其应用3 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A、B、D 涉及到一些基本事实 若 f()在(a，b) 可导且单调增加推出 f()0(a，b) 若( 0，f( 0)是曲线 yf()的拐点，则 f( 0)可能不存在 若 0 是 f()的极值点，则 f(0)可能不存在 因此选项 A、B、D 均不正确(如图 41 所示) 故选 C
8、【知识模块】 微分中值定理及其应用二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】 () 对于 f()：当 0 时 f()e 0，从而 f()在(0，)内无极值 当 0 时 f()(1)e ，令 f()0，得 1当 1 时 f()0，当10 时 f()0，故 f(1)e -1 为极小值 再看间断点 0 处，当 0时 f()e 0f(0)；当 0 且 充分小时，f()e 20，故 f(0)0 为极大值 ( )对于 g()：当 0 时 g()e 0，从而 g()在(0，) 内无极值 当0 时与 f()同，g(1)e -1 为极小值 在间断点 0 处 g(0)1当 0时 g()1；
9、当 0 且充分小时 g()为负值且g()1，从而有 g()1故 g(0)非极值【知识模块】 微分中值定理及其应用5 【正确答案】 定义域：1 ()由 y则单调增区间(0，1) ；单调减区间(，0)(1， )；极小值点 0得出凹区间( ，1)(1，)，凸区间(， )；拐点 【知识模块】 微分中值定理及其应用6 【正确答案】 定义域：0 () 由 y ，y0 得 e，y()渐近线：只有间断点 0由 可知，有垂直渐近线 0；由0 可知，有水平渐近线 y0【知识模块】 微分中值定理及其应用7 【正确答案】 因为所以存在常数 c，使得 c( (a，b)，即 f()cg() ( (a，【知识模块】 微分中
10、值定理及其应用8 【正确答案】 令 f()arctan arcsin ，则 f()0， (，) 得 f()为常数又 f(0)0 f()0，( ，)【知识模块】 微分中值定理及其应用9 【正确答案】 由 yP()y0( 0) 0(0)，又y()在0，)连续， y()在0 ，) 单调y(0)0 得 y()0(0)y()P()y()0( 0) y()在0，)单调增加【知识模块】 微分中值定理及其应用10 【正确答案】 若 f()在a，b上不恒为零，则 f()在a，b取正的最大值或负的最小值 不妨设 f(0) f()0，则 0(a，b)且 f(0)0，f( 0)0 f( 0)g( 0)f(0)f( 0
11、)0 与已知条件矛盾同理，若 f(1) f()0，同样得矛盾因此 f()0( a，b)【知识模块】 微分中值定理及其应用11 【正确答案】 若不然 (a，b)，f()0 f()在a ，b单调不增a，b，f(a)f()f(b) f()f(a)f(b)在a，b为常数，矛盾了【知识模块】 微分中值定理及其应用12 【正确答案】 f() asinb，即证它在(0，a b有零点显然，f()在0，ab 若 f(ab)0，则该方程有正根 ab若 f(ab)0，则由连续函数零点存在性定理 c(0，ab)，使得 f(c)0【知识模块】 微分中值定理及其应用13 【正确答案】 即证 f()e e 2cos5 在(
12、 ，)恰有两个零点由于 f()e e 2sin， f () e e 2cos 22cos0 (0)， 因此 f()在(， ) 又 f(0)0 f()在(，0单调下降，在0， )单调上升 又 f(0)10， f()，因此 f()在( ，0)与(0， )各 唯一零点，即在( ，)恰有两个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用14 【正确答案】 设 f()k 1(0) ，则()当 k0 时，f()0，f()单调减少，又故 f()此时只有一个零点 ()当 k0 时，由 f()0 得 ，由于 f()0， 是极小值点，且极小值为 当极小值为零时，即当 10 时，有 k ，此时方程有且仅有一个根；当 k 时
13、，方程无根或有两个根因此，k 的取值范围为 k0 及 k【知识模块】 微分中值定理及其应用15 【正确答案】 令 f()2ln 2k2ln(0，)，于是本题两曲线交点个数即为函数 f()的零点个数由 f() 2 (ln 1)， 令 g()ln1 g() 令f()0 可解得唯一驻点 01(0，) 当 01 时 f()0，f() 在(0，1 单调减少；而当 1 时 f()0，f()在1，) 单调增加于是 f(1)2k 为 f()在(0， )内唯一的极小值点，且为(0，)上的最小值点因此 f()的零点个数与最小值 f(1)2k 的符号有关 当 f(1)0 即 k2 时 f()在(0，)内恒值函数，无
14、零点 当 f(1)0 即 k2 时 f()在(0，)内只有一个零点 01 当 f(1)0 即 k2 时需进一步考察 f()在 0 +与 的极限： )2(k) ln(ln 2) ， (2(k)ln(ln2)， 由连续函数的零点定理可得， 1(0，1)与 2(1，)使得 f(1)f( 2)0，且由f()在(0 ，1)与(1，) 内单调可知 f()在(0 ，1)内与(1，)内最多各有一个零点，所以当 k2 时，f() 在(0，)内恰有两个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用16 【正确答案】 () 对 f(t)ln(1t)在0，区间用拉格朗日中值定理得其中c(0，)因此 ln(1) (0) ( )
15、对 f(t)ln(1t)与 g(t)t t2 在0，区间用柯西中值定理得其中c(0，)当 0 且 0 时，11c 20 1 ln(1) 2 若 0， 20，上式显然成立因此 ln(1 ) 2(0)【知识模块】 微分中值定理及其应用17 【正确答案】 由已知不等式得 在(1， )的 子区间不恒为零，两边乘 k 得 k.f()0(1)， 在(1，) 的 子区间不恒为零，又 k+1f()在1，)连续 k+1f()在1， )单调下降，得 k+1f() k+1f() 1 f(1)M(1)【知识模块】 微分中值定理及其应用18 【正确答案】 把不等式改写成 注意到(a)a lna，(cos)sin，而si
16、n1对 f(t)a t，g(t)cost ，在区间，y上应用柯西中值定理，即知存在满足 0 y 的 ，使得即 aya (coscosy).a lna. 由于a a， 0sin1，故由上式可得 a ya (cos cosy)alna【知识模块】 微分中值定理及其应用19 【正确答案】 现对与 e-在 1， 2用柯西中值定理， c(1， 2)，有【知识模块】 微分中值定理及其应用20 【正确答案】 令 F() f()，则 F()在0，1可导，且因此，由罗尔定理， (0，) (0，1)，使得 F() 0，即 f()2f()【知识模块】 微分中值定理及其应用21 【正确答案】 显然 F(0)F( )0
17、，于是由罗尔定理知， ，使得，F( 1)0又 F() 2(sin 1)f()(sin1) 2f(z)，对 F()应用罗尔定理，由于 F()二阶可导，则存在 ，使得 F(0*)0 注意到 F()以 2 为周期，F()与 F() 均为以 2 为周期的周期函数，于是02 0*，即 0(2， )，使得 F( 0)=F( 0*)0【知识模块】 微分中值定理及其应用22 【正确答案】 因为 f()在a，b上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在(a， b)，使 令 g()，由柯西中值定理知，(a，b)，使 将式代入式，即得 f()(a b)【知识模块】 微分中值定理及其应用23 【正确答案】 因为 ln(1
18、)(1，)，故由拉格朗日中值定理可知，存在 ()(ln(1)，)，使得 由此可得由于当 0 时，有1；当10 时，有 1 故由夹逼定理知，【知识模块】 微分中值定理及其应用24 【正确答案】 () 3cos 2t(sint)0 ，(t 0， )，仅当 t0， ， 时为零，因而得 是 t 的单调( 减)函数 反函数 tt() ysin 3t()y()， 11 ()记 0t 当 t0， ， 时 反函数 tt()可导，得 yy()可导，则注意 yy()在1， 1连续， t 与 的对应关系：得 01 时 y()单调下降，10 时 y()单调上升因此 y()在1， 0，0，1均是凹的 yy()的图形如图
19、 42【知识模块】 微分中值定理及其应用25 【正确答案】 () 先求 f()n(1) n-11(n1) 0，得唯一驻点 n又 f(0)f(1)0，f()n. 0因此f()f( n) ( )注意 已知数列单调下降极限为【知识模块】 微分中值定理及其应用26 【正确答案】 ()另一类似 ( )由题 ()得 f+(0)f -(0)A f(0)A直接证明()即证f()中至少一个不 若它们均存在， f()A ，由题()得 f(0)A 因 f()在 0 可导 A+A -f( 0) f()在 0 连续，与已知矛盾因此， 0 是 f()的第二类间断点【知识模块】 微分中值定理及其应用27 【正确答案】 () 0，由拉格朗日中值定理， (0，) ， f()f( 0)f()( 0)f( 0)( 0)， 又因()因0，由极限的不等式性质 0(a，)，当 0 时f() 0，由题 () f() 【知识模块】 微分中值定理及其应用
