1、考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且满足 =1，则 x=0（A）是 f(x)的驻点，且为极大值点（B）是 f(x)的驻点，且为极小值点（C）是 f(x)的驻点，但不是极值点（D）不是 f(x)的驻点2 设 f(x)在 x=a 处连续，且 =2，则 f(x)在 x=a 处（A）不可导（B）可导且 f(a)0（C）有极大值（D）有极小值3 设 f(x)可导，恒正，且 0a xb 时恒有 f(x)xf(x)，则（A）bf(a) af(b)（B） abf(x)x 2f
2、(b)（C） af(a) xf(x)（D）abf(x) x2f(a)4 曲线 y=f(x)= 的拐点有（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个二、填空题5 曲线 y= (x27)(x+)的拐点是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 求函数 y=x+ 的单调区间、极值点及其图形的凹凸区间与拐点7 在半径为 a 的半球外作一外切圆锥体，要使圆锥体体积最小，问高度及底半径应是多少?8 证明函数 f(x)= 在(0，+)单调下降9 设 f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个： ( )f(x) 在 x=0 处三阶可导，且=1，则正确的是 ()f(x)在 x=0 邻域二阶可
3、导，f(0)=0，且( 1)f“(x)xf(x)=e x1，则下列说法正确的是 (A)f(0)不是 f(x)的极值，(0 ，f(0)不是曲线 y=f(x)的拐点 (B)f(0) 是 f(x)的极小值 (C)(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 (D)f(0)是 f(x)的极大值10 设 a0，求 f(x)= 的最值11 设 f(x)在0，1连续，在 (0，1)内 f(x)0 且 xf(x)=f(x)+ ax2，又由曲线 y=f(x)与直线 x=1，y=0 围成平面图形的面积为 2，求函数 y=f(x)，问 a 为何值，此图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积最小?12 当 x0，证明 0x(tt
4、 2)sin2ntdt ，其中 n 为自然数13 设 f(x)在0，+)可导，且 f(0)=0若 f(x)f(x) ， x(0，+)，求证：f(x)0，x(0，+)14 求证： (x(0，1)15 设 a0， b0，ab，证明下列不等式： ( )a p+bp2 1p (a+b)p(p1)； ()ap+6p2 1p (a+b)p(0p1)16 设 f(x)在a，b上可导，且 f+(a)0，f (b)0，f(a)f(b)，求证：f(x)在(a，b)至少有两个零点17 设 a，b， c 为实数，求证：曲线 y=ex 与 y=axx+bx+c 的交点不超过三个18 设 f(x)在x 1，x 2可导，
5、0x 1x 2，证明： (x1，x 2)使得19 求证：方程 lnx= 在(0，+) 内只有两个不同的实根20 求函数 y= 的单调区间，极值点，凹凸性区间与拐点21 证明：arctanx= (x(，+)22 设 f(x)在a，b连续，在(a，b) 可导，f(a)=f(b)，且 f(x)不恒为常数，求证：在(a， b)内存在一点 ，使得 f()023 设当 x0 时，方程 kx+ =1 有且仅有一个解，求 k 的取值范围24 设 f(x)在1，+)可导， xf(x)kf(x)(x 1)，在 (1，+)的 子区间上不恒等，又 f(1)M，其中 k，M 为常数，求证：f(x) (x1)25 设 f
6、(x)在0，1可导且 f(1)= ，求证： (0，1)，使得 f()=2f()26 设 f(x)在 x=0 的某邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)=0，f“(0)存在求证：27 ()设 f(x)在x 0，x 0+)(x0 ，x 0)连续，在(x 0，x 0+)(x0 ，x 0)可导，又，求证：f +(x0)=A (f (x0)=A)()设 f(x)在(x0，x 0+)连续，在(x 0，x 0+)x 0可导，又 =A，求证：f(x 0)=A()设 f(x)在(a，b)可导，x 0(a，b) 是 f(x)的间断点，求证：x=x 0 是 f(x)的第二类间断点28 设 f(x)在( ，+)可导，且
7、 =A，求证： c(，+) ，使 f(c)=029 将长为 a 的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少?30 要建一个圆柱形无盖水池，使其容积为 V0m3底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径 r 与高 h 各是多少，才能使水池造价最低?考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 本题应先从 x=0 是否为驻点入手，即求 f(0)是否为 0；若是，再判断是否为极值点由 =0，从而 f(0)=0，f(0)=10=0 可知 x=0 是
8、f(x)的驻点再由极限的局部保号性还知，在 x=0 的某去心邻域内 0；由于1cosx 0，故在此邻域内，当 x0 时 f(x)0=f(0)，而当 x0 时 f(x)0=f(0)，可见 x=0 不是极值点，故选 C【知识模块】 微分中值定理及其应用2 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)在 x=a 连续= =(a)又根据极限的保号性，即 f(x)f(a)0因此 f(a)为极小值故选 D【知识模块】 微分中值定理及其应用3 【正确答案】 C【试题解析】 A，B，D 分别改写为 因此要考察 的单调性因为=A，B，D 均不对选 C或由正值函数 在a，b单调上升=xf(x)= 在a，b单调上升=
9、C 对选C【知识模块】 微分中值定理及其应用4 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)的定义域为( ，1)(1，1)(1，+)，且在定义域内处处连续由 令 f“(x)=0，解得 x1=0，x 2=2；f“(x) 不存在的点是 x3=1，x 4=1(也是 f(x)的不连续点)现列下表：由上表可知，f(x)在 x1=0 与 x2=2 的左右邻域内凹凸性不一致，因此它们都是曲线y=f(x)的拐点，故选 B【知识模块】 微分中值定理及其应用二、填空题5 【正确答案】 (0，0)【试题解析】 这里 y(x)在(，+)连续，(y(0)，y“(0)均不 )，y(x)在 x=0 两侧凹凸性相反，(0，0)是拐
10、点【知识模块】 微分中值定理及其应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 () 定义域 x1，间断点 x=1，零点 x=0，且是奇函数()求y， y“和它们的零点 由 y=0 得驻点 x=0，；由 y“=0 得 x=0，由这些点及间断点 x=1 把函数的定义域按自然顺序分成由此可列出函数如下分段变化表，并标明每个区间上函数的单调性、凹凸性及相应的极值点与拐点因此，单调增区间是 ，单调减区间是；极大值点是 x= ，对应的极大值是 ，极小值点是 ，对应的极小值是 ；凸区间是(，1)，(0，1)，凹区间是(1，0)，(1，+) ；拐点是 (0，0)【知识模块】 微分中值
11、定理及其应用7 【正确答案】 设外切圆锥体的底半径为 r，高为 h见图 48，记ABO=，则tan= ，于是圆锥体体积为 求 V(r)的最小值点等价于求 f(r)= 的最小值点由于因此，当时圆锥体体积最小【知识模块】 微分中值定理及其应用8 【正确答案】 f(x)= ，则下证 2xln2x(1+2 x)ln(1+2x)0( x0) 令 t=2x，则 x0 时 t1， 2 xln2x(1+2 x)ln(1+2x)=tlnt(1+t)ln(1+t) g(t) 由于 g(t)=lntln(1+t) 0( t0)=g(t)在(0，+) 单调下降，又 =0=g(t)0 (t0) 【知识模块】 微分中值定
12、理及其应用9 【正确答案】 () 由条件 =1 及 f(x)在 x=0 连续即知 =f(0)=0用洛必达法则得 型未定式极限 因 =f“(0)，若f“(0)0，则 J=与 J=1 矛盾，故必有 f“(0)=0再由 f“(0)的定义得=f“(0)=2因此，(0，f(0)是拐点选(C) ()已知 f(0)=0，现考察 f“(0)由方程得又 f“(x)在 x=0 连续=f“(0)=30因 f(0)是 f(x)的极小值应选 (B)【知识模块】 微分中值定理及其应用10 【正确答案】 f(x)在( ，+)上连续且可写成如下分段函数由此得 x(，0)时 f(x)0，故 f(x)在( ，0单调增加； x(a
13、，+)时 f(x)0，故 f(x)在a，+)单调减少从而 f(x)在0，a上的最大值就是 f(x)在(， +)上的最大值在(0，a) 上解 f(x)=0，即(1+ax) 2(1+x) 2=0，得x= 又 因此 f(x)在0，a即在(，+)的最大值是 由于 f(x)在( ，0)单调增加，在(a，+)单调减少，又 f(x)在0，a的最小值 =0，因此 f(x)在(，+)上无最小值【知识模块】 微分中值定理及其应用11 【正确答案】 () 首先由 xf(x)=f(x)+ ax2，f(x)0(x(0，1)求出 f(x)这是求解一阶线性方程 f(x) 两边乘积分因子 = (取其中一个)，得 ，其中 C
14、为任意常数使得 f(x)0(x(0，1) ()确定 C 与 a 的关系使得由 y=f(x)与 x=1，y=0 围成平面图形的面积为 2 由已知条件得 2= ，则 C=4a因此，f(x)=ax2+(4a)x，其中 a 为任意常数使得 f(x)0(x(0，1) a，有 f(0)=0， f(1)=又 f(x)=3ax+4a，由此易知8a4 时 f(x)0(x(0，1) ()求旋转体的体积()求 V(a)的最小值点，由于 则当 a=5 时 f(x)0(x(0，1)，旋转体体积取最小值【知识模块】 微分中值定理及其应用12 【正确答案】 令 f(x)=0x(tt 2)sin2ntdt，则 f(x)在0，
15、+)可导，f(x)=(xx 2)sin2nx当 0x1 时，f(x) 0；当 x1 时，除 x=k(k=1，2，3，)的点(f(x)=0)外，f(x)0，则 f(x)在 0x1 单调上升，在 x1 单调减小，因此 f(x)在0，+)上取最大值 f(1)又当 t0 时 sintt，于是当 x0 时有 f(x)f(1)= 01(tt 2)sin2ntdt01(tt 2)t2ndt=【知识模块】 微分中值定理及其应用13 【正确答案】 要证 f(x)0 e xf(x)0 (x0) 由 exf(x)在0，+)可导且e xf(x)=exf(x)+f(x)0 (x0) = e xf(x)在0，+) 单调上
16、升 =exf(x)e xf(x) x=0=0 (x0) = f(x)0 (x0)【知识模块】 微分中值定理及其应用14 【正确答案】 改写右端对 f(t) ln(1+t)，g(t)=arcsint 在0，x区间用柯西中值定理： 注意函数 在(0，1) 是单调减函数，因为原不等式成立【知识模块】 微分中值定理及其应用15 【正确答案】 将 ap+bp2 1p (a+b)p 改写成 考察函数 f(x)=xp，x 0，则 f(x)=pxp1 ， f“(x)=p(p1)x p2 ()若 p1，则 f“(x)0( x0)，f(x)在(0，+)为凹函数，其中 t= 得： a0，b 0，ab，有()若 0p
17、1，则 f“(x)0(x0) ，f(x)在(0，+) 为凸函数，其中【知识模块】 微分中值定理及其应用16 【正确答案】 f(x)在a，b的连续性，保证在a，b上 f(x)至少达到最大值和最小值各一次由 f(a)f(b)得，若 f(x)的最大值在区间端点达到，则必在 x=a 达到由f(x)的可导性，必有 f+(a)0，条件 f+(a)0 表明 f(x)的最大值不能在端点达到同理可证 f(x)的最小值也不能在端点 x=a 或 x=b 达到因此，f(x)在a，b的最大值与最小值必在开区间(a，b)达到，于是最大值点与最小值点均为极值点又 f(x)在a， b可导，在极值点处 f(x)=0，所以 f(
18、x)在(a ，b) 至少有两个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用17 【正确答案】 令 f(x)=exax xbxc ，那么问题等价于证明 f(x)的零点不超过三个假设结论不正确，则至少有四个点 x1x 2x 3x 4，使得 f(xi)=0，i=1，2， 3，4 由于 f(x)在x 1，x 4上可导，由罗尔定理可知 f(x)在(x 1，x 2)，(x2，x 3)，(x 3，x 4)内至少各有一个零点 1， 2， 3又由于 f(x)在 1， 3上可导，由罗尔定理可知 f“(x)在( 1， 2)，( 2， 3)内至少各有一个零点 1， 2同样地，由于 f“(x)在 1， 2上可导，由罗尔定理可
19、知 f“(x)在( 1， 2)内至少有一个零点 因此至少存在一点 (， +)使得 f“()=0，而 f“(x)=ex0(x(，+)，这就产生了矛盾故 f(x)的零点不超过三个【知识模块】 微分中值定理及其应用18 【正确答案】 令 F(x)= ，则 f(x)在x1，x 2可导，又 因此，由罗尔定理， (x1，x 2)，使得即 f()f()=1 【知识模块】 微分中值定理及其应用19 【正确答案】 即证 f(x)= 在(0，+)只有两个零点先考察它的单调性： 由于 f(x)在(0，e)与(e， +)分别单调上升与下降，又 f(e)= 0，故只需证明：x1(0，e)使 f(x1)0； x2(e，+
20、)使 f(x2)0因则x1(0，e)使 f(x1)0； x2(e，+)使 f(x2)0，因此 f(x)在(0，e)与(e，+) 内分别只有一个零点，即在(0，+)内只有两个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用20 【正确答案】 定义域：x1=单调增区间(0，1)；单调减区间 (，0)(1，+)；极小值点 x=0【知识模块】 微分中值定理及其应用21 【正确答案】 令 f(x)=arctanx ，则=f(x)为常数又 f(0)=0=f(x)0，x ( ，+) 【知识模块】 微分中值定理及其应用22 【正确答案】 若不然= x(a，b)，f(x)0=f(x)在a，b单调不增= xa，b，f(a)
21、f(x)f(b)=f(x)f(a)=f(b)在a ，b为常数，矛盾了【知识模块】 微分中值定理及其应用23 【正确答案】 设 f(x)=kx+ 1，则 ()当k0 时，f(x)0，f(x)单调减少，又故 f(x)此时只有一个零点() 当 k0 时，由 f(x)=0 得 x= ，由于 f“(x)0，x= 是极小值点，且极小值为 当极小值为零时，即当时，有 k= ，此时方程有且仅有一个根；当 k 时，方程无根或有两个根因此，k 的取值范围为 k0 及 k=【知识模块】 微分中值定理及其应用24 【正确答案】 已知 xf(x)+(k+1)f(x)0(x1)，在 (1，+) 子区间上不恒为零，要证 f
22、(x)xk+1M(x1)令 F(x)=f(x)xk+1=F(x)=xk+1f(x)+(k+1)xkf(x)=xkxf(x)+(k+1)f(x)0(x1) ，在(1，+) 子区间上不恒为零，又 F(x)在1，+)连续=F(x)在1， +)单调下降 =F(x)F(1)=f(1)M (x1) 【知识模块】 微分中值定理及其应用25 【正确答案】 令 F(x)= f(x)，则 F(x)在0， 1可导，且因此，由罗尔定理，使得 F()= =0，即 f()=2f()【知识模块】 微分中值定理及其应用26 【正确答案】 因为 ln(1+x)x(x(1，+)，故由拉格朗日中值定理可知，存在 (x)(ln(1+
23、x)，x)，使得由于当 x0 时，有1；当1x0 时，有 1 ，故由夹逼定理知，于是【知识模块】 微分中值定理及其应用27 【正确答案】 ()f +(x0) =A另一类似( )由题 ()=f +(x0)=f (x0)=A=f(x0)=A或类似题 ()，直接证明()即证 中至少有一个不 若它们均存在， ，由题()=f (x0)=A因 f(x)在 x0 可导=A+=A =f(x0)=f(x)在 x=x0 连续，与已知矛盾因此， x=x0 是 f(x)的第二类间断点【知识模块】 微分中值定理及其应用28 【正确答案】 由极限不等式性质转化为有限区间的情形(如图 43)若 f(x)A，显然成立若 f(
24、x)A，必存在 x0，f(x 0)A，不妨设 f(x0)A由极限不等式性质， bx 0，f(b) f(x 0)； ax 0，f(a)f(x 0)f(x)在a ，b有最小值，它不能在 x=a 或 a=b 处达到，必在 (a，b)内某点 c 处达到，于是 f(c)=0【知识模块】 微分中值定理及其应用29 【正确答案】 设围成圆的铁丝长为 x，则围成正方形的铁丝长为 ax，于是圆的半径 r= ，正方形边长 (ax)，问题是求面积 S(x)= ，x (0，a)的最小值点由=x= 时面积和最小【知识模块】 微分中值定理及其应用30 【正确答案】 先求出水池总造价的表达式设水池周围单位面积造价为 a 元m 2，水池造价为 y，则 y=2rha+2ar2又知 V0=r2h，代入上式得 y=2a( +r2)，0r +现求 y(r)在(0，+)上的最小值点求 y(r)：因此，当时，y 取最小值，即水池造价最低【知识模块】 微分中值定理及其应用
