1、考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在(a ，b)定义，x 0(a，b)，则下列命题中正确的是（A）若 f(x)在(a，b)单调增加且可导，则 f(x)0(x (a，b)（B）若 (x0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点，则 f“(x0)=0（C）若 f(x0)=0，f“(x 0)=0，f“(x 0)0，则 x0 一定不是 f(x)的极值点（D）若 f(x)在 x=x0 处取极值，则 f(x0)=02 曲线 y= 渐近线的条数是（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题3 曲线 y=
2、3x+ +1 的渐近线方程为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 证明函数恒等式 arctanx= ，x (1，1)5 设 f(x)在(a ，b)内可导，证明： x，x 0(a，b)且 xx0 时，f(x)在(a，b)单凋减少的充要条件是 f(x 0)+f(x0)(x x0)f(x) (*)6 在椭圆 =1 内嵌入有最大面积的四边平行于椭圆轴的矩形，求该最大面积7 设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导且满足 f(0)=0，f(x)0，f(x)f(x)( x0)，求证： f(x)08 设 f(x)在(a ，b)四次可导， x0(a，b)使得 f“(x0)=f“(x
3、0)=0，又设 f(4)(x)0(x(a，b) ，求证 f(x)在(a，b)为凹函数9 求函数 y= (x(0，+)的单调区间与极值点，凹凸区间与拐点及渐近线10 在椭圆 =1 的第一象限部分上求一点 P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小11 证明：当 x1 时12 求证：x(0，1)时13 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且f(x)1，又 f(0)=f(1)，证明：对于 x1，x 20，1，有14 设 f(x)在(a，b)二阶可导， x1，x 2(a，b)，x 1x2， t(0，1)，则 ()若 f“(x)0( x(a，b) ，有 ftx 1+(1t)x
4、2tf(x 1)+(1t)f(x 2)， 特别有()若 f“(x)0( x(a，b) ，有 ftx 1+(1t)x 2tf(x 1)+(1t)f(x 2)， 特别有15 设 f(x)在0，b上可导，且 f+(a)与 f (b)反号，证明：存在 (a，b)使得 f()=016 设 f(x)在0，1三阶可导，且 f(0)=f(1)=0设 F(x)=x2f(x)，求证：在(0，1)内存在 c，使得 F“(c)=017 设 f(x)在0，1上连续，且满足 01f(x)dx=0， 01xf(x)dx=0，求证：f(x) 在(0，1)内至少存在两个零点18 设 f(x)在(a，b)内可导，且 x0(a，b
5、)使得 f(x) 又 f(x0)0( 0)， (如图 413)，求证：f(x) 在(a ，b)恰有两个零点19 设 f(x)在a，b连续，在(a，b) 可导，又 ba0，求证： ， (a，b)使得20 设 f(x)= 讨论 f(x)与 g(x)的极值21 设 f(x)，g(x) 在(a，b) 内可导，g(x)0 且 证明：存在常数 c，使得 f(x)=cg(x)，x (a，b)22 设 g(x)在a，b 连续，f(x)在a ，b二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对 x(axb)满足f“(x)+g(x)f(x)f(x)=0 求证： f(x)0 (xa，b) 23 求证：e x+ex +2cos
6、x=5 恰有两个根24 证明：x x2ln(1+x)x ( x0)25 设 0x 1x 2，f(x)在x 1，x 2可导，证明：在(x 1，x 2)内至少 一个 c，使得26 设 ba0，f(x)在a，b上连续，在(a ，b)内可导，f(a)f(b) ，求证：存在， (a，b)使得27 设 f(x)=nx(1x) n(n 为自然数)，28 证明奇次方程 a0x2n+1+a1x2n+a2nx+a2n+1=0 一定有实根，其中常数 a0029 求函数 f(x)= (x(，+)的最小值30 求圆 x2+y2=1 的一条切线，使此切线与抛物线 y=x22 所围面积取最小值，并求此最小值考研数学二（微分
7、中值定理及其应用）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 A，B，D 涉及到一些基本事实若 f(x)在(a，b) 可导且单调增加=f(x)0(x(a，b)若(x，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点，则 f“(x0)可能不存在若x=x0 是 f(x)的极值点，则 f(x0)可能不存在因此 A，B，D 均不正确(如图 41 所示)选 C【知识模块】 微分中值定理及其应用2 【正确答案】 A【试题解析】 令 f(x)= ，f(x) 的定义域是(，2)(2，1)(1，+)，因f(x) ，从而 x=1 与 x=2 不是曲
8、线 y=f(x)的渐近线又因故 y= 是曲线 y=f(x)的水平渐近线综合知曲线 y=f(x)有且只有一条渐近线选 A【知识模块】 微分中值定理及其应用二、填空题3 【正确答案】 y=3x+1【试题解析】 只有间断点 x=0， =x=0 为垂直渐近线又 =有斜渐近线 y=3x+1【知识模块】 微分中值定理及其应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】 令 f(x)=arctanx，g(x)= ，要证 f(x)=g(x)当 x(1，1)时成立，只需证明：1f(x)，g(x)在( 1，1)可导且当 x(1，1)时 f(x)=g(x)； 2 x0(1，1)使得 f(x0)
9、=g(x0) 由初等函数的性质知 f(x)与 g(x)都在(1，1)内可导，计算可得即当x(1，1)时 f(x)=g(x)又 f(0)=g(0)=0，因此当 x(1，1)时 f(x)=g(x)，即恒等式成立【知识模块】 微分中值定理及其应用5 【正确答案】 必要性：设(*)成立， x1，x 2(a，b)且 x1x 2= f(x2)f(x 1)+f(x1)(x2x 1)，f(x 1)f(x 2)+f(x2)(x1x 2) 两式相加 = f(x 1)f(x 2)(x2x 1)0 =f(x 1)f(x 2)，即 f(x)在(a，b) 单调减少 充分性：设 f(x)在(a，b)单调减少对于x，x 0(
10、a， b)且 xx0，由微分中值定理得 f(x)f(x 0)+f(x0)(xx 0)=f()f(x 0)(xx 0)0，其中 在 x 与 x0 之间，即(*)成立【知识模块】 微分中值定理及其应用6 【正确答案】 设椭圆内接矩形在第一象限中的顶点为 M(x，y)，则矩形的面积为S(x)=4xy= (0xa)下面求 S(x)在0，a上的最大值先求 S(x)：令 S(x)=0 解得 x= ，因 S(0)=S(a)=0， =2ab，所以 S(x)在0，a 的最大值即内接矩形最大面积为 2ab【知识模块】 微分中值定理及其应用7 【正确答案】 由 f(x)f(x)0， 得 e x f(x)f(x)=e
11、 x f(x)0又 f(x)ex x=0=0， 则 f(x)e x f(x)ex x=0=0进而 f(x)0(x0，+)，因此 f(x)0( x0，+) 【知识模块】 微分中值定理及其应用8 【正确答案】 由 f(4)(x) 0(x(a，b)，知 f“(x)在 (a，b)单调上升又因 f“(x0)=0，故 从而 f(x)在(a，x 0单调下降，在x 0，b)单调上升又f“(x0)=0，故 f“(x)0(x(a，b) ，xx 0)，因此 f(x)在(a，b)为凹函数【知识模块】 微分中值定理及其应用9 【正确答案】 函数 y= 在定义域(0，+)上处处连续，先求 y，y“和它们的零点及不存在的点
12、由y=0 得 x=1；x= 时 y不存在； x= 时 y“不存在；无 y“=0 的点现列下表：因此得 y= 单调减少区间是(0，1) ，单调增加区间是(1，+)，x=1 是极小值点，凹区间是 ，凸区间是 是拐点 最后求渐近线因 y=在(0，+)连续，且 =0，所以无垂直渐近线由于因此只有斜渐近线y=x【知识模块】 微分中值定理及其应用10 【正确答案】 过椭圆上任意点(x 0，y 0)的切线的斜率 y(x0)满足 切线方程为 yy 0= (xx 0) 分别令 y=0 与 x=0，得 x， y 轴上的截距：于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图 49)为问题是求：S(x)= (0xa) 的
13、最小值点，其中 y= ，将其代入 S(x)中，问题可进一步化为求函数 f(x)=x2(a2x 2)在闭区间0 ，a 上的最大值点 由 f(x)=2x(a22x 2)=0(x(0，a) 得 a22x 2=0，x=x 0=注意 f(0)=f(a)=0，f(x 0)0，故 x0= 是 f(x)在0，a的最大值点因此为所求点【知识模块】 微分中值定理及其应用11 【正确答案】 对 x1 引入函数 f(x)=lnx+ 2，则 f(x)在1，+)可导，且当x1 时 从而 f(x)在1，+)单调增加，又 f(1)=0，所以当 x1 时，f(x)f(1)=0，即 lnx+ 20 令 g(x)=lnx+，则 g
14、(x)在1，+)可导，且当 x1 时故 g(x)在区间1，+) 上单调减少，又 g(1)=0，所以当 x1 时 g(x)g(1)=0 ，即 lnx+当 x1 时成立【知识模块】 微分中值定理及其应用12 【正确答案】 令 g(x)= ，则当 x0 时有故 g(x)在(0，1)内单调下降又 g(x)在(0，1 连续，且 g(1)= 1， g(x)在 x=0 无定义，但若补充定义 g(0)= ，则 g(x)在0 ，1上连续又 g(x)0，0x1，因此 g(x)在0，1单调下降所以，当 0x1 时 g(1)g(x) g(0)，即 成立【知识模块】 微分中值定理及其应用13 【正确答案】 联系 f(x
15、1)f(x 2)与 f(x)的是拉格朗日中值定理不妨设0x1x21分两种情形： 1)若 x2x 1 ，直接用拉格朗日中值定理得 f(x 1)f(x 2)=f()(x 2x 1)=f()x 2x 1 2)若 x2x 1 ，当0x 1x 21 时，利用条件 f(0)=f(1)分别在0，x 1与x 2，1上用拉格朗日中值定理知存在 (0，x 1)，(x 2，1)使得 f(x 1)f(x 2)=f(x 1)f(0)f(x 2)f(1) f(x 1)f(0) + f(1)f(x 2) =f()x 1+f()(1x 2) x 1+(1x 2)=1(x 2x 1) ， 当 x1=0 且 x2 时，有 f(x
16、 1)f(x 2)= f(0)f(x 2)=f(1) f(x 2)=f()(1x 2) 当 x1 且 x2=1 时，同样有 f(x 1)f(x 2)= f(x 1)f(1)=f(x 1)f(0)= f()(x 10) 因此对于任何x1，x 20，1总有【知识模块】 微分中值定理及其应用14 【正确答案】 () 与() 的证法类似，下面只证()因 f“(x)0(x(a，b) = f(x)在(a，b)为凹的注意 tx1+(1t)x 2(a，b) = f(x1)ftx 1+(1t)x 2+ftx1+(1t)x2x1(tx 1+(1t)x 2) =ftx1+(1t)x 2+ftx1+(1t)x 2(1
17、t)(x 1x 2)， f(x 2)ftx 1+(1t)x 2+ftx1+(1t)x 2x2(tx 1+(1t)x 2) =ftx1+(1t)x 2ftx 1+(1t)x 2t(x1x 2)， 两式分别乘 t 与(1t) 后相加得 tf(x 1)+(1t)f(x 2)ftx 1+(1t)x 2【知识模块】 微分中值定理及其应用15 【正确答案】 由极限的不等式性质和题设知，存在 0 使得 a+b，且于是 f(a+)f(a)，f(b)f(b)这表明 f(x)在a，b上的最大值必在(a，b) 内某点取到，即存在 (a，b)使得 f()=由费马定理知 f()=0【知识模块】 微分中值定理及其应用16
18、 【正确答案】 由于 F(0)=F(1)=0，F(x)在0，1 可导，则 1(0，1)，F( 1)=0又 F(x)=x2f(x)+2xf(x)，及由 F(0)=0，F( 1)=0，F(x)在0 ，1可导，则2(0， 1)使得 F“(2)=0又 F“(x)=x 2f“(x)+4xf(x)+2f(x)，及由 F“(0)=F“(2)=0，F“(x)在0，1 可导，则 c(0， 2)使得 F“(c)=0【知识模块】 微分中值定理及其应用17 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，G(x)= 0xF(s)ds，显然 G(x)在0，1可导，G(0)=0，又 G(1)=01F(s)ds sF(s)
19、01 01sdF(s)=F(1) 01sf(s)ds=00=0，对G(x)在0，1上用罗尔定理知， c(0，1)使得 G(c)=F(c)=0 现由 F(x)在0，1可导，F(0)=F(c)=F(1)=0，分别在0，c，c ，1对 F(x)用罗尔定理知， 1(0，c)，2(c， 1)，使得 F(1)=f(1)=0，F( 2)=f(2)=0，即 f(x)在(0，1)内至少存在两个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用18 【正确答案】 由 x1(a，x 0)使 f(x1)0， x2(x0，b)使 f(x2)0，则 f(x)在(x 1，x 0)与(x 0，x 2)内各存在一个零点因f(x)0( x(
20、a，x 0)，从而 f(x)在(a ，x 1)单调增加； f(x)0( x(x0，b)，从而 f(x)在(x 0， b)单调减少因此，f(x) 在(a，x 0)，(x 0，b)内分别存在唯一零点，即在(a， b)内恰有两个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用19 【正确答案】 把所证的结论改写成 f()= 由分别用拉格朗日中值定理与柯西中值定理= ， (a，b)使得 代入上式即得结论【知识模块】 微分中值定理及其应用20 【正确答案】 () 对于 f(x)：当 x0 时 f(x)=ex0，从而 f(x)在(0，+)内无极值 当 x0 时 f(x)=(x+1)ex，令 f(x)=0，得 x=1
21、当 x1 时 f(x)0，当1x0 时 f(x)0，故 f(1)=一 e1 为极小值 再看间断点 x=0 处，当 x0时 f(x)=xex0=f(0)；当 x0 且 x 充分小时，f(x)=e x20，故 f(0)=0 为极大值【知识模块】 微分中值定理及其应用21 【正确答案】 因为【知识模块】 微分中值定理及其应用22 【正确答案】 若 f(x)在a ，b上不恒为零，则 f(x)在a，b取正的最大值或负的最小值 不妨设 f(x0)= 0，则 x0(a，b)且 f(x0)=0，f“(x 0)0 = f“(x0)+g(x0)f(x0)f(x 0)0 与已知条件矛盾同理，若 f(x1)= 0，同
22、样得矛盾因此 f(x)0 ( xa，b)【知识模块】 微分中值定理及其应用23 【正确答案】 即证 f(x)=ex+ex +2cosx5 在(，+)恰有两个零点由于 f(x)=exe x 2sinx ， f“(x)=e x+ex 2cosx22cosx0 (x0)， =f(x)在(，+) 又因 f(0)=0=f(x) )=f(x)在(，0单调下降，在0，+)单调上升又 f(0)=10， =+，因此 f(x)在 ( ，0)与(0，+)各 唯一零点，即在( ，+)恰有两个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用24 【正确答案】 () 令 F(x)=xln(1+x)=F(x)=1 0(x0)又 F(
23、0)=0，F(x)在0，+)连续=F(x)在0，+) =F(x)F(0)=0( x0)( )令 G(x)=ln(1+x) ，则故 G(x)在0，+)，即有G(x)G(0)=0【知识模块】 微分中值定理及其应用25 【正确答案】 记 k= 要证f(x)f(x)+k 在(x 1，x 2) 零点 ex f(x)f(x)+k=e x (f(x)k)在(x 1，x 2) 零点令F(x)=ex f(x)k ，则 F(x)在x 1，x 2可导考察因此，由罗尔定理= c(x1，x 2)，F(c)=0【知识模块】 微分中值定理及其应用26 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上满足拉格朗日中值定理条件，故至少
24、存在(a， b)，使 令 g(x)=x2，由柯西中值定理知， (a，b)，使 将 式代入式，即得【知识模块】 微分中值定理及其应用27 【正确答案】 () 先求 f(x)=n(1x) n1 1(n+1)x 0，得唯一驻点 x=xn=又 f(0)=f(1)=0，f(x n)= 0因此()注意单调下降极限为 e=【知识模块】 微分中值定理及其应用28 【正确答案】 不妨设 a00令 f(x)=a0x2n+1+a1x2n+a2nx+a2n+1，则又 f(x)在( ，+)连续，因此在(，+)内 f(x)至少存在一个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用29 【正确答案】 先求导数并得驻点再求由于 f(x)在(，+)内可导，且有唯一的极小值点 x= ，因而必是最小值点，f(x)的最小值为 【知识模块】 微分中值定理及其应用30 【正确答案】 如图 45，圆周的参数方程为 x=cos，y=sin 圆周上 点(cos， sin)处切线的斜率是 =cot，于是切线方程是它与 y=x22 交点的横坐标较小者为 ，较大者为 ，则 ，是方程 x2+xcot2 =0 的根，并且切线与抛物线所围面积为为求 () 3 最小值，只要求() 2 最小值，由一元二次方程根与系数关系得所以，当 +2=0 时取最小值3由【知识模块】 微分中值定理及其应用
