1、考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 yf() (1)ln 1的拐点有（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个2 设函数 f()在 0 的某邻域内连续，且满足 1，则 0（A）是 f()的驻点，且为极大值点（B）是 f()的驻点，且为极小值点（C）是 f()的驻点，但不是极值点（D）不是 f()的驻点3 设 f()分别满足 f()在 0 邻域二阶可导，f(0) 0，且( 1)f()f()e 1，则下列说法正确的是（A）f(0)不是 f()的极值，(0，f(0)不是曲线 yf()的拐点（B）
2、 f(0)是 f()的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y f()的拐点（D）f(0)是 f()的极大值二、填空题4 曲线 y (27)( )的拐点是_5 数列 1， ，的最大项为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 证明：当 1 时 0ln (1) 37 当 0，证明 ，其中 n 为自然数8 求证：当 0 时不等式 (1)ln 2(1) 2 成立9 求证：(0，1) 时 10 设 f()在0，)可导，且 f(0)0若 f()f()， (0，)，求证：f()0，(0 ， )11 求证：0，1 时， p(1) p1，p1；1 p(1)p ，0p112 设 f()在0，1上连续
3、，在(0，1)内可导，且f()1，又 f(0)f(1)，证明：对于 1， 20，1，有f( 1)f( 2) 13 求证14 设 f()在0，1连续，在(0，1)可导，f(0) 0，0f()1(0，1)，求证：01f()d2 01f3()d15 设 f()在(a，b)二阶可导， 1， 2(a，b)， 12， t(0，1)，则 ()若 f()0( (a，b)，有 ft 1(1t 2)2tf( 1)(1t)f( 2)， (46) 特别有()若 f()0( (a，b)，有 ft1(1 t) 2tf( 1)(1t)f( 2)， (47) 特别有16 设 a0， b0，ab，证明下列不等式： ( )a p
4、b p2 1-p(ab) p (P1)； ()apb p2 1-p(ab) p (0P1)17 设 f()在( ，a)内可导， f()0， 0，求证：f()在(， a)内至少有一个零点18 设 f()在a，b上可导，且 f+(a)与 f-(b)反号，证明：存在 (a，b)使得 f()019 设 f()在a，b上可导，且 f+(a)0，f -(b)0，f(a)f(b)，求证：f()在(a ，b)至少有两个零点20 设 f()在(a，b)内可导，且 A 求证：存在(a， b)使得 f()021 设 f()在0，1三阶可导，且 f(0)f(1) 0设 F() 2f()，求证：在(0，1)内存在 c使
5、得 F(c)022 设 a，b， c 为实数，求证：曲线 ye 与 ya 2bc 的交点不超过三个23 设 f() (akcosk bksink)，其中口 ak，b k(k1，2，n)为常数证明：()f()在0，2)必有两个相异的零点；()f (m)()在0，2)也必有两个相异的零点24 设 f()在0，1上连续，且满足 01f()d0， 01f()d0，求证：f()在(0，1)内至少存在两个零点25 设 f()在 1， 2可导， 0 1 2，证明： (1， 2)使得f()f()26 设 f()在01二阶可导，且 f(0)f(1) 0，试证： (0，1)使得 f()f()27 设 f()在(a
6、，b)内可导，且 0(a，b)使得又 f()0(0)， f()0(0)， f()0( 0)(如图 413)，求证： f()在(a ，b)恰有两个零点28 求证：方程 ln 在(0，)内只有两个不同的实根29 就 a 的不同取值情况，确定方程 ln a(a0)实根的个数30 设 f()在a，b连续，在(a ，b)可导，又 ba0，求证： ，(a ，b)使得 f()f() 考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 微分中值定理及其应用2 【正确答案】 C【试题解析】 本题应先从 0 是否
7、为驻点人手，即求 f(0)是否为 0；若是，再判断是否为极值点 由 1，可知 0，从而 f(0)0，f(0) 100 可知 0是 f()的驻点再由极限的局部保号性还知，在 0 的某去心邻域内0；由于 1cos0，故在此邻域内，当 0 时 f()0f(0)，而当 0 时 f()0f(0)，可见 0 不是极值点，故选 C【知识模块】 微分中值定理及其应用3 【正确答案】 B【试题解析】 已知 f(0)0现考察 f(0)由方程得又 f ()在 0 连续 f(0) 30因此 f(0)是 f()的极小值应选 B【知识模块】 微分中值定理及其应用二、填空题4 【正确答案】 (0，0)【试题解析】 这里y(
8、)在(，)连续，(y(0)，y(0)均不 )，y()在 0 两侧凹凸性相反，(0，0)是拐点【知识模块】 微分中值定理及其应用5 【正确答案】 【知识模块】 微分中值定理及其应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 对 1 引入函数 f()ln 2，则 f()在1，)可导，且当 1 时 从而 f()在1 ，)单调增加，又 f(1)0，所以当 1 时，f() (1) 0，即 ln 0 令 g()ln (1) 3，则 g()在1，) 可导，且当 1 时 g()0， 故 g()在区间1， )上单调减少，又 g(1)0，所以当 1 时 g()g(1) 0，即ln 2 (1
9、) 3 当 1 时成立【知识模块】 微分中值定理及其应用7 【正确答案】 令 f() 0(tt 2)sin2ntdt，则 f()在0，)可导，f()( 2)sin2n当 0 1 时，f()0；当 1 时，除 k(k1，2，3，)的点(f()0)外， f()0，则 f()在 01 单调上升，在 1 单调减小，因此 f()在0， )上取最大值 f(1)又当 t0 时 sintt，于是当 0 时有【知识模块】 微分中值定理及其应用8 【正确答案】 令 f() 2(1)ln 2(1)，则有 f(0)0， f()2 ln 2(1)2ln(1)，f(0)0， f()22 ln(1) ，f(0) 0， f(
10、) ， f(0)0 于是 f() 当 0时单调增加，又 f(0)0，所以当 0 时，f()f(0)0从而 f()当 0时单调增加，又 f(0)0，故当 0 时 f()f(0)0因此 f()当 0 时单调增加，又 f(0)0，所以当 0 时 f()f(0) 0原不等式得证【知识模块】 微分中值定理及其应用9 【正确答案】 令 g() ，知当 0 时有故 g()在(0 ， 1)内单调下降又 g()在(0 ，1连续，且 g(1) 1，g()在 0无定义，但若补充定义 g(0) ，则 g()在0，1上连续又 g()0，0 1，因此 g()在0，1单调下降所以，当 0 1 时 g(1)g() g(0)，
11、即成立【知识模块】 微分中值定理及其应用10 【正确答案】 要证 f()0 ef()0 ( 0) 由 ef()在0，)可导且e f()e f()f()0 ef()在0，)单调上升 ef()e f() 1 0 (0) f()0 (0)【知识模块】 微分中值定理及其应用11 【正确答案】 令 f() p(1) p，则 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且有 f()p p-1(1 ) p-1令 f()0 得 易知 f(0)f(1)1， 当 p1 时，1 f()在0，1的最大值为 1，最小值为f()1，0，1 当 0p1 时，1 f()在0，1的最大值为 ，最小值为 1 ， 0，1【知识模块】
12、 微分中值定理及其应用12 【正确答案】 联系 f(1)f( 2)与 f()的是拉格朗日中值定理不妨设0121分两种情形： 1)若 2 1 ，直接用拉格朗日中值定理得 f( 1)f( 2) f()(2 1) f() 2 1 2)若 2 1 ，当01 21 时，利用条件 f(0)f(1)分别在0 ， 1与 2，1上用拉 格朗日中值定理知存在 (0， 1)， (2，1)使得 f( 1)f( 2) f(1)f(0) f( 2)f(1) f( 1)f(0)f(1)f( 2) f() 1f()(1 2) 1(1 2)1( 2 1) ， 当 10 且 2 时，有 f( 1)f( 2)f(0)f( 2) f
13、(1)f( 2)f()(1 2) 当 1 且 21 时，同样有 f( 1)f( 2)f( 1)f(1) f( 1)f(0) f()( 10) 因此对于任何 1， 20，1总有 f()f() 【知识模块】 微分中值定理及其应用13 【正确答案】 改写右端对 f(t) ln(1t)，g(t) arcsint 在0，区间用柯西中值定理： 余下只需证 注意函数在 在(0，1)是单调减函数，因为原不等式成立【知识模块】 微分中值定理及其应用14 【正确答案】 即证 01f()d2 01f3()d0考察 F() 0f(t)dt2 0f3(t)dt， 若能证明 F()0( (0，1)即可这可用单调性方法 令
14、 F() 0f(t)dt2 0f3(t)dt，易知 F()在0，1可导，且 F(0)0，F()f()2 0f(t)dtf 2() 由条件知，f()在0 ，1单调上升，f()f(0)0( (0，1)，从而 F()与 g()2 0f(t)dtf 2()同号再考察 g()2f()1f()0( (0，1)， g() 在0 ，1连续，于是 g()在0，1单调上升， g()g(0)0( (0，1)，也就有 F()0( (0，1)，即 F()在0，1单调上升， F()F(0)0(0，1) 因此 F(1) 0f()d2 01f3()d0 即结论成立【知识模块】 微分中值定理及其应用15 【正确答案】 () 与
15、() 的证法类似，下面只证()因 f() 0(a ，b)f()在(a ，b)为凹的 (45) 相应的式子成立注意 t1(1t) 2(a，b) f(1)t 1(1t) 2ft 1(1t) 2(t 1(1t) 2) ft 1(1t) 2ft 1(1 t)2(1t)( 1 2)， f( 2)ft 1(1t) 2ft 1(1t) 22 (t1(1t) 2) ft 1(1t) 2ft 1(1t) 2t(1 2)， 两式分别乘 t 与(1t)后相加得 tf(1)(1t)f( 2)ft 1(1 t) 2【知识模块】 微分中值定理及其应用16 【正确答案】 将 apb p2 1-p(ab) p 改写成 考察函
16、数 f() p，0，则 f()p p-1，f(p) p(p1) p-2 ()若 P1，则 f()0(0) ，f() 在(0，)为凹函数，由已知不等式(46)，其中 得：a0，b 0，ab，有()若 0P 1，则 f()0( 0)，f()在(0，)为凸函数，由不等式 (47) ，其中 t 得【知识模块】 微分中值定理及其应用17 【正确答案】 由极限的不等式性质， 0，当 a ，a)时 0，即f()0，也就有 f(a) 0 0a ，当 0 时 f() 0于是由微分中值定理知，当 0， (， 0)使得 f()f( 0)f()( 0）f( 0) ( 0)， 由此可得 1a 使得 f(1)0 在 1，
17、a上应用连续函数零点存在性定理，f() 在( 1，a )上至少存在一个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用18 【正确答案】 由极限的不等式性质和题设知，存在 0 使得 ab，且于是 f(a)f(a) ，f(b )f(b) 这表明 f()在a,b上的最大值必在(a，b)，内某点取到，即存在 (a，b)使得 f() f()由费马定理知 f()0【知识模块】 微分中值定理及其应用19 【正确答案】 f() 在a，b的连续性，保证在a ， b上 f()至少达到最大值和最小值各一次由 f(a)f(b)得，若 f()的最大值在区间端点达到，则必在 a 达到由f()的可导性，必有 f+(a)0，条件 f
18、+(a)0 表明 f()的最大值不能在端点达到同理可证 f()的最小值也不能在端点 a 或 b 达到因此，f()在a ，b的最大值与最小值必在开区间(a， b)达到，于是最大值点与最小值点均为极值点又 f()在a， b可导，在极值点处 f()0，所以 f()在(a，b)至少有两个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用20 【正确答案】 设 g() 则 g()在a ，b上连续，在(a， b)内可导，且 g(a)g(b)，把罗尔定理用于 g()即知存在 (a，b)使得 g()f() 0【知识模块】 微分中值定理及其应用21 【正确答案】 由于 F(0)F(1)0，F()在0，1可导，则 1(0，1
19、)，F( 1)0又 F() 2f()2f() ， 及由 F(0)0，F( 1)0，F()在0，1可导，则2(0， 1)使得 F( 2)0又 F() 2f() 4f()2f()， 及由 F(0)F( 2)0，F()在0，1可导，则 c(0， 2)使得 F(c)0【知识模块】 微分中值定理及其应用22 【正确答案】 令 f()e a 2bc ，那么问题等价于证明 f()的零点不超过三个假设结论不正确，则至少有四个点 1 2 3 4，使得 f()0，i1，2，3，4 由于 f()在 1， 4上可导，由罗尔定理可知 f(1)在( 1， 2)，(3， 4)，( 3， 4)内至少各有一个零点 1， 2，
20、3又由于 f()在 1， 3上可导，由罗尔定理可知 f()在( 1， 2)，( 2， 3)内至少各有一个零点 1， 2同样地，由于 f ()在 1， 2上可导，由罗尔定理可知 f()在( 1， 2)内至少有一个零点因此至少存在一点 (，)使得 f()0，而 f()e 0( (，)，这就产生了矛盾故 f()的零点不超过三个【知识模块】 微分中值定理及其应用23 【正确答案】 () 令 F() ，显然 F()f()由于F()是以 2 为周期的可导函数，故 F()在0，2上连续，从而必有最大值与最小值设 F()分别在 1， 2 达到最大值与最小值，且 12， 1， 20，2，) ，则F(1)，F(
21、2)也是 F()在( ，) 上的最大值，最小值，因此 1， 2 必是极值点又 F()可导，由费马定理知 F(1)f( 1)0，F( 2)f( 2)0 ()f (m)()同样为()中类型的函数即可写成 f(m)() ，其中 k， k(k1，2，n)为常数，利用( )的结论， f(m)()在0，2，) 必有两个相异的零点【知识模块】 微分中值定理及其应用24 【正确答案】 令 F() 0f(t)dt，G() 0F(s)ds，显然 G()在0，1可导，G(0)0，又对 G()在0 ， 1上用罗尔定理知， c(0，1)使得 G(c)F(c)0 现由 F()在0，1可导， F(0)F(c) F(1)0，
22、分别在0，c，c，1对 F()用罗尔定理知 1(0，c)， 2(c，1) ，使得 F(1)f( 1)0 ，F( 2)f( 2)0，即 f()在(0，1)内至少有在两个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用25 【正确答案】 令 F() ，其中 l ，则f()在 1， 2可导，又因此，由罗尔定理， (1， 2)，使得即 f()f()l【知识模块】 微分中值定理及其应用26 【正确答案】 因此F()在0，1上连续，在(0，1)内可导 由于 f(0)f(1)0，由罗尔定理知，(0，1)使 f()0因此，F()F(1)0，对 F()在，1上利用罗尔定理得，(，1)，使得，F() 0，即 f()f()【
23、知识模块】 微分中值定理及其应用27 【正确答案】 由 1(a， 0)使 f()0， 2(0，b)使 f(2)0则 f()在( 1， 0)与( 0， 2)内各存在一个零点 因f()0( (a， 0)，从而 f()在(a， 0)单调增加；f()0( (0，b)，从 f()在(0， b)单调减少因此，f() 在(a ， 0)，( 0，b) 内分别存在唯一零点，即在(a，b)内恰有两个点【知识模块】 微分中值定理及其应用28 【正确答案】 即证 f()ln 在(0，)只有两个零点先考察它的单调性： 由于 f()在(0，e) 与(e， )分别单调上升与下降，又 f(e) 0 d0，故只需证明： 1(0
24、，e)使 f(1)0； 2(e，)使 f(2)0因则 1(0， e)使 f(1)0； 2(e，)使 f(2)0，因此 f()在(0 ，e) 与(e，)内分别只有一个零点，即在(0，)内只有两个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用29 【正确答案】 求 f()的单调区间则当 0 0 时，f()单调上升；当 0 时，f() 单调下降；当 0 时，f()取最大值 f(0)ln (1 lna)从而 f()在(0 ，) 有几个零点，取决于 yf() 属于图 414 中的哪种情形方程 f()0 的实根个数有下列三种情形： ()当 f(0) (1lna)0 即 a时，恒有 f()0( (0，) ，故 f()0 没有根 ()当 f(0) (1lna)0 即 a 时，由于 (0，)，当 0e e 时， f()0，故 f()0 只有一个根，即 0e e ()当 f() (1lna)0 即 0a 时，因为故方程 f()0 在(0 ， 0)，( 0，)各只有一个根因此 f()0 在(0，)恰有两个根【知识模块】 微分中值定理及其应用30 【正确答案】 把所证的结论改写成 f() 由分别用拉格朗日中值定理与柯西中值定理 ，(a ，b) 使得 代入上式即得结论【知识模块】 微分中值定理及其应用
