1、考研数学一（概率统计）-试卷 13 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设事件 A，B 互不相容，且 0P(A)1，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 0P(C)1，且 P(ABC)P(AC)P(BC)，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.B.P(ACBC)P(AC)P(BC)C.P(AB)P(AC)P(BC)D.P(C)P(A)P(CA)P(B)P(CA)4.以下命题正确的是( )（分数：2.00）A.若事件 A，B，C 两
2、两独立，则三个事件一定相互独立B.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 独立，则 A，B 一定互斥C.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 互斥，则 A，B 一定独立D.A，B 既互斥又相互独立，则 P(A)0 或 P(B)05.设事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容，则( )（分数：2.00）A.AB 与B.AB 与 C 不相容C.AB 与D.AB 与6.若事件 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立，则下列结论成立的是( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.两两独立C.P(A 1 A 2 A 3 )P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 )D
3、.相互独立7.下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 P(A)0，则事件 A 与任意事件 B 独立B.常数与任何随机变量独立C.若 P(A)1，则事件 A 与任意事件 B 独立D.若 P(AB)P(A)P(B)，则事件 A，B 互不相容8.设 A，B 是任两个随机事件，下列事件中与 ABB 不等价的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设事件 A，B，C 两两独立，则事件 A，B，C 相互独立的充要条件是( )（分数：2.00）A.A 与 BC 相互独立B.AB 与 AC 相互独立C.AB 与 AC 相互独立D.AB 与 AC 相互独立10.连续独立地投两次硬币，令 A 1
4、 第一次出现正面)，A 2 第二次出现正面)，A 3 两次中一次正面一次反面)，A 4 两次都出现正面)，则( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立C.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立二、填空题(总题数：13，分数：26.00)11.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)P(B)08，P(AB)06，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A，B 是两个随机事件，P(AB)04，P(BA)04， （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)04，
5、P(B)05，P(AB) ，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 P(A)06， （分数：2.00）填空项 1:_15.独立投骰子两次，X，Y 表示投出的点数，令 AXY10，BXY)，则 P(AB) 1.（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A，B 相互独立，只有 A 发生和只有 B 发生的概率都是 （分数：2.00）填空项 1:_17.随机向区域 D： 内扔一点，该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则落点与原点的连线与 x 轴的夹角小于 （分数：2.00）填空项 1:_18.一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为 60，30，10，从中任取一件结果不是三等品
6、，则取到一等品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.三次独立试验中 A 发生的概率不变，若 A 至少发生一次的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 10 件产品中有 4 件木合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p 1 时，成功次数的标准差最大，其最大值为 2（分数：2.00）填空项 1:_22.设每次试验成功的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_23.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题
7、数：10，分数：20.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_25.将编号为 1，2，3 的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率（分数：2.00）_26.袋中有 a 个黑球和 b 个白球，一个一个地取球，求第 k 次取到黑球的概率(1kab)（分数：2.00）_27.甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1 小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2 小时，求它们不需要等候的概率（分数：2.00）_28.某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才
8、完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第 k 次才拨通对方电话的概率（分数：2.00）_29.甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个数，设甲取到的数是 5 的倍数，求甲数大于乙数的概率（分数：2.00）_甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为 60和 50（分数：4.00）(1).甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；（分数：2.00）_(2).甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率（分数：2.00）_30.设事件 A，B 独立证明：事件 （分数：2.00）_31.设 A，B 同时发生，则 C 发生证明：P(C)P(A)P(B)1（分数：2.00）_
9、32.设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5份随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表 (1)求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p； (2)设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率 q（分数：2.00）_考研数学一（概率统计）-试卷 13 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设事件 A，B 互不相容，且 0P(A)1，则有( ) （分数：2.00
10、）A.B. C.D.解析：解析：因为 A，B 互不相容，所以 P(AB)0，于是有3.设 0P(C)1，且 P(ABC)P(AC)P(BC)，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.B.P(ACBC)P(AC)P(BC) C.P(AB)P(AC)P(BC)D.P(C)P(A)P(CA)P(B)P(CA)解析：解析：由 P(ABC)P(AC)P(BC)，因为 P(ABC)P(AC)P(BC)一 P(ABC)，所以 P(ABC)0，从而 P(ABC)0，故 P(ACBC)P(AC)P(BC)一 P(ABC)P(AC)P(BC)，选(B)4.以下命题正确的是( )（分数：2.00）A.若事件 A，
11、B，C 两两独立，则三个事件一定相互独立B.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 独立，则 A，B 一定互斥C.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 互斥，则 A，B 一定独立D.A，B 既互斥又相互独立，则 P(A)0 或 P(B)0 解析：解析：当 P(A)0，P(B)0 时，事件 A，B 独立与互斥是不相容的，即若 A，B 独立，则 P(AB)P(A)P(B)0，则 A，B 不互斥；若 A，B 互斥，则 P(AB)0P(A)P(B)，即 A，B 不独立，又三个事件两两独立不一定相互独立，选(D)5.设事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容，则( )（分数：2.00）A
12、.AB 与 B.AB 与 C 不相容C.AB 与D.AB 与解析：解析：因为事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容，6.若事件 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立，则下列结论成立的是( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.两两独立 C.P(A 1 A 2 A 3 )P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 )D.相互独立解析：解析：由于 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立，所以 7.下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 P(A)0，则事件 A 与任意事件 B 独立B.常数与任何随机变量独立C.若 P(A)1，则事件 A 与任意事件 B
13、独立D.若 P(AB)P(A)P(B)，则事件 A，B 互不相容 解析：解析：P(A)0 时，因为8.设 A，B 是任两个随机事件，下列事件中与 ABB 不等价的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：9.设事件 A，B，C 两两独立，则事件 A，B，C 相互独立的充要条件是( )（分数：2.00）A.A 与 BC 相互独立 B.AB 与 AC 相互独立C.AB 与 AC 相互独立D.AB 与 AC 相互独立解析：解析：在 A，B，C 两两独立的情况下，A，B，C 相互独立 P(ABC)P(A)P(B)P(C)10.连续独立地投两次硬币，令 A 1 第一次出现正面)，A 2
14、第二次出现正面)，A 3 两次中一次正面一次反面)，A 4 两次都出现正面)，则( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立 C.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立解析：解析：二、填空题(总题数：13，分数：26.00)11.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)P(B)08，P(AB)06，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：04）解析：解析：因为 P(AB)P(A)P(B)一 P(AB)，且 P(A)P(B)08，P(AB)06， 所以 P(AB)02又因为 P(
15、B)一 P(AB)， P(A)一 P(AB)， 所以12.设 A，B 是两个随机事件，P(AB)04，P(BA)04， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： ， 因为 P(AB)04，P(BA)04，所以 P(A)P(B)且 P(AB)04P(A)， 解得 ， 于是 P(AB)P(A)P(B)一 P(AB)13.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)04，P(B)05，P(AB) ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：02）解析：解析：因为 P(AB) ，所以 A，B 相互独立，从而 相互独立，故14.设 P(A)06， （分数：2
16、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 P(AB)P(A)一 P(AB)02 及 P(A)06 得 P(AB)04， 再由P(BA)P(B)一 P(AB)03 得 P(B)07， 所以15.独立投骰子两次，X，Y 表示投出的点数，令 AXY10，BXY)，则 P(AB) 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P(A)PX4，Y6)PX5，Y5)PX6，Y4 ， P(B)PX2，Y1PX3，Y1PX3，Y2PX4，Y3PX4，Y2PX4，Y1PX5，Y4PX5，Y3PX5，Y2PX5，Y1PX6，Y5PX6，Y4PX6，Y3PX6，
17、Y2PX6，Y1 P(AB)PX6，Y4) ， 则 P(AB)P(A)P(B)一P(AB)16.设 A，B 相互独立，只有 A 发生和只有 B 发生的概率都是 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意得 ， 因为 P(A)一 P(AB)， P(B)一 P(AB)，所以 P(A)P(B)， 再由独立得 P(A)一 P 2 (A) ，解得 17.随机向区域 D： 内扔一点，该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则落点与原点的连线与 x 轴的夹角小于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：半圆的面积为 ，落点与原点
18、的连线与 x 轴的夹角小于 的区域记为 D 1 ，所求概率为 18.一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为 60，30，10，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 A i 所取产品为 i 等品)(i1，2，3)，P(A 1 )06，P(A 2 )03，P(A 3 )01，所求概率为 19.三次独立试验中 A 发生的概率不变，若 A 至少发生一次的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设一次试验中 A 发生的概率为 p，B三次试验中 A 至少发生一次)， 则
19、P(B) ，又 P(B)1 一 1 一(1 一 p) 3 ， 所以有 1 一(1p) 3 ，解得 ，即一次试验中 A发生的概率为 20.设 10 件产品中有 4 件木合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 A第一件产品合格)，B第二件产品合格)，则所求概率为21.设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p 1 时，成功次数的标准差最大，其最大值为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：设成功的次数为 X，则 XB(100，p)
20、，22.设每次试验成功的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：23.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F y (y)P(Yy)P(X 2 y) 当 y0 时，F y (y)0； 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：25.将编号为 1，2，3 的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A i 第 i 本书正好在第 i 个位置， B至少有一本
21、书从左到右排列的序号与它的编号相同，则 BA 1 A 2 A 3 ，且 )解析：26.袋中有 a 个黑球和 b 个白球，一个一个地取球，求第 k 次取到黑球的概率(1kab)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：基本事件数 n(ab)!，设 A k 第 k 次取到黑球)，则有利样本点数为a(ab1)!，所以 )解析：27.甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1 小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2 小时，求它们不需要等候的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设甲、乙两船到达的时刻分别为 x，y(0x24，0y24)， )解
22、析：28.某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第 k 次才拨通对方电话的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A k 第 k 次拨通对方电话)(k1，2，10)， )解析：29.甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个数，设甲取到的数是 5 的倍数，求甲数大于乙数的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 1 甲数为 5)，A 2 甲数为 10，A 3 甲数为 15，B甲数大于乙数， )解析：甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为 60和 50（分数：4.00）(1).甲、乙两
23、人同时向目标射击，求目标被命中的概率；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A甲击中目标，B(乙击中目标，C(击中目标，则 CAB， P(C)P(AB)P(A)P(B)一 P(AB)P(A)P(B)一 P(A)P(B)0605060508)解析：(2).甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 1 选中甲，A 2 选中乙，B目标被击中，则 )解析：30.设事件 A，B 独立证明：事件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A，B 独立，得 P(AB)一 P(A)P(B)， 由 P(AB)P(A)一 P(AB)
24、P(A)一 P(A)P(B)P(A)1 一 P(B) ， )解析：31.设 A，B 同时发生，则 C 发生证明：P(C)P(A)P(B)1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 同时发生，则 C 发生，所以 )解析：32.设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5份随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表 (1)求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p； (2)设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率 q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A i 所抽取的报名表为第 i 个地区的)(i1，2，3)， B j 第 j 次取的报名表为男生报名表)(j1，2)，则 )解析：
