1、考研数学一（微分中值定理及其应用）-试卷 2及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：31，分数：62.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2.求函数 （分数：2.00）_3.作函数 y= （分数：2.00）_4.设 f(x)，g(x)在(a，b)内可导，g(x)0 且 （分数：2.00）_5.证明：arctanx=arcsin （分数：2.00）_6.设 P(x)在0，+)连续且为负值，y=y(x)在0，+)连续，在(0，+)满足 y+P(x)y0 且 y(0)0，求证：y(x)在0，+)单调增加（分数：2.00）_7.设
2、 g(x)在a，b连续，f(x)在a，b二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对 （分数：2.00）_8.设 f(x)在a，b连续，在(a，b)可导，f(a)=f(b)，且 f(x)不恒为常数，求证：在(a，b)内存在一点，使得 f()0（分数：2.00）_9.证明方程 x=asinx+b(a0，b0 为常数)至少有一个正根不超过 a+b（分数：2.00）_10.求证：e x +e x +2cosx=5恰有两个根（分数：2.00）_11.设当 x0 时，方程 kx+ （分数：2.00）_12.讨论曲线 y=2lnx与 y=2x+ln 2 x+k在(0，+)内的交点个数(其中 k为常数)（分数：2
3、.00）_13.证明：x x 2 ln(1+x)x( （分数：2.00）_14.设 f(x)在1，+)可导， xf(x)kf(x)(x1)，在(1，+)的 子区间上不恒等，又f(1)M，其中后 k，M 为常数，求证：f(x) （分数：2.00）_15.设 0x 1 x 2 ，f(x)在x 1 ，x 2 可导，证明：在(x 1 ，x 2 )内至少 一个 c，使得 （分数：2.00）_16.设 f(x)在0，1可导且 f(1)=2 f(x)dx，求证： （分数：2.00）_17.已知以 2 为周期的周期函数 f(x)在(，+)上有二阶导数，且 f(0)=0设 F(x)=(sinx1) 2 f(x)
4、，证明 =x 0 (2， （分数：2.00）_18.设 ba0，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，f(a)f(b)，求证：存在 ，(a，b)使得（分数：2.00）_19.设 f(x)在 x=0的某邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)=0，f(0)存在求证： （分数：2.00）_20.设有参数方程 （分数：2.00）_21.设 f(x)=nx(1x) n (n为自然数)， ()求 f(x)； ()求证： f(x) （分数：2.00）_22.()设 f(x)在x 0 ，x 0 +)(x 0 ，x 0 )连续，在(x 0 ，x 0 +)(x 0 ，x 0 )可导，又 =A( =A)，求证：
5、f + (x 0 )=A(f (x 0 )=A) ()设 f(x)在(x 0 ，x 0 +)连续，在(x 0 ，x 0 +)x 0 可导，又 （分数：2.00）_23.设 f(x)在(a，+)内可导求证： ()若 x 0 (a，+)，f(x)0(xx 0 )，则 f(x)=+； ()若 f(x)=A0，则 （分数：2.00）_24.证明奇次方程 a 0 x 2n+1 +a 1 x 2n +a 2n x+a 2n+1 =0一定有实根，其中常数 a 0 0（分数：2.00）_25.设 f(x)在(，+)可导，且 f(x)=A，求证： （分数：2.00）_26.设 ()求 f(x)； ()证明：x=
6、0 是 f(x)的极大值点； ()令 x n = ，考察 f(x 0 )是正的还是负的，n 为非零整数； ()证明：对 （分数：2.00）_27.求函数 f(x)= （分数：2.00）_28.将长为 a的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少?（分数：2.00）_29.求从点 A(10，0)到抛物线 y 2 =4x之最短距离（分数：2.00）_30.求圆 x 2 +y 2 =1的一条切线，使此切线与抛物线 y=x 2 2 所围面积取最小值，并求此最小值（分数：2.00）_31.要造一个圆柱形无盖水池，使其容积为 V 0 m 3 底的单位面积造
7、价是周围的两倍，问底半径 r与高h各是多少，才能使水池造价最低?（分数：2.00）_考研数学一（微分中值定理及其应用）-试卷 2答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：31，分数：62.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：2.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：定义域：x1 ()由 单调增区间(0，1)；单调减区间(一，0)(1，+)；极小值点 x=0 ()由 凹区间 )解析：3.作函数 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：定义域：x0 ()由 y= 由 y= ()渐近线：只有间断点x=0由
8、=可知，有垂直渐近线 x=0； 由 =0可知，有水平渐近线 y=0 )解析：4.设 f(x)，g(x)在(a，b)内可导，g(x)0 且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以存在常数 c，使得 =c ( x(a，b)，即 f(z)=cg(z) ()解析：解析：即证明 f(x)g(x)在(a，b)为常数，只需证在(a，b)有f(x)g(x)=05.证明：arctanx=arcsin （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=arctanxarcsin ，则 f(x)为常数又 f(0)=0 f(x)0，x(一，+) )解析：6.设 P(x)在0，+)连续且为负值，y=
9、y(x)在0，+)连续，在(0，+)满足 y+P(x)y0 且 y(0)0，求证：y(x)在0，+)单调增加（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y+P(x)y0(x0) y(x)在0，+)连续， y(x)0(x0)y(x)P(x)y(x)0(x0) y(x)在0，+)单调增加 )解析：7.设 g(x)在a，b连续，f(x)在a，b二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 f(x)在a，b上不恒为零，则 f(x)在a，b取正的最大值或负的最小值 不妨设 f(x 0 )= f(x)0，则 x 0 (a，b)且 f(x 0 )=0，f(x 0 )
10、0 f(x 0 )+g(x 0 ) f(x 0 )f(x 0 )与已知条件矛盾同理，若 f(x 1 )= f(x)0，同样得矛盾因此 f(x)0( )解析：8.设 f(x)在a，b连续，在(a，b)可导，f(a)=f(b)，且 f(x)不恒为常数，求证：在(a，b)内存在一点，使得 f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若不然 x(a，b)，f(x)0 f(x)在a，b单调不增 xa，b，f(a)f(x)f(b) )解析：9.证明方程 x=asinx+b(a0，b0 为常数)至少有一个正根不超过 a+b（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考察 f(x)=x一 asinx一 b
11、，即证它在(0，a+b有零点显然，f(x)在0，a+b连续，且 f(0)=b0，f(a+b)=a1sin(a+b)0 若 f(a+b)=0，则该方程有正根 x=a+b若 f(a+6)0，则由连续函数零点存在性定理 )解析：10.求证：e x +e x +2cosx=5恰有两个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：即证 f(x)=e x +e x +2cosx5 在(，+)恰有两个零点由于 f(x)=e x e x 2sinx， f(x)=e x +e x 2cosx22cosx0 (x0)， f(x)在(，+) 又因 f(0)=0 f(x) f(x)在(，0单调下降，在0，+)单调上升
12、又 f(0)=10， f(x)=+，因此 f(x)在(，0)与(0，+)各 )解析：11.设当 x0 时，方程 kx+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=kx+ 1(x0)，则 f(x)=k 一 0 ()当 k0 时，f(x)0，f(x)单调减少，又 故 f(x)此时只有一个零点 ()当 k0 时，由 f(x)=0 得 x=是极小值点，且极小值为 当极小值为零时，即当 时，有 k= ，此时方程有且仅有一个根；当 k 时，方程无根或有两个根 因此，k 的取值范围为 k0 及 k= )解析：12.讨论曲线 y=2lnx与 y=2x+ln 2 x+k在(0，+)内的交点个数(其
13、中 k为常数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=2x+ln 2 x+k2lnx(x(0，+)，于是本题两曲线交点个数即为函数f(x)的零点个数由 f(x)=2+ (x+lnx1)， 令 f(x)=0 可解得唯一驻点 x 0 =1(0，+) 当 0x1 时 f(x)0，f(x)单调减少；而当 x1 时 f(x)0，f(x)单调增加于是 f(1)=2+k为f(x)在(0，+)内唯一的极小值点，且为(0，+)上的最小值点因此 f(x)的零点个数与最小值 f(1)=2+k的符号有关 当 f(1)0 即 k2 时 f(x)在(0，+)内恒为正值函数，无零点 当 f(1)=0即k=2
14、 时 f(x)在(0，+)内只有一个零点 x 0 =1 当 f(1)0 即 k2 时需进一步考察 f(x)在 x0 + 与 x+的极限： 由连续函数的零点定理可得， )解析：13.证明：x x 2 ln(1+x)x( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()令 F(x)=xln(1+x) F(x)=1 一 0(x0) 又 F(0)=0，F(x)在0，+)连续 F(x)在0，+) F(x)F(0)=0( x0) ()令 G(x)=ln(1+x)(x x 2 )=ln(1+x)一 x+ x 2 ，则 )解析：14.设 f(x)在1，+)可导， xf(x)kf(x)(x1)，在(1，+)的 子
15、区间上不恒等，又f(1)M，其中后 k，M 为常数，求证：f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 xf(x)+(k+1)f(x)0(x1)，在(1，+) 子区间上不恒为零，要证f(x)x k+1 M(x1)令 F(x)=f(x)x k+1 F(x)=x k+1 f(x)+(k+1)x k f(x)=x k xf(x)+(k+1)f(x)0(x1)，在(1，+) 子区间上不恒为零，又 F(x)在1，+)连续 F(x)在1，+)单调下降 )解析：15.设 0x 1 x 2 ，f(x)在x 1 ，x 2 可导，证明：在(x 1 ，x 2 )内至少 一个 c，使得 （分数：2.00）
16、_正确答案：(正确答案：记 k= e x1 f(x 2 )e x2 f(x 1 )， 要证 f(x)f(x)+k 在(x 1 ，x 2 ) 零点 e x f(x)一 f(x)+k=e x (f(x)一 k)在(x 1 ，x 2 ) 零点 令 F(x)=e x f(x)一 k，则 F(x)在x 1 ，x 2 可导考察 因此，由罗尔定理 )解析：16.设 f(x)在0，1可导且 f(1)=2 f(x)dx，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= f(x)，则 F(x)在0，1可导，且 因此，由罗尔定理，(0，1)，使得 F()= )解析：解析：即证 f(x)一 2xf(x
17、)在(0，1)存在零点 f(x)2xf(x)在(0，1)存在零点 f(x)在(0，1)存在零点 作辅助函数 F(x)= f(x)时，按题设还要找一个 (0，1)，使得 F(1)=F()，即 e 1 f(1)= f() 由题设及积分中值定理， ，使得 17.已知以 2 为周期的周期函数 f(x)在(，+)上有二阶导数，且 f(0)=0设 F(x)=(sinx1) 2 f(x)，证明 =x 0 (2， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 F(0)=F =0，于是由罗尔定理知， x 1 (0， )，使得F(x 1 )=0又 F(x)=2(sinx 一 1)f(x)+(8inx一 1) 2
18、 f(x)， 对 F(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在 x 0 * (x 1 ， )，使得 F(x 0 * )=0 注意到 F(x)以 2 为周期，F(x)与 F(x)均为以 2 为周期的周期函数，于是 x 0 =2+x 0 * ，即 x 0 (2， )解析：解析：首先，因 f(x)是周期为 2 的周期函数，则 F(x)也必为周期函数，且周期为 2，于是只需证明 18.设 ba0，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，f(a)f(b)，求证：存在 ，(a，b)使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在 (a，b
19、)，使 令 g(x)=x 2 ，由柯西中值定理知， (a，b)，使 将式代入式，即得 f()=(a+b) )解析：19.设 f(x)在 x=0的某邻域内有连续的一阶导数，且 f(0)=0，f(0)存在求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ln(1+x)x(x(一 1，+)，故由拉格朗日中值定理可知，存在 (x)(ln(1+x)，x)，使得 由此可得 由于当 x0 时，有 1； 当1x0 时，有 1故由夹逼定理知， =0于是 )解析：20.设有参数方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() =3cos 2 t(sint)0，(t0，)，仅当 t=0， x是 t的单调(
20、减)函数， y=sin 3 t(x)=y(x)，x1，1 ()记 0t 当 t0， 注意 y=y(x)在一 1，1连续，t 与 x的对应关系： 0x1 时 y(x)单调下降，一 1x0 时 y(x)单调上升 ()由 y=y(x)在1，0，0，1均是凹的y=y(x)的图形如图 42 )解析：21.设 f(x)=nx(1x) n (n为自然数)， ()求 f(x)； ()求证： f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求 f(x)=n(1 一 x) n1 1一(n+1)x 0，得唯一驻点 x=x n = 又 f(0)=f(1)=0 ()注意 单调下降极限为 e )解析：22.()
21、设 f(x)在x 0 ，x 0 +)(x 0 ，x 0 )连续，在(x 0 ，x 0 +)(x 0 ，x 0 )可导，又 =A( =A)，求证：f + (x 0 )=A(f (x 0 )=A) ()设 f(x)在(x 0 ，x 0 +)连续，在(x 0 ，x 0 +)x 0 可导，又 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()f + (x 0 ) f(x)=A另一类似 ()由题() f + (x 0 )=f (x 0 )=A f(x 0 )=A或类似题()，直接证明 ()即证 f(x)中至少一个不 若它们均存在， f(x)=A ，由题() f (x 0 )=A 因 f(x)在 x 0 可导
22、 )解析：23.设 f(x)在(a，+)内可导求证： ()若 x 0 (a，+)，f(x)0(xx 0 )，则 f(x)=+； ()若 f(x)=A0，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() xx 0 ，由拉格朗日中值定理， (x 0 ，x)，f(x)=f(x 0 )+f()(x 一 x 0 )f(x 0 )+(x 一 x 0 )， 又因 f(x)=+ ()因 0，由极限的不等式性质 x 0 (a，+)，当 xx 0 时 f(x) 0，由题()得 )解析：24.证明奇次方程 a 0 x 2n+1 +a 1 x 2n +a 2n x+a 2n+1 =0一定有实根，其中常数 a 0 0
23、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 a 0 0令 f(x)=a 0 x 2n+1 +a 1 x 2n +a 2n x+a 2n+1 ，则 )解析：解析：记方程左端为函数 f(x)，设 a 0 0，只需证明： 25.设 f(x)在(，+)可导，且 f(x)=A，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由极限不等式性质转化为有限区间的情形(如图 43) 若 f(x)A，显然成立若 f(x) A，必存在 x 0 ，f(x 0 )A，不妨设 f(x 0 )A由极限不等式性质， bx 0 ，f(b)f(x 0 )； )解析：26.设 ()求 f(x)； ()证明：x=0 是 f(
24、x)的极大值点； ()令 x n = ，考察 f(x 0 )是正的还是负的，n 为非零整数； ()证明：对 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()当 x0 时按求导法则得 当 x=0时按导数定义得 ()由于 f(x)一 f(0)=x 2 (2+sin )0(x0)，f(x)f(0)，于是由极值的定义可知 x=0是 f(x)的极大值点 ()令 x n = =(一 1) n ，于是 ()对 负奇数且n充分大时 x n (一 ,0)，f(x n )0 f(x)在(一 ，0)不单调上升；当 n为正偶数且 n充分大时 x n (0，)，f(x n )0 )解析：27.求函数 f(x)= （分数：
25、2.00）_正确答案：(正确答案：先求导数并得驻点 再求 由于 f(x)在(一，+)内可导，且有唯一的极小值点 x= ，因而必是最小值点，f(x)的最小值为 )解析：28.将长为 a的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使两段面积之和最小，问两段铁丝各长多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：围成圆的铁丝长为 x，则围成正方形的铁丝长为 a一 x，于是圆的半径 r= ，正方形边长 ，x(0，a)的最小值点由 时面积和最小 )解析：29.求从点 A(10，0)到抛物线 y 2 =4x之最短距离（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：抛物线上点 P( ，y)到 A(10，
26、0)的距离的平方(如图 44)为 问题是求d(y)在0，+)上的最小值(d(y)在(一，+)为偶函数) 由于 在(0，+)解 d(y)=0 得 y=于是 d( )=36，d(0)=100 又 )解析：30.求圆 x 2 +y 2 =1的一条切线，使此切线与抛物线 y=x 2 2 所围面积取最小值，并求此最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 45，圆周的参数方程为 x=cos，y=sin圆周上 点(cos，sin)处切线的斜率是 =cot，于是切线方程是 它与 y=x 2 2交点的横坐标较小者为 ，较大者为 ，则 ， 是方程 x 2 +xcot2 =0的根，并且切线与抛物线所围面
27、积为 为求 () 3 最小值，只要求() 2 最小值，由一元二次方程根与系数关系得 () 2 =(+) 2 4=cot 2 +4(2+ ) 所以，当 +2=0时取最小值3由 因此，所围面积最小值为 所求切线有两条： )解析：31.要造一个圆柱形无盖水池，使其容积为 V 0 m 3 底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径 r与高h各是多少，才能使水池造价最低?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出水池总造价的表达式设水池周围单位面积造价为 a元m 2 ，水池造价为 y，则 y=2rha+2ar 2 又知 V 0 =r 2 h，代入上式得 y=2a( +r 2 )，0r 现求y(r)在(0，+)上的最小值点求 y(r)： 因此，当 r= )解析：
