1、考研数学一（概率统计）-试卷 15 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设事件 A，B 互不相容，且 OP(A)1，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 0P(C)1，且 P(A+BC)=P(AC)+P(BC)，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.B.P(ACBC)=P(AC)+P(BC)C.P(A+B)=P(AC)+P(BC)D.P(C)=P(A)P(CA)+P(B)P(CA)4.以下命题正确的是( )（分数：2.00）A.若
2、事件 A，B，C 两两独立，则三个事件一定相互独立B.设 P(A)0，P(B)30，若 A，B 独立，则 A，B 一定互斥C.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 互斥，则 A，B 一定独立D.A，B 既互斥又相互独立，则 P(A)=0 或 P(B)=05.设事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容，则( )（分数：2.00）A.A+B 与B.A+B 与 C 不相容C.A+B 与D.A+B 与6.若事件 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立，则下列结论成立的是( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.两两独立C.P(A 1 ，A 2 ，A 3 )=P(
3、A 1 )P(A 2 )P(A 3 )D.相互独立7.下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 P(A)=0，则事件 A 与任意事件 B 独立B.常数与任何随机变量独立C.若 P(A)=1，则事件 A 与任意事件 B 独立D.若 P(A+B)=P(A)+P(B)，则事件 A，B 互不相容8.设 A，B 是任两个随机事件，下列事件中与 A+B=B 不等价的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设事件 A，B，C 两两独立，则事件 A，B，C 相互独立的充要条件是( )（分数：2.00）A.A 与 BC 相互独立B.AB 与 A+C 相互独立C.AB 与 AC 相互独立D.A q
4、B 与 A+C 相互独立10.连续独立地投两次硬币，令 A 1 =第一次出现正面，A 2 =第二次出现正面，A 3 =两次中一次正面一次反面，A 4 =两次都出现正面，则( )。（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立C.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立11.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(a)=1 0 a f(x)dxB.F(一 a)= C.F(一 a)=F(a)D.F(一 a)=2
5、F(a)一 1二、填空题(总题数：13，分数：26.00)12.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=06，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A，B 是两个随机事件，P(AB)=04，P(BA)=04， （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)=04，P(B)=05，P(AB)= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 P(A)=06， （分数：2.00）填空项 1:_16.独立投骰子两次，X，Y 表示投出的点数，令 A=X+Y=10，B=XY，则 P(A+B)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设
6、 A，B 相互独立，只有 A 发生和只有 B 发生的概率都是 （分数：2.00）填空项 1:_18.随机向区域 D：0y (a0)内扔一点，该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则落点与原点的连线与 x 轴的夹角小于 （分数：2.00）填空项 1:_19.一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为 60，30，10，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_20.三次独立试验中 A 发生的概率不变，若 A 至少发生一次的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 10 件产品中有 4 件不合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，
7、则另一件产品也不合格的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_22.设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 P= 1 时，成功次数的标准差最大，其最大值为 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_23.设每次试验成功的概率为 p= （分数：2.00）填空项 1:_24.设随机变量 X 的概率密度为 f X (x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_26.将编号为 1，2，3 的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的
8、概率（分数：2.00）_27.袋中有 a 个黑球和 b 个白球，一个一个地取球，求第忌次取到黑球的概率(1ka+b)（分数：2.00）_28.甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1 小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2 小时，求它们不需要等候的概率（分数：2.00）_29.某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第 k 次才拨通对方电话的概率（分数：2.00）_30.甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个数，设甲取到的数是 5 的倍数。求甲数大于乙数的概率（分
9、数：2.00）_31.甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为 60和 50 (1)甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率； (2)甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率（分数：2.00）_32.设事件 A，B 独立证明：事件 （分数：2.00）_33.设 A，B 同时发生，则 C 发生证明：P(C)P(A)+P(B)一 1（分数：2.00）_34.设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5份随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表 (1)求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p； (2)
10、设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率 q（分数：2.00）_考研数学一（概率统计）-试卷 15 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设事件 A，B 互不相容，且 OP(A)1，则有( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 A，B 互不相容，所以 P(AB)=0，于是有3.设 0P(C)1，且 P(A+BC)=P(AC)+P(BC)，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.B.P(ACBC)=
11、P(AC)+P(BC) C.P(A+B)=P(AC)+P(BC)D.P(C)=P(A)P(CA)+P(B)P(CA)解析：解析：由 P(A+BC)=P(AC)+P(BC)，因为 P(A+BC)=P(AC)+P(BC) =P(ABC)，所以P(ABC)=0，从而 P(ABC)=0， 故 P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)一 P(ABC)=P(AC)+P(BC)，选(B)4.以下命题正确的是( )（分数：2.00）A.若事件 A，B，C 两两独立，则三个事件一定相互独立B.设 P(A)0，P(B)30，若 A，B 独立，则 A，B 一定互斥C.设 P(A)0，P(B)0，若 A，B 互斥，则
12、 A，B 一定独立D.A，B 既互斥又相互独立，则 P(A)=0 或 P(B)=0 解析：解析：当 P(A)0，P(B)0 时，事件 A，B 独立与互斥是不相容的，即若 A，B 独立，则 P(AB)=P(A)P(B)0，则 A，B 不互斥；若 A，B 互斥，则 P(AB)=0P(A)P(B)， 即 A，B 不独立，又三个事件两两独立不一定相互独立，选(D)5.设事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容，则( )（分数：2.00）A.A+B 与 B.A+B 与 C 不相容C.A+B 与D.A+B 与解析：解析：因为事件 A，C 独立，B，C 也独立，且 A，B 不相容， 所以 P(
13、AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，且 AB= 。 而 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(A)+P(B)， 所以6.若事件 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立，则下列结论成立的是( )（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.两两独立 C.P(A 1 ，A 2 ，A 3 )=P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 )D.相互独立解析：解析：由于 A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立，所以 7.下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 P(A)=0，则事件 A 与任意事件 B 独立B.常数与任何随机变量独立C.若 P(A)=1，
14、则事件 A 与任意事件 B 独立D.若 P(A+B)=P(A)+P(B)，则事件 A，B 互不相容 解析：解析：P(A)=0 时，因为 AB A，所以 P(AB)=0，于是 P(AB)=P(A)P(B)，即 A，B 独立；常数与任何随机变量独立；若 P(A)=1，则8.设 A，B 是任两个随机事件，下列事件中与 A+B=B 不等价的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A+B=B 等价于 AB=A，AB=A 等价于9.设事件 A，B，C 两两独立，则事件 A，B，C 相互独立的充要条件是( )（分数：2.00）A.A 与 BC 相互独立 B.AB 与 A+C 相互独立C.A
15、B 与 AC 相互独立D.A qB 与 A+C 相互独立解析：解析：在 A，B，C 两两独立的情况下，A，B，C 相互独立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)=P(A)P(BC)，所以正确答案为(A)10.连续独立地投两次硬币，令 A 1 =第一次出现正面，A 2 =第二次出现正面，A 3 =两次中一次正面一次反面，A 4 =两次都出现正面，则( )。（分数：2.00）A.A 1 ，A 2 ，A 3 相互独立B.A 1 ，A 2 ，A 3 两两独立 C.A 2 ，A 3 ，A 4 相互独立D.A 2 ，A 3 ，A 4 两两独立解析：解析： 11.设随机变量 X 的密
16、度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(a)=1 0 a f(x)dxB.F(一 a)= C.F(一 a)=F(a)D.F(一 a)=2F(a)一 1解析：解析：F(a)= - -a f(x)dx - -a f(t)dt= a + f(t)dt=1 一 - a f(t)dt =1( - -a f(t)dt+ -a a f(t)dt)=1F(a)一 2 0 a f(t)dt 则 F(一 a)= 二、填空题(总题数：13，分数：26.00)12.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=
17、06，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：04）解析：解析：因为 P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)，且 P(A)+P(B)=08，P(A+B)=06， 所以 P(AB)=02又因为 =P(A)一 P(AB)， 所以13.设 A，B 是两个随机事件，P(AB)=04，P(BA)=04， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： ， 因为 P(A=B)=04，P(BA)=04，所以 P(A)=P(B)且 P(AB)=04P(A)，14.设 A，B 是两个随机事件，且 P(A)=04，P(B)=05，P(AB)= （分数：2.00
18、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：02）解析：解析：因为 P(AB)=P(A 相互独立，故15.设 P(A)=06， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 P(A )=P(AB)=P(A)一 P(AB)=02 及 P(A)=06 得 P(AB)=04， 再由 =一P(BA)=P(B)一 P(AB)=03 得 P(B)=07，16.独立投骰子两次，X，Y 表示投出的点数，令 A=X+Y=10，B=XY，则 P(A+B)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P(A)=PX=4，Y=6+PX=5，Y=5+PX=6，
19、Y=4=3 ， P(B)=PX 一 2，Y=1+PX=3，Y=1)+PX=3，Y=2+PX=4，Y=3 +PX=4，Y=2+PX=4，Y=1+PX=5，Y=4+PX=5，Y=3 +PX=5，Y=2+PX=5，Y=1+PX=6，Y=5+PX=6，Y=4 +PX=6，Y=3+PX=6，Y=2+PX=6，Y=1=17.设 A，B 相互独立，只有 A 发生和只有 B 发生的概率都是 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意得 ， 因为 =P(B)一 P(AB)，所以 P(A)=P(B)， 再由独立得 P(A)一 P 2 (A)= 18.随机向区域 D：0y (a
20、0)内扔一点，该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则落点与原点的连线与 x 轴的夹角小于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：半圆的面积为 S= 的区域记为 D 1 ， 所求概率为 P= 19.一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为 60，30，10，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 A i =所取产品为 i 等品)(i=1，2，3)，P(A 1 )=06，P(A 2 )=03，P(A 3 )=01， 所求概率为 P(A 1 A 1 +A 2 )
21、= 20.三次独立试验中 A 发生的概率不变，若 A 至少发生一次的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设一次试验中 A 发生的概率为 P，B=三次试验中 A 至少发生一次，21.设 10 件产品中有 4 件不合格，从中任取两件，已知两件中有一件不合格，则另一件产品也不合格的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 A第一件产品合格)，B第二件产品合格)，则所求概率为22.设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 P= 1 时，成功次数的标准差最大，其最大值为 2（分数：2.00）填空项
22、 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：解析：设成功的次数为 X，则 XB(100，P)，23.设每次试验成功的概率为 p= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：24.设随机变量 X 的概率密度为 f X (x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) 当 Y0 时，F Y (y)=0； 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：26.将编号为 1，2，3 的三本书随
23、意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A i =(第 i 本书正好在第 i 个位置， B=至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同，则 B=A 1 +A 2 +A 3 ，且 P(A i )= ， 故 P(B)=P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 )一 P(A 1 A 2 )一 P(A 1 A 3 )一 P(A 2 A 3 )+P(A 1 A 2 A 3 ) = )解析：27.袋中有 a 个黑球和 b 个白球，一个一个地取球，求第忌次取到黑球的概率(1ka+b)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：基本事
24、件数 n=(a+b)!，设 A k =第 k 次取到黑球)，则有利样本点数为 a(a+b 一 1)!， 所以 P(A k )= )解析：28.甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1 小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2 小时，求它们不需要等候的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设甲乙两船到达的时刻分别为 x，y(0x24，0y24)， 则两船不需要等待的充分必要条件是 ， 令 D=(x，y)0x24，0y24， 则 D 1 =(x，y)yx1，xy2，(x，y)D， 则两船不需要等待的概率为 p= )解析：29.某人打电话忘
25、记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第 k 次才拨通对方电话的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A k =第 k 次拨通对方电话)(k=1，2，10)， )解析：30.甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个数，设甲取到的数是 5 的倍数。求甲数大于乙数的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 1 =甲数为 5)，A 2 =甲数为 10，A 3 =甲数为 15，B=甲数大于乙数， P(A 1 )=P(A 2 )=P(A 3 )= ，P(BA 3 )=1， 则 P(B)=P(A 1 )P(BA 1
26、)+P(A 2 )P(BA 2 )+P(A 3 )P(BA 3 )= )解析：31.甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为 60和 50 (1)甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率； (2)甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A=甲击中目标，B=乙击中目标，C=击中目标，则 C=A+B， P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(A)P(B) =06+0510605=08 (2)设 A 1 =选中甲，A 2 =选中乙，B=目标被击中，则 )解析：32.设
27、事件 A，B 独立证明：事件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A，B 独立，得 P(AB)=P(A)P(B)， )解析：33.设 A，B 同时发生，则 C 发生证明：P(C)P(A)+P(B)一 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 同时发生，则 C 发生，所以 AB )解析：34.设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5份随机取出一个地区，再从中抽取两份报名表 (1)求先抽到的一份报名表是女生表的概率 p； (2)设后抽到的一份报名表为男生的报名表，求先抽到的报名表为女生报名表的概率 q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A i =所抽取的报名表为第 i 个地区的(i=1，2，3)， B i =第 j 次取的报名表为男生报名表(j=1，2)，则 )解析：
