1、考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且满足 ，则 x=0（A）是 f(x)的驻点，且为极大值点（B）是 f(x)的驻点，且为极小值点（C）是 f(x)的驻点，但不是极值点（D）不是 f(x)的驻点2 设 f(x)满足 f(x)在 x=0 处三阶可导，且 ，则正确的是（A）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)是 f(x)的极大值3
2、设 f(x)满足 f(x)在 x=0 邻域二阶可导，f(0)=0，且 f(x)-xf(x)=ex-1，则下列说法正确的是（A）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)是 f(x)的极大值二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 证明函数恒等式 arctanx= ，x (-1，1) 5 设函数 f(x)，g(x) 在 x=x0 有连续的二阶导数且 f(x0)=g(x0)，f(x 0)=g(x0)，f(x 0)=g(x0)0，说明这一事实的几何意义6 设 f
3、(x)在(a ，b)内可导，证明： ，x 0(a，b)且 xx0 时，f(a)在(a，b)单调减少的充要条件是 f(x 0)+f(x0)(x-x0)f(x) (*)7 求函数 y=x+ 的单调区间、极值点及其图形的凹凸区间与拐点8 求曲线 y= +ln(1+ex)的渐近线方程9 运用导数的知识作函数 y=x+ 的图形10 在椭圆 内嵌入有最大面积的四边平行于椭圆轴的矩形，求该最大面积.11 在半径为 a 的半球外作一外切圆锥体，要使圆锥体体积最小，问高度及底半径应是多少?12 设函数 f(x)在区间0， a上单调增加并有连续的导数，且 f(0)=0，f(a)=b，求证： 0af(x)dx+0b
4、g(x)dx=ab， 其中 g(x)是 f(x)的反函数13 设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导且满足 f(0)=0，ff(x)0 ，f(x)f(x)(0) ，求证：f(x)014 证明函数 f(x)= 在(0，+)单调下降15 设 f(x)在0，a二次可导且 f(0)=0，f(x)0求证： 在(0，a单调下降16 设 f(x)在(a，b)四次可导， x0(a，b)使得 f(x0)=f(x0)=0，又设 f(4)(x)0(x(a，b) ，求证 f(x)在(a，b)为凹函数17 设 y=y(x)是由方程 2y3-2y2+2xy-x2=1 确定的，求 y=y(x)的驻点，并判定其驻点
5、是否是极值点?18 求函数 y= (x(0+)的单调区间与极值点，凹凸区间与拐点及渐近线19 设 a0，求 f(x)= 的最值20 求函数 f(x)=0x2(2-t)e-tdt 的最值21 在椭圆 的第一象限部分上求一点 P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小22 设 f(x)在0，1连续，在 (0，1)内 f(x)0 且 xf(z)=f(x)+ ax2，又由曲线 y=f(x)与直线 x=1，y=0 围成平面图形的面积为 2，求函数 y=f(x)，问 a 为何值，此图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积最小?23 设 f(x)在0，b可导，f(x)0( (0，b)，t 0，b，问 t
6、 取何值时，图 410中阴影部分的面积最大? 最小 ?24 证明：当 x1 时 0 (x-1)225 当 x0，证明 0x(t-t2)sin2ntdt ，其中 n 为自然数26 求证：当 x0 时不等式(1+x)ln 2(1+x)x 2 成立27 求证：x(0，1)时28 设 f(x)在0，+)可导，且 f(0)=0若 f(x)-f(x)， (0，+)，求证：f(x)0，x(0，+)29 求证：x0，11时， xp+(1-x)p1，p1；1x p+(1-x)p ，0p130 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且f(x)1，又 f(0)=f(1)，证明：对于 x1，x 20，1，
7、有f(x 1)-f(x2)31 求证： (x(0，1)考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 本题应先从 x=0 是否为驻点入手，即求 f(0)是否为 0；若是再判断是否为极值点由 =0，从而 f(0)=0， f(0)= =-10=0 可知 x=0 是f(x)的驻点再由极限的局部保号性还知，在 x=0 的某去心邻域内；由于 1-cosx0，故在此邻域内，当 x0 时 f(x)0=f(0)，而当x0 时 f(x)0=f(0) ，可见 x=0 不是极值点，故选 (C)【知识模块】 微分
8、中值定理及其应用2 【正确答案】 C【试题解析】 由条件 =1 及 f(x)在 x=0 连续且 =f(0)=0用洛必达法则得 型未定式极限 因 =f(0)，若f(0)0，则 J=与 J=1 矛盾，故必有 f(0)=0再由 f(0)的定义得f(0)=2因此，(0，f(0)是拐点选 (C)【知识模块】 微分中值定理及其应用3 【正确答案】 B【试题解析】 已知 f(0)=0，现考察 f(0)由方程得又 f(x)在 x=0 连续 f(0)=30因此 f(0)是 f(x)的极小值应选(B)【知识模块】 微分中值定理及其应用二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】 令 f(x)
9、=arctanx，g(x)= ，要证 f(x)=g(x)当 x(-1，1)时成立，只需证明：1f(x)，g(x)在(-1 ，1)可导且当 x(-1，1)时 f(x)=g(x)；2x0(-1，1) 使得 f(x0)=g(x0)由初等函数的性质知 f(x)与 g(x)都在(-1，1)内可导，计算可得即当x(-1，1) 时 f(x)=g(x)又 f(0)=g(0)=0，因此当 x(-1，1)时 f(x)=g(x)，即恒等式成立【知识模块】 微分中值定理及其应用5 【正确答案】 曲线 y=f(x)，y=g(x) 在公共点 M0(x0，f(x 0)即(x 0，g(x 0)处相切，在点 M0 的某邻域有相
10、同的凹凸性因 f(x)，g(x) 在 x0 处连续，f(x 0)=g(x)0(或0) x0 的某邻域(x 0-，x 0+)，当 x(x0-，x 0+)时 f(x)0，g(x)0(或 f(x)0，g(x)0) 又由曲率计算公式知，这两条曲线在点 M0 处有相同的曲率【知识模块】 微分中值定理及其应用6 【正确答案】 必要性：设(*)成立， x1，x 2(a， b)且 x1x 2 f(x2)f(x 1)+f(x1)(x2-x1)，f(x 1)f(x 2)+f(x2)(x1-x2) 两式相加 f(x1)-f(x2)(x2-x1)0 f(x1)f(x 2)，即 f(x)在(a，b)单调减少 充分性：设
11、 f(x)在(a，b)单调减少对于 ，x 0(a，b)且 xx0，由微分中值定理得 f(x)-f(x0)+f(x0)(x-x0)=f()-f(x0)(x-x0)0，其中 在x 与 x0 之间，即(*)成立【知识模块】 微分中值定理及其应用7 【正确答案】 () 定义域 x1，间断点 x=1，零点 x=0，且是奇函数.()求y， y和它们的零点 由 y=0 得驻点x=0， ；由 y=0 得 x=0，由这些点及间断点 x=1 把函数的定义域按自然顺序分成 由此可列出函数如下分段变化表，并标明每个区间上函数的单调性、凹凸性及相应的极值点与拐点因此，单调增区间是 ，单调减区间是；极大值点是 x= ，对
12、应的极大值是 ，极小值点是 x= ，对应的极小值是 ；凸区间是(-，-1)，(0，1)，凹区间是(-1，0)， (1，+)；拐点是(0，0)【知识模块】 微分中值定理及其应用8 【正确答案】 只有间断点 x=0，因 ，故有垂直渐近线 x=0又因此，x+时有斜渐近线 y=x最后，=0+ln1=0，于是 x-时有水平渐近线 y=0【知识模块】 微分中值定理及其应用9 【正确答案】 求渐近线只有两个间断点x=1， =，则 x=1 为垂直渐近线又=，则 x=-1 也是垂直渐近线又所以 y=x 是斜渐近线，无水平渐近线综上所述，作函数图形如图 47 所示【知识模块】 微分中值定理及其应用10 【正确答案
13、】 设椭圆内接矩形在第一象限中的顶点为 M(x，y)，则矩形的面积为 S(x)=4xy= (0xa)下面求 S(x)在0，a上的最大值先求 S(x)：令 S(x)=0 解得 x= ，因S(0)=S(a)=0， =2ab，所以 S(x)在0，a 的最大值即内接矩形最大面积为2ab【知识模块】 微分中值定理及其应用11 【正确答案】 设外切圆锥体的底半径为 r，高为 h见图 48，记ABO=，则，于是圆锥体体积为 求V(r)的最小值点等价于求 的最小值点由于因此，当 时圆锥体体积最小【知识模块】 微分中值定理及其应用12 【正确答案】 令 F(a)=0af(x)dx+0f(a)g(x)dx-af(
14、a)，对 a 求导得 F(a)=f(a)+gf(a)f(a)-af(a)-f(a)， 由题设 g(x)是 f(x)的反函数知 gf(a)=a，故 F(a)=0，从而 F(a)为常数又 F(0)=0，故 F(a)=0，即原等式成立【试题解析】 即证对 a 有函数恒等式 0af(x)dx+0f(a)g(x)dx=af(a)成立【知识模块】 微分中值定理及其应用13 【正确答案】 由 f(x)-f(x)0，得 e-xf(x)-f(x)=e-xf(x)0又 f(x)e-x x=0=0，则f(x)e-xf(x)e-x x=0=0进而 f(x)0(x0，+)，因此 f(x)0( 0，+)【知识模块】 微分
15、中值定理及其应用14 【正确答案】 下证 2xln2x-(1+2x)ln(1+2x)0( 0)令 t=2x，则 x0 时 t1，2 xln2x-(1+2x)ln(1+2x)=tlnt-(1+t)ln(1+t) =g(t)由于(xlnx)=lnx+10(x1) xlnx 在(1，+)单调上升 tlnt=(1+x)ln(1+t)0 ，2 xln2x-(1+xx)ln(1+2x)0 因此 f(x)0(x0) ，f(x)在(0，+)单调下降【知识模块】 微分中值定理及其应用15 【正确答案】 要证 在(0，a 单调下降，只需证明导数为此令 F(x)=xf(x)-f(x)，则只需证 F(x)0( (0，
16、a)对 F(x)求导得 F(x)=xf(x)0 ( (0，a) 又 F(0)=0，则 F(x)0(0，a)，即 xf(x)-f(x)0(0xa)【知识模块】 微分中值定理及其应用16 【正确答案】 由 f(4)(x)0(x(a ，b)，知 f(x)在(a，b)单调上升又因 f(x0)=0，故 从而 f(x)在(a ， x0单调下降，在x 0，b)单调上升又 f(x0)=0，故 f(x)0(x(a ，b)，xx 0)，因此 f(x)在(a ，b)为凹函数【知识模块】 微分中值定理及其应用17 【正确答案】 () 先用隐函数求导法求出 y(x)将方程两边对 x 求导得 6y 2y-4yy+2xy+
17、2y-2x=0，整理得()由 y(x)=0 及原方程确定驻点由 y(x)=0 得 y=x 代入原方程得 2x 3-2x2+2xx-x2=1，即 x3-x2+x3-1=0，(x-1)(2x 2+x+1)=0仅有根 x=1当 y=x=1 时，3y 2-2y+x0因此求得驻点 x=1()判定驻点是否是极值点将式化为(3y 2-2y+x)y=x-y 将式两边对 x 在 x=1 求导，注意 y(1)=0，y(1)=1 ，得 2y(1)=1，y“(1)= 0故 x=1 是隐函数 y(x)的极小值点【知识模块】 微分中值定理及其应用18 【正确答案】 函数 在定义域(0，+)上处处连续，先求 y，y 和它们
18、的零点及不存在的点y=(x 3-y“= .3(x2-1)2+2x(x3- =-2(x3-(x2-1)2-x(x3-3x) 由 y得 x=1；x=时 y不存在；x= 时 y不存在；无 y=0，的点现列下表：因此得 单调减少区间是(0，1)，单调增加区间是(1，+)，x=1 是极小值点，凹区间是 ，凸区间是 是拐点最后求渐近线因 ，所以无垂直渐近线由于因此只有斜渐近线 y=x【知识模块】 微分中值定理及其应用19 【正确答案】 f(x)在(-，+)上连续且可写成如下分段函数由此得 x(-，0) 时 f(x)0，故 f(x)在(-，0单调增加；x (a，+)时 f(x)0，故f(x)在a，+) 单调
19、减少从而 f(x)在0，a上的最大值就是 f(x)在(-，+)上的最大值在(0 ，a)上解 f(x)=0，即(1+a-x) 2-(1+x)2=0，得 x= 又因此 f(x)在0，a即在(-，+)的最大值是 由于 f(x)在(-，0)单调增加，在(a ，+) 单调减少，又 f(x)在0，a的最小值 因此 f(x)在(-，+)上无最小值【知识模块】 微分中值定理及其应用20 【正确答案】 由于 f(x)是偶函数，我们只需考察 x0，+)由变限积分求导公式得 f(x)=2x(2-x 2)e-x2解 f(x)=0 得 x=0 与 x= ，于是从而，f(x)的最大值是=02(2-t)e-tdt=02(2
20、-t)de-t=(t-2)e-t 02-02e-tdt=2+e 02=1+e-2由上述单调性分析，为求最小值，只需比较 f(0)与 的大小由于 =0+(2-t)e-tdt=(t-2)e-t+e-t 0+=1f(0)=0因此 f(0)=0 是最小值【知识模块】 微分中值定理及其应用21 【正确答案】 过椭圆上任意点(x 0，y 0)的切线的斜率 y(x0)满足切线方程为 y-y 0= (x-x0)分别令 y=0 与 x=0，得 x，y 轴上的截距： 于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图 49)为 S(x0)= ab问题是求：S(x)=(0xa) 的最小值点，其中 ，将其代入 S(x)中，
21、问题可进一步化为求函数 f(x)=x2(a2-x2)在闭区间0，a上的最大值点由 f(x)=2x(a2-2x2)=0(x(0，a)得 a0-2x0=0，x=x 0= 注意 f(0)=f(a)=0，f(x 0)0，故 x0= 是 f(x)在0，a的最大值点因此为所求的点【知识模块】 微分中值定理及其应用22 【正确答案】 () 首先由 xf(x)=f(x)+ ax2，f(x)0(x(0，1)求出 f(x)这是求解一阶线性方程 两边乘积分因子(取其中一个)，得ax2+Cx，x0，1，其中 C 为任意常数使得f(x)0(x (0，1)()确定 C 与 a 的关系使得由 y=f(x)与 x=1，y=0
22、 围成平面图形的面积为 2由已知条件得 2=01( ax2+Cx)dx= ，则 C=4-a因此，f(x)=ax2+(4-a)x，其中 a 为任意常数使得 (x)0(x(0，1) ，有 f(0)=0，f(1)= a+4-a=4+ 又 f(x)=3ax+4-a，由此易知-8a4 时 f(x)0(x(0，1)()求旋转体的体积V(a)= 01f2(x)dx=01 ax2+(4-a)x2dx=01( x4+x2-3x3)a2+(12x3-8x2)a+16x2dx ()求 V(a)的最小值点由于则当 a=-5 时 f(x)0(x(0，1)，旋转体体积取最小值【知识模块】 微分中值定理及其应用23 【正确
23、答案】 由于 S(t)=0tf(t)-f(x)dx+tbf(x)-f(t)dx=t(ft)-0tf(x)dx+tbf(x)dx+(t-b)f(t)在 0，b 可导，且 S(t)=tf(t)+f(t)-f(t)-f(t)+f(t)+(t-b)f(t)则 S(t)在时，S(t)取最小值S(t)在0，b连续，也一定有最大值，且只能在 t=0 或 t=b 处取得S(0)= 0bf(x)dx-bf(0)，S(b)=bf(b)-0bf(x)dx，S(b)-S(0)= 不能肯定最大值点不确定但只能在 t=0 或 t=b 处取得【知识模块】 微分中值定理及其应用24 【正确答案】 对 x1 引入函数 f(x)
24、=lnx+ -2，则 f(x)在1，+)可导，且当x1 时 从而 f(x)在1，+)单调增加，又 f(1)=0，所以当 x1 时，f(x)f(1)=0，即 lnx+ -20.令 g(x)=(x-1)3，则 g(x)在1，+)可导，且当 x1 时故g(x)在区间1，+)上单调减少，又 g(1)=0，所以当 x1 时 g(x)g(1)=0 ，即 lnx+(x-1)2 当 x1 时成立【知识模块】 微分中值定理及其应用25 【正确答案】 利用定积分的性质来证明由于 f(x)=0x(t-t2)sin2ntdt=01(t-t2)sin22ntdt+1x(t-t2)sin2ntdt，因为当 t1 时 t-
25、t20，所以 1x(t-t2)sin2ntdt0于是 f(x)01(t-t2)sin2ntdt01(t-t2)t2ndt= .【知识模块】 微分中值定理及其应用26 【正确答案】 令 f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，则有 f(0)=0，f(x)=2x-ln 2(1+x)-2ln(1+x)，f(0)=0，f(x)=2- x-ln(1+x)，f(0)=0，f(x)=，f(0)=0于是 f(x)当 x0 时单调增加，又 f(0)=0，所以当 x0 时 f(x)f(0)=0从而 f(x)当 x0 时单调增加，又 f(0)=0，故当x0 时 f(x)f(0)=0因此 f(x)当 x0 时单调
26、增加，又 f(0)=0，所以当 x0 时 f(x)f(0)=0原不等式得证【知识模块】 微分中值定理及其应用27 【正确答案】 令 ，当 x0 时有故 g(x)在(0，1)内单调下降又 g(x)在(0，1连续，且 g(1)= -1，g(x)在 x=0 无定义，但若补充定义 g(0)= ，则 g(x)在0，1上连续又 g(x)0，0x1，因此 g(x)在0 ，1单调下降所以，当 0x1 时 g(1)g(x) g(0)，即成立【知识模块】 微分中值定理及其应用28 【正确答案】 要证 f(x)0 exf(x)0 (x0)由 exf(x)在0，+)可导且e xf(x)=exf(x)+f(x)0 (x
27、0) exf(x)在0 ，+) 单调上升 exf(x)exf(x) x=0=0(x0)f(x)0(x0)【知识模块】 微分中值定理及其应用29 【正确答案】 令 f(x)=xp+(1-x)p，则 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且有f(x)=pxp-1-(1-x)p-1令 f(x)=0 得 x= 易知 f(0)=f(1)=1， 当 p1 时，1 f(x)在0，1的最大值为 1，最小值为 f(x)1，x0，1当 0p1 时，1 f(x)在0，1的最大值为 ，最小值为 1 1f(x) ，x 0，1【知识模块】 微分中值定理及其应用30 【正确答案】 联系 f(x1)-f(x2)与 f(
28、x)的是拉格朗日中值定理不妨设0x1x21分两种情形：1)若 x2-x1 ，直接用拉格朗日中值定理得f(x 1)-f(x2)=f()(x 1-x1)=f()x 2-x1 2)若 x2-x1 ，当 0x1 时，利用条件 f(0)=f(1)分别在0 ，x 1与x 2，1上用拉格朗日中值定理知存在 (0，x 1)，(x2，1) 使得f(x 1)-f(x2)= f(x 1)-f(0)-f(x2)-f(1)f(x 1)-f(0)+f(1)-f(x2)=f()x 1+ f()(1-x 2)x 1+(1-x2)=1-(x2-x1) 当 x1=0 且 x2 时，有f(x 1)-f(x2)=f(0)-f(x 2)=f(1)-f(x 2)=f()(1-x 2) 当 x1 且 x2=1时，同样有f(x 1)-f(x2)=f(x 1)-f(1)= f(x 1)-f(0)=f()(x 1-0) 因此对于任何 x1，x 20，1总有f(x 1)-f(x2)【知识模块】 微分中值定理及其应用31 【正确答案】 改写右端对 f(t) ln(1+t)，g(t)=arcsint 在0，x区间用柯西中值定理： 余下只需证注意函数 在(0，1)是单调减函数，因为原不等式成立【知识模块】 微分中值定理及其应用
