1、考研数学一（微分中值定理及其应用）-试卷 3及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=a处连续，且 （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f(a)0C.有极大值D.有极小值3.若 xf(x)+3xf(x) 2 =1e x 且 f(0)=0，f(x)在 x=0连续，则下列正确的是（分数：2.00）A.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点B.f(0)是 f(x)的极小值C.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是 y=f(x)
2、的拐点D.f(0)是 f(x)的极大值4.设 f(x)在(a，b)定义，x 0 (a，b)，则下列命题中正确的是（分数：2.00）A.若 f(x)在(a，b)单调增加且可导，则 f(x)0(x(a，b)B.若(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点，则 f(x 0 )=0C.若 f(x 0 )=0，f(x 0 )=0， D.若 f(x)在 x=x 0 处取极值，则 f(x 0 )=05.设 f(x)可导，恒正，且 0axb 时恒有 f(x)xf(x)，则（分数：2.00）A.bf(a)af(b)B.abf(x)x 2 f(b)C.af(a)xf(x)D.abf(x)x 2 f(a)
3、6.若函数 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，且 f(0)0，f(x)k0，则在(0，+)内 f(x)（分数：2.00）A.没有零点B.至少有一个零点C.只有一个零点D.有无零点不能确定7.曲线 y=arctan （分数：2.00）A.1B.2C.3D.48.曲线 y=f(x)= （分数：2.00）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.的极大值点是 x= 1，极小值点是 x= 2 （分数：2.00）填空项 1:_10.曲线 y=3x+ （分数：2.00）填空项 1:_11.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_12.数列 1， （分数：2
4、.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.求证：x0，1时， x p +(1x) p 1，p1；1x p +(1x) p （分数：2.00）_15.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0f(x)1(x(0，1)求证： （分数：2.00）_16.设 f(x)在(a，b)二阶可导， x 1 ，x 2 (a，b)，x 1 x 2 t(0，1)，则 ()若f(x)0( x(a，b)，有 ftx 1 +(1t)x 2 tf(x 1 )+(1t)f(x 2 )， (46) 特别有 f
5、(x 1 )+f(x 2 )； ()若 f(x)0( x(a，b)，有 ftx 1 +(1t)x 2 tf(x 1 )+(1t)f(x 2 )， (47) 特别有 （分数：2.00）_17.设 a0，b0，ab，证明下列不等式： ()a p +b p 2 1p (a+b) p (p1)； ()a p +b p 2 1p (a+b) p (0p1)（分数：2.00）_18.设 f(x)在(，a)内可导， f(x)=0 （分数：2.00）_19.设 f(x)在a，b上可导，且 f + (a)与 f (b)反号，证明：存在 (a，b)使得 f()=0（分数：2.00）_20.设 f(x)在a，b上可
6、导，且 f + (a)0，f (b)0，f(a)f(b)，求证：f(x)在 (a，b)至少有两个零点（分数：2.00）_21.设 f(x)在(a，b)内可导，且 （分数：2.00）_22.设 f(x)在0，1三阶可导，且 f(0)=f(1)=0设 F(x)=x 2 f(x)，求证：在(0，1)内存在 c，使得 （分数：2.00）_23.设 a，b，c 为实数，求证：曲线 y=e x 与 y=ax 2 +bx+c的交点不超过三个（分数：2.00）_24.设 f(x)= （分数：2.00）_25.设 f(x)在0，1上连续，且满足 f(x)dx=0， （分数：2.00）_26.设 f(x)在x 1
7、 ，x 2 可导，0x 1 x 2 ，证明： (x 1 ，x 2 )使得 （分数：2.00）_27.设 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(1)=0，试证： (0，1)使得 （分数：2.00）_28.设 f(x)在(a，b)内可导，且 x 0 (a，b)使得 又 f(x 0 )0(0)， f(x)0(0)， f(x)0(0)(如图 413)，求证：f(x)在(a，b)恰有两个零点 （分数：2.00）_29.求证：方程 lnx= （分数：2.00）_30.就 a的不同取值情况，确定方程 lnx=x a (a0)实根的个数（分数：2.00）_31.设 f(x)在a，b连续，在(a，b)可导
8、，又 ba0，求证： ，(a，b)使得 f()=f() （分数：2.00）_32.设 （分数：2.00）_考研数学一（微分中值定理及其应用）-试卷 3答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=a处连续，且 （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f(a)0C.有极大值D.有极小值 解析：解析：由 f(x)在 x=a连续 f(x)=f(a)又 根据极限的保号性 0，当0xa 时3.若 xf(x)+3xf(x) 2 =1e x 且 f(0
9、)=0，f(x)在 x=0连续，则下列正确的是（分数：2.00）A.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点B.f(0)是 f(x)的极小值C.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点D.f(0)是 f(x)的极大值 解析：解析：由 f(0)=0 知 x=0是 f(x)的驻点为求 f(0)，把方程改写为 f(x)+3f(x) 2 = 令 x0，得 f(0)= =10 4.设 f(x)在(a，b)定义，x 0 (a，b)，则下列命题中正确的是（分数：2.00）A.若 f(x)在(a，b)单调增加且可导，则 f(x)0(x(a，b)B.若(x 0 ，f(x 0 )是曲
10、线 y=f(x)的拐点，则 f(x 0 )=0C.若 f(x 0 )=0，f(x 0 )=0， D.若 f(x)在 x=x 0 处取极值，则 f(x 0 )=0解析：解析： (A)，(B)，(D)涉及到一些基本事实 若 f(x)在(a，b)可导且单调增加 f(x)0(x(a，b) 若(x 0 ，f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点，则 f(x 0 )可能不存在 若 x=x 0 是 f(x)的极值点，则 f(x 0 )可能不存在 因此(A)，(B)，(D)均不正确(如图 41 所示)选(C) 5.设 f(x)可导，恒正，且 0axb 时恒有 f(x)xf(x)，则（分数：2.00）A.bf(
11、a)af(b)B.abf(x)x 2 f(b)C.af(a)xf(x) D.abf(x)x 2 f(a)解析：解析：(A)，(B)，(D)分别改写为 因此要考察 的单调性因为 或由正值函数 .x 2 在a，b单调上升 6.若函数 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，且 f(0)0，f(x)k0，则在(0，+)内 f(x)（分数：2.00）A.没有零点B.至少有一个零点C.只有一个零点 D.有无零点不能确定解析：解析：讨论函数的零点，一般要用连续函数在闭区间上的介值定理根据拉格朗日中值定理， f(x)=f(0)+f()x(0x)，得 f(x)f(0)+kx显然当 x足够大时 f(x)0
12、 (事实上只需 x7.曲线 y=arctan （分数：2.00）A.1 B.2C.3D.4解析：解析：令 f(x)=arctan ，f(x)的定义域是(一，一 2)(一 2，1)(1，+)，因f(x) ，从而 x=1与 x=2 不是曲线 y=f(x)的渐近线又因 故 y=8.曲线 y=f(x)= （分数：2.00）A.1个B.2个 C.3个D.4个解析：解析：f(x)的定义域为(一，一 1)(一 1，1)(1，+)，且在定义域内处处连续由 令 f(x)=0，解得 x 1 =0，x 2 =2；f(x)不存在的点是 x 3 =1，x 4 =1(也是 f(x)的不连续点) 现列下表： 二、填空题(总
13、题数：4，分数：8.00)9.的极大值点是 x= 1，极小值点是 x= 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0 或 ）解析：解析：0x1 时 f(x)0，按定义 x=0是极大值点，x0 时 f(x)=2xlnx+x=x(lnx 2 +1) 是极小值点 由于 f(x)是偶函数，x= 10.曲线 y=3x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=3x+1）解析：解析：只有间断点 x=0， x=0为垂直渐近线又 有斜渐近线 y=3x+111.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，0)）解析：解析： 这里 y(x)在(一
14、，+)连续，(y(0)，y(0)均不12.数列 1， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：考察函数 f(x)= (x1)，求 f(x)在1，+)上的最大值由 f(x)在1，e单调上升，在e，+)单调下降，f(x)= 在 x=e取最大值，它的相邻两点是 x=2，3现比较 f(2)= ，因此，最大项是：三、解答题(总题数：20，分数：40.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.求证：x0，1时， x p +(1x) p 1，p1；1x p +(1x) p （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=
15、x p +(1x) p ，则 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且有 f(x)=px p1 (1x) p1 令 f(x)=0 得 x= 易知 f(0)=f(1)=1， 当 p1 时，1 f(x)在0，1的最大值为 1，最小值为 f(x)1，x0，1 当 0p1 时，1 f(x)在0，1的最大值为 ，最小值为 1 )解析：15.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导，f(0)=0，0f(x)1(x(0，1)求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知，f(x)0(x(0，1)，可转化为证不等式 f 3 (x)dx1 引进辅助函数 F(x)= f(t)dt 2 ， G(
16、x)= f 3 (t)dt，又可转化为证不等式 这可用柯西中值定理 易知 F(x)，G(x)在0，1可导，G(x)=f 3 (x)0(x(0，1)，于是由柯西中值定理知， (0，1)使得 对 f(t)dt与 f 2 (x)还可在0，上用柯西中值定理， (0，)使得 因此 )解析：16.设 f(x)在(a，b)二阶可导， x 1 ，x 2 (a，b)，x 1 x 2 t(0，1)，则 ()若f(x)0( x(a，b)，有 ftx 1 +(1t)x 2 tf(x 1 )+(1t)f(x 2 )， (46) 特别有 f(x 1 )+f(x 2 )； ()若 f(x)0( x(a，b)，有 ftx 1
17、 +(1t)x 2 tf(x 1 )+(1t)f(x 2 )， (47) 特别有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()与()的证法类似，下面只证()因 f(x)0(x(a，b) f(x)在(a，b)为凹的 (45)相应的式子成立注意 tx 1 +(1t)x 2 (a，b) )解析：17.设 a0，b0，ab，证明下列不等式： ()a p +b p 2 1p (a+b) p (p1)； ()a p +b p 2 1p (a+b) p (0p1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 a p +b p 2 1p (a+b) p 改写成 考察函数 f(x)=x p ，x0，则 f(x
18、)=px p1 ，f(x)=p(p1)x p2 ()若 P1，则 f(x)0( 0)，f(x)在(0，+)为凹函数，由已知不等式(410)，其中 t= 得： a0，b0，ab，有 ()若0P1，则 f(x)0( 0)，f(x)在(0，+)为凸函数，由不等式(46)，其中 t= )解析：18.设 f(x)在(，a)内可导， f(x)=0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由极限的不等式性质， 0，当 xa，a)时 0，即 f(x)0，也就有 f(a)0 x 0 a，当 xx 0 时 f(x) 0于是由微分中值定理知，当 xx 0 ， (x，x 0 )使得 f(x)=f(x 0 )+f()
19、(xx 0 )f(x 0 )+ (xx 0 )，由此可得 f(x)=+ )解析：解析：只需由所给条件证明： x 1 ，x 2 ，使得 f(x 1 )0，f(x 2 )0 即可由 0 确定 xa，x 靠近 a时 f(x)的符号，要根据极限的不等式性质来判断由 19.设 f(x)在a，b上可导，且 f + (a)与 f (b)反号，证明：存在 (a，b)使得 f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由极限的不等式性质和题设知，存在 0 使得 a+b 且 于是 f(a+)f(a)，f(b)f(b) 这表明 f(x)在a，b上的最大值必在(a，b)内某点取到，即存在(a，b)使得 f()=
20、 )解析：解析：因 f(x)在a，b上可导，因而必连续，故存在最大值和最小值如能证明最大值或最小值在(a，b)内取得，那么这些点的导数值必为零，从而证明了命题注意，由于题设条件中未假设 f(x)连续，所以不能用连续函数的介值定理来证明证明时不妨设 f + (a)0 且 f (b)020.设 f(x)在a，b上可导，且 f + (a)0，f (b)0，f(a)f(b)，求证：f(x)在 (a，b)至少有两个零点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)在a，b的连续性保证，在a，b上 f(x)至少达到最大值和最小值各一次由 f(a)f(b)得，若 f(x)的最大值在区间端点达到，则必在
21、x=a达到由 f(x)的可导性，必有 f + (a)0，条件 f + (a)0 表明 f(x)的最大值不能在端点达到同理可证 f(x)的最小值也不能在端点x=a或 x=b达到因此，f(x)在a，b的最大值与最小值必在开区间(a，b)达到，于是最大值点与最小值点均为极值点又 f(x)在a，b可导，在最大(小)值点处 f(x)=0，所以 f(x)在(a，b)至少有两个零点)解析：21.设 f(x)在(a，b)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 g(x)= )解析：解析：这是罗尔定理的推广与罗尔定理比较，两者的不同在于本题中没有假设 f(x)在a，b上连续是利用 f(x)在 a
22、和 b单侧极限存在，补充定义 f(x)在 a和 b两点的函数值就可转化为闭区间的情形22.设 f(x)在0，1三阶可导，且 f(0)=f(1)=0设 F(x)=x 2 f(x)，求证：在(0，1)内存在 c，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 F(0)=F(1)=0，F(x)在0，1可导，则 1 (0，1)，F( 1 )=0又 F(x) =x 2 f(x)+2xf(x)， 及由 F(0)=0，F( 1 )=0，F(x)在0，1可导，则 2 (0， 1 )使得 F( 2 )=0又 F(x)=x 2 f(x)+4xf(x)+2f(x)， 及由 F(0)=F( 2 )=0，F(x)
23、在0，1可导，则 c(0， 2 )使得 )解析：23.设 a，b，c 为实数，求证：曲线 y=e x 与 y=ax 2 +bx+c的交点不超过三个（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=e x ax 2 bxc，那么问题等价于证明 f(x)的零点不超过三个假设结论不正确，则至少有四个点 x 1 x 2 x 3 x 4 ，使得 f(x i )=0，i=1，2，3，4 由于 f(x)在x 1 ，x 4 上可导，由罗尔定理可知 f(x)在(x 1 ，x 2 )，(x 2 ，x 3 )，(x 3 ，x 4 )内至少各有一个零点 1 ， 2 ， 3 又由于 f(x)在 1 ， 3 上可导
24、，由罗尔定理可知 f(x)在( 1 ， 2 )，( 2 ， 3 )内至少各有一个零点 1 ， 2 同样地，由于 f(x)在 1 ， 2 上可导，由罗尔定理可知 (x)在( 1 ， 2 )内至少有一个零点 因此至少存在一点(，+)使得 )解析：解析：问题等价于 f(x)=e x ax 2 bxc 的零点不超过三个根据罗尔定理，可导函数的任何两个零点之间至少存在一个导函数的零点因此本题需要用反证法24.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()令 F(x)= a k sinkx coskx)显然，F(x)=f(x)由于 F(x)以 2 为周期且 F(0)=F(2)，故 F(x)
25、在0，2上连续，从而必有最大值与最小值设 F(x)分别在 x 1 ，x 2 达到最大值与最小值，且 x 1 x 2 ，x 1 ，x 2 0，2)，则 F(x 1 )，F(x 2 )也是 F(x)在(，+)上的最大值，最小值，因此 x 1 ，x 2 必是极值点又 F(x)可导，由费马定理知 F(x 1 )=f(x 1 )=0，F(x 2 )=f(x 2 )=0 ()f (m) (x)同样为()中类型的函数即可写成 f (m) (x)= )解析：解析：即证：f(x)= a k sinkx b k coskx)在0，2)存在两个相异零点只要证 F(x)= a k sinkx 25.设 f(x)在0，
26、1上连续，且满足 f(x)dx=0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= f(t)dt，G(x)= F(s)ds，显然 G(x)在0，1可导，G(0)=0，又 G(1)= sf(s)ds=00=0 对 G(x)在0，1上用罗尔定理知， c(0，1)使得 G(c)=F(c)=0 现由 F(x)在0，1可导，F(0)=F(c)=F(1)=0，分别在0，c，c，1对 F(x)用罗尔定理知， )解析：解析：为证 f(x)在(0，1)内存在两个零点，只需证 f(x)的原函数 F(x)= f(t)dt在0，1 区间上有三点的函数值相等由于 F(0)=0，F(1)=0，故只需再考察 F
27、(x)的原函数 G(x)=26.设 f(x)在x 1 ，x 2 可导，0x 1 x 2 ，证明： (x 1 ，x 2 )使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 则 f(x)在x 1 ，x 2 可导，又 F(x 1 )= f(x 1 )l，F(x 2 )= f(x 2 )l， F(x 1 )F(x 2 )= f(x 1 )x 2 f(x 2 )x 1 l(x 2 x 1 )=0 因此，由罗尔定理， (x 1 ，x 2 )，使得 F()= )解析：解析：令 ，证明 (x 1 ，x 2 )使得 l=f()f() xf(x)f(x)+l在(x 1 ，x 2 )存在零点 在(x
28、1 ，x 2 )存在零点 在(x 1 ，x 2 )存在零点 27.设 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(1)=0，试证： (0，1)使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 由于 因此 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导 由于 f(0)=f(1)=0，由罗尔定理知， (0，1)使 f()=0因此，F()=F(1)=0，对 F(x)在，1上利用罗尔定理得， (，1)，使得 F()= f()=0，即 )解析：解析：即证 f(x)在(0，1)存在零点28.设 f(x)在(a，b)内可导，且 x 0 (a，b)使得 又 f(x 0 )0(0)， f(x)0(0)， f(x)
29、0(0)(如图 413)，求证：f(x)在(a，b)恰有两个零点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 x 1 (a，x 0 )使 f(x 1 )0， x 2 (x 0 ，b)便 f(x 2 )0，则 f(x)在(x 1 ，x 0 )与(x 0 ，x 2 )内各存在一个零点 因 f(x)0( x(a，x 0 )，从而 f(x)在(a，x 0 )单调增加；f(x)0( )解析：29.求证：方程 lnx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：即证 f(x)=lnx dx在(0，+)只有两个零点先考察它的单调性： 由于 f(x)在(0，e)与(e，+)分别单调上升与下降，又 f(e)=
30、 dx0，故只需证明： x 1 (0，e)使 f(x 1 )0； x 2 (e，+)使 f(x 2 )0因 则 x 1 (0，e)使 f(x 1 )0； )解析：30.就 a的不同取值情况，确定方程 lnx=x a (a0)实根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=lnxx a ，即讨论 f(x)在(0，+)有几个零点用单调性分析方法求f(x)的单调区间 则当 0xx 0 时，f(x)单调上升；当 xx 0 时，f(x)单调下降；当 x=x 0 时，f(x)取最大值 f(x 0 )= (1+lna)从而 f(x)在(0，+)有几个零点，取决于 y=f(x)属于图 414
31、中的哪种情形 方程 f(x)=0的买根个数确下列二种情形： ()当 f(x 0 )= 时，恒有 f(x)0 ( x(0，+)，故 f(x)=0没有根 ()当 f(x 0 )= 时，由于 x(0，+)，当 xx 0 =e e 时，f(x)0，故 f(x)=0只有一个根，即 x=x 0 =e e ()当 f(x 0 )= 时，因为 )解析：31.设 f(x)在a，b连续，在(a，b)可导，又 ba0，求证： ，(a，b)使得 f()=f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把所证的结论改写成 由 分别用拉格朗日中值定理与柯西中值定理，(a，b)使得 )解析：32.设 （分数：2.00）_
32、正确答案：(正确答案：()对于 f(x)：当 x0 时 f(x)=e x 0，从而 f(x)在(0，+)内无极值 当 x0 时 f(x)=(x+1)e x ，令 f(x)=0，得 x=1当 x1 时 f(x)0，当1x0 时 f(x)0，故 f(1)=e 1 为极小值 再看间断点 x=0处，当 x0 时 f(x)=xe x 0=f(0)；当 x0 且 x充分小时，f(x)=e x 20，故 f(0)=0为极大值 ()对于 g(x)：当 x0 时 g(x)=e x 0，从而 g(x)在(0，+)内无极值 当 x0 时与 f(x)同，g(1)=e 1 为极小值 在间断点 x=0处 g(0)=1当 x0 时 g(x)1；当 x0 且x充分小时 g(x)为负值且g(x)1，从而有 g(x)1故 g(0)非极值)解析：
