1、考研数学一（概率统计）-试卷 7 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X 和 Y 为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f 1 (x)，f 2 (x)，它们的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)+f 2 (x)为某一随机变量的密度函数B.f 1 (x)f 2 (x)为某一随机变量的密度函数C.F 1 (x)+F 2 (x)为某一随机变量的分布函数D.F 1 (x)F 2 (x)为某
2、一随机变量的分布函数3.设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x)，分布函数为 F(x)如果随机变量 X 与一 X 分布函数相同，则( )（分数：2.00）A.F(x)=F(一 x)B.F(x)=一 F(一 x)C.f(x)=f(一 x)D.f(x)=一 f(一 x)4.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）A.与 b 无关，且随 a 的增加而增加B.与 b 无关，且随 a 的增加而减少C.与 a 无关，且随 b 的增加而增加D.与 a 无关，且随 b 的增加而减少5.设随机变量 XN(， 2 )，则 P(|X 一 |2)( )（分数：2.00）A.与 及 2 都无关B
3、.与 有关，与 2 无关C.与 无关，与 2 有关D.与 及 2 都有关6.设 XN(，4 2 )，YN(p，5 2 )，令 p=P(X 一 4)，q=P(Y+5)，则( )（分数：2.00）A.pqB.pqC.p 一 qD.p，q 的大小由 的取值确定7.设随机变量 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有( )（分数：2.00）A.F(a+)+F(a 一 )=1B.F(+a)+F( 一 a)=1C.F(a)+F(一 a)=1D.F(a 一 )+F( 一 a)=18.设随机变量 XU1，7，则方程 x 2 +2Xx+9=0 有实根的概率为( ) （分数：2.00）A.B
4、.C.D.二、填空题(总题数：12，分数：24.00)9.设随机变量 X 的分布律为 X （分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 XN(， 2 )，且方程 x 2 +4x+X=0 无实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 P(X1)= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 XN(2， 2 )，且 P(2X4)=04，则 P(X0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 X 服从参数为 A 的泊松分布，且 P(X=O)= （分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，且 E(X 一
5、1)(X+2)=8，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_16.一工人同时独立制造三个零件，第 k 个零件不合格的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X 的分布律为 X （分数：2.00）填空项 1:_18.设随机变量 XN(0，1)，且 Y=9X 2 ，则 Y 的密度函数为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设随机变量 X 的概率密度函数为 f X (x)= （分数：2.00）填空项 1:_20.设离散型随机变量 X 的分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数
6、：12，分数：24.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X 的分布（分数：2.00）_23.设袋中有 5 个球，其中 3 个新球，2 个旧球，从中任取 3 个球，用 X 表示 3 个球中的新球个数，求 X的分布律与分布函数（分数：2.00）_24. （分数：2.00）_25.设 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_26.有三个盒子，第一个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第二个盒子有
7、3 个红球 2 个黑球，第三个盒子有 2 个红球 3 个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3 个球，以 X 表示红球个数(1)写出 X 的分布律； (2)求所取到的红球数不少于 2 个的概率（分数：2.00）_27.设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)= ，(1)求常数 A，B； (2)求 X 的密度函数 f(x)； (3)求 P(X （分数：2.00）_28.设某个系统由六个相同的元件先经过两两并联再串联而成，且各元件工作状态相互独立每个元件正常工作时间服从 E()(0)分布，求系统正常工作时间 T 的概率分布（分数：2.00）_29.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，(1
8、)求常数 A； (2)求 X 在(0， （分数：2.00）_30.设 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(一 a)+F(a)与 1 的大小关系（分数：2.00）_31.设 XN(0，1)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数（分数：2.00）_32.设 XU(0，2)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数（分数：2.00）_考研数学一（概率统计）-试卷 7 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X 和 Y 为相互独
9、立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f 1 (x)，f 2 (x)，它们的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)+f 2 (x)为某一随机变量的密度函数B.f 1 (x)f 2 (x)为某一随机变量的密度函数C.F 1 (x)+F 2 (x)为某一随机变量的分布函数D.F 1 (x)F 2 (x)为某一随机变量的分布函数 解析：解析：可积函数 f(x)为随机变量的密度函数，则 f(x)0 且 + f(x)dx=1，显然(A)不对，取两个服从均匀分布的连续型随机变量的密度函数验证，(B)显然不对，又函数 F(x)为分布函数必须满足：(1
10、)0F(x)1；(2)F(x)单调不减；(3)F(x)右连续；(4)F(一)=0，F(+)一 1，显然选择(D)3.设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x)，分布函数为 F(x)如果随机变量 X 与一 X 分布函数相同，则( )（分数：2.00）A.F(x)=F(一 x)B.F(x)=一 F(一 x)C.f(x)=f(一 x) D.f(x)=一 f(一 x)解析：解析：F X (x)P(Xx)= x f(x)dt， F X (x)=P(Xx)=P(X一 x)=1 一 P(Xx)=1 一 x f(t)dt， 因为 X 与一 X 有相同的分布函数，所以 x f(t)dt=1 一 x f(t)d
11、t， 两边求导数，得 f(x)=f(一 x)，正确答案为(C)4.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）A.与 b 无关，且随 a 的增加而增加B.与 b 无关，且随 a 的增加而减少C.与 a 无关，且随 b 的增加而增加 D.与 a 无关，且随 b 的增加而减少解析：解析：因为 + f(x)dx=1，所以 a + Ae x dx=1，解得 A=e a 由 P(aXa+b)= a a+b f(x)dx= a a+b e a e x dx=一 e a e x | a a+b =1e b ， 得 P(aXa+b)与 a 无关，且随 b 的增加而增加，正确答案为(C)5.设随
12、机变量 XN(， 2 )，则 P(|X 一 |2)( )（分数：2.00）A.与 及 2 都无关 B.与 有关，与 2 无关C.与 无关，与 2 有关D.与 及 2 都有关解析：解析：因为 P(|X|2)=P(一 2X 一 2)=P(一 26.设 XN(，4 2 )，YN(p，5 2 )，令 p=P(X 一 4)，q=P(Y+5)，则( )（分数：2.00）A.pqB.pqC.p 一 q D.p，q 的大小由 的取值确定解析：解析：7.设随机变量 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有( )（分数：2.00）A.F(a+)+F(a 一 )=1B.F(+a)+F( 一 a
13、)=1 C.F(a)+F(一 a)=1D.F(a 一 )+F( 一 a)=1解析：解析：因为 XN(， 2 )，所以 F(a+)+F( 一 a)= 8.设随机变量 XU1，7，则方程 x 2 +2Xx+9=0 有实根的概率为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：Xf(x)= ，方程 x 2 +2Xx+9=0 有实根的充要条件为=4X 2 一 360X 2 9P(X 2 9)=1 一 P(X 2 9)=1 一 P(1X3)= 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)9.设随机变量 X 的分布律为 X （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由
14、 cc 2 +c+ 10.设随机变量 XN(， 2 )，且方程 x 2 +4x+X=0 无实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：因为方程 x 2 +4x+X=0 无实根，所以 164X0，即 X4 由 XN(， 2 )且 P(X4)= 11.设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 P(X1)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设 XN(2， 2 )，且 P(2X4)=04，则 P(X0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：01）解析：解析：13.设随机变量 X 服从参数为 A
15、 的泊松分布，且 P(X=O)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1e 2）解析：解析： 14.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，且 E(X 一 1)(X+2)=8，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：PX1=16.一工人同时独立制造三个零件，第 k 个零件不合格的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 A k =第 k 个零件不合格)(k=一 1，2，3)
16、， 17.设随机变量 X 的分布律为 X （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：Y 的可能取值为 2，3，6，18.设随机变量 XN(0，1)，且 Y=9X 2 ，则 Y 的密度函数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F y (y)=P(Yy)=P(9X。y) 当 y0 时，F y (y)=0； 19.设随机变量 X 的概率密度函数为 f X (x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：20.设离散型随机变量 X 的分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
17、：*）解析：解析：三、解答题(总题数：12，分数：24.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X 的分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设袋中有 5 个球，其中 3 个新球，2 个旧球，从中任取 3 个球，用 X 表示 3 个球中的新球个数，求 X的分布律与分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的可能取值为 1，2，3， )解析：24. （分数：2.0
18、0）_正确答案：(正确答案：(1)F(x)=Pxx)= x f(t)dt 当 x1 时，F(x)=0； )解析：25.设 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.有三个盒子，第一个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第二个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第三个盒子有 2 个红球 3 个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3 个球，以 X 表示红球个数(1)写出 X 的分布律； (2)求所取到的红球数不少于 2 个的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)= ，(1)求常数 A，B； (2
19、)求 X 的密度函数 f(x)； (3)求 P(X （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为连续型随机变量的分布函数是连续的， )解析：28.设某个系统由六个相同的元件先经过两两并联再串联而成，且各元件工作状态相互独立每个元件正常工作时间服从 E()(0)分布，求系统正常工作时间 T 的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 T i =第 i 个元件的正常工作时间)，T i E()，i=1，2，6 F(t)PTt，注意Tt表示系统在0，t内一定正常工作 则Tt=(T 1 t)+T 2 t)(T 3 t+T 4 t)(T 5 t+T 6 t)， 又 T 1 ，T 2 ，
20、T 6 相互独立同分布，所以有 F(t)=PTt=P(T 1 t+T 2 t) 3 而 P(T 1 t+T 2 t)=1 一 PT 1 t，T 2 t =1 一 PT 1 tPT 2 t=1 一1 一 (t) 2 所以 T 的分布函数为 F(t)= )解析：29.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，(1)求常数 A； (2)求 X 在(0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(一 a)+F(a)与 1 的大小关系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设 XN(0，1)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f X (x)= ，一x+ F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)=0； )解析：32.设 XU(0，2)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f X (x)= F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)=0； )解析：
