1、考研数学一（概率统计）-试卷 17 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，为使得 F(x)=aF 1 (x)+bF 2 (x)为某一随机变量的分布函数，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设随机变量 x 的分布函数为 F(x)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是( )（分数：2.00）A.F(x 2 )B.F(一 x)C.1 一 F(x)D.F(2x 一 1)4
2、.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 Y=min(X，2)的分布函数( )（分数：2.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点C.至少有两个间断点D.是连续函数5.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (z)B.F Y (z)=minF X (z)，F Y (z)C.F Y (z)=1 一1 一 F X (z)1 一 F Y (z)D.F Y (z)=F Y (z)6.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (
3、x)，F Y (y)，则 Z=maxX，Y)的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (z)B.F Z (z)=F X (z)，F Y (z)C.F Z (z)=minF X (z)，F Y (z)D.F Z (z)=F Y (z)7.设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是( )（分数：2.00）A.X+YB.XYC.max(X，y)D.rain(X，Y)8.设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y 一定服从正态分布B.(X，Y)一定服从二维正态分
4、布C.X 与 Y 不相关，则 X，Y 相互独立D.若 X 与 y 相互独立，则 XY 服从正态分布9.若(X，Y)服从二维正态分布，则X，Y 一定相互独立；若 XY =0，则 X，Y 一定相互独立；X 和Y 都服从一维正态分布；X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布上述几种说法中正确的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.10.设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则( )（分数：2.00）A.X，Y 一定相互独立B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X，Y 不一定相互独立 D.X+Y 服从一维正态分布11.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X （分数：2.00）A.XYB
5、.X+YC.X2YD.Y2X二、填空题(总题数：6，分数：12.00)12.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，4)，Y 的分布律为 Y （分数：2.00）填空项 1:_13.设(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Z=min(X，Y)，则 P(0Z1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且分布函数为 F X (x)= （分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_17.设
6、 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3 个白球 2 个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取4 个球，设 4 个球中的黑球数用 X 表示，求 X 的分布律（分数：2.00）_20.设一设备在时间长度为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)P(t) (1)求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布； (2)求设备在无故障工作 8 小时下，再无故障工作 8 小时的概率（分数：2.00）_21.设
7、一电路由三个电子元件并联而成，且三个元件工作状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为 的指数分布，设电路正常工作的时间为 T，求 T 的分布函数（分数：2.00）_22.设随机变量 X 满足X1，且 P(X=一 1)= （分数：2.00）_23.设 X 的密度函数为 f X (x)= （分数：2.00）_24.设随机变量 X 的概率密度为 f X (x)= （分数：2.00）_25.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明：Y=1 一 e -2X 在区间(0，1)上服从均匀分布（分数：2.00）_26.设 Y （分数：2.00）_27.设随机变量 XE()，令 Y= （分数：2
8、.00）_28.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，独立同分布，且 X i （分数：2.00）_29.设随机变量 X，Y 独立同分布，且 P(X=i)= （分数：2.00）_30.设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y)的联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处 （分数：2.00）_31.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：2.00）_32.设随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：2.00）_33.设随机变量 XN(，)，YU一 ，且 X，Y 相互独立，令 Z=
9、X+Y，求 f Z (z)（分数：2.00）_34.设随机变量 XU(0，1)，在 X=x(0x1)下，YU(0，x)(1)求 X，Y 的联合密度函数；(2)求 Y 的边缘密度函数（分数：2.00）_考研数学一（概率统计）-试卷 17 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，为使得 F(x)=aF 1 (x)+bF 2 (x)为某一随机变量的分布函数，则有( ) （分数：2.00）
10、A.B.C.D. 解析：解析：根据性质 F(+)=1，得正确答案为(D)3.设随机变量 x 的分布函数为 F(x)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是( )（分数：2.00）A.F(x 2 )B.F(一 x)C.1 一 F(x)D.F(2x 一 1) 解析：解析：函数 (x)可作为某一随机变量的分布函数的充分必要条件是： (1)0(x)1； (2)(x)单调不减； (3)(x)右连续； (4)(一)=0，(+)=1 显然只有 F(2x 一 1)满足条件，选(D)4.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 Y=min(X，2)的分布函数( )（分数：2.00）A.是阶梯函
11、数B.恰有一个间断点 C.至少有两个间断点D.是连续函数解析：解析：F Y (y)=P(Yy)=Pmin(X，2)y=1 一 Pmin(X，2)y =1 一 P(Xy，2y)=1 一P(Xy)P(2y) 当 y2 时，F Y (y)=1；当 y2 时，F Y (y)=1 一 P(Xy)=P(Xy)=F X (y)， F X (x)= ，所以当 0y2 时，F Y (y)=1e -y ； 当 y0 时，F Y (y)=0，即 F Y (y)= 5.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z
12、 (z)=maxF X (z)，F Y (z)B.F Y (z)=minF X (z)，F Y (z)C.F Y (z)=1 一1 一 F X (z)1 一 F Y (z) D.F Y (z)=F Y (z)解析：解析：F Z (z)=P(Zz)=Pmin(X，Y)z=1 一 Pmin(X，Y)z =1 一 P(Xz，Yz)=1 一P(Xz)P(Yz) =1 一1 一 P(Xz)1 一 P(Yz)=1 一1 一 F X (z)1 一 F Y (z)，选(C)6.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=maxX，Y)的分布函数为( )（分数：2.0
13、0）A.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (z)B.F Z (z)=F X (z)，F Y (z) C.F Z (z)=minF X (z)，F Y (z)D.F Z (z)=F Y (z)解析：解析：F Z (z)=P(Zz)=Pmax(X，Y)z=P(Xz，Yz) =P(Xz)P(Yz)=F X (z)F Y (z)，选(B)7.设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是( )（分数：2.00）A.X+YB.XYC.max(X，y)D.rain(X，Y) 解析：解析： 事实上，min(X，Y)的分布函数为 Pmin
14、(X，Y)x=1 一 Pmin(X，Y)x=1 一P(Xx，Yx) =1 一 P(Xxz)P(Yx)=1 一1 一 F(x) 2 = 8.设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y 一定服从正态分布B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X 与 Y 不相关，则 X，Y 相互独立D.若 X 与 y 相互独立，则 XY 服从正态分布 解析：解析：若 X，Y 独立且都服从正态分布，则 X，Y 的任意线性组合也服从正态分布，选(D)9.若(X，Y)服从二维正态分布，则X，Y 一定相互独立；若 XY =0，则 X，Y 一定相互独立；X 和Y 都服从一维正态分布；X，Y 的
15、任一线性组合服从一维正态分布上述几种说法中正确的是( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 X，Y 都服从一维正态分布，aX+bY 服从一维正态分布，且 X，Y 独立与不相关等价，所以选(B)10.设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则( )（分数：2.00）A.X，Y 一定相互独立B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X，Y 不一定相互独立 D.X+Y 服从一维正态分布解析：解析：只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X，Y 独立才与 X，Y 不相关等价，由 X，Y 仅仅是正态变量且不相关不能推出 X，Y 相互独立，(A)不对
16、；若 X，Y 都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但 X，Y 不一定相互独立，(B)不对；当 X，Y 相互独立时才能推出 X+Y 服从一维正态分布，(D)不对，故选(C)11.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X （分数：2.00）A.XYB.X+Y C.X2YD.Y2X解析：解析：Z=YXN(1，1)，因为 XYN(一 1，1)，X+YN(1，1)，X 一 2Y二、填空题(总题数：6，分数：12.00)12.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，4)，Y 的分布律为 Y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：046587）解析：解析：P(X+2Y4
17、) =P(Y=1)P(X42YY=1)+P(Y=2)P(X42YY=2) +P(Y=3)P(X42YY=3)13.设(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e -2 +e -3 一 e -5）解析：解析：由 F X (x)=F(x，+)= 14.设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Z=min(X，Y)，则 P(0Z1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 X，Y 在(0，2)上服从均匀分布得 因为 X，Y 相互独立，所以 f z (z)=P(Zz)=1一 P(Zz)=1
18、一 Pmin(X，Y)Z=1P(Xz，Yz) =1 一 P(Xz)P(Yz)=1 一1 一 P(Xz)1 一P(Yz) =1 一1 一 F X (z)1 一 F Y (z) 于是 P(0Z1)=F Z (1)一 F Z (0)= 15.设随机变量 X 和 Y 相互独立，且分布函数为 F X (x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F U (u)=P(Uu)=P(X+Yu)，当 u0 时，F U (u)=0； 当 0u1 时，F U (u)=P(Uu)=P(X+Yu)=P(X=0，Yu) =P(X=0)P(Yu)= 当 1u2 时，F U (u)=P(X
19、=0，Yu)+P(X=1，Yu一 1) 16.设随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P(X5Y3)=17.设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令X0=A，Y0=B，则有 P(AB)= ，故 Pmax(X，Y)0)=1 一 Pmax(X，Y)0)=1一 P(X0，Y0) =1 一三、解答题(总题数：17，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.有甲、乙两个口袋，两袋
20、中都有 3 个白球 2 个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取4 个球，设 4 个球中的黑球数用 X 表示，求 X 的分布律（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=从甲袋中取出黑球)，X 的可能取值为 0，1，2，3，令X=i=B i (i=0，1，2，3)，则 )解析：20.设一设备在时间长度为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)P(t) (1)求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布； (2)求设备在无故障工作 8 小时下，再无故障工作 8 小时的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)T 的概率分布函数为 F(t)=P(Tt)； 当 t0 时，F(t)
21、=0； 当 t0 时，F(t)=P(Tt)=1 一 P(Tt)=1 一 P(N=0)=1 一 e -t ， )解析：21.设一电路由三个电子元件并联而成，且三个元件工作状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为 的指数分布，设电路正常工作的时间为 T，求 T 的分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设三个元件正常工作的时间为 T i (i=1，2，3)，T 1 ，T 2 ，T 3 相互独立且其分布函数都是 当 t0 时，令 A=T 1 t，B=T 2 t，C=T 3 t，且 A，B，C 独立， 则 F T (t)=P(Tt)=P(A+B+C) P(A+B+C)=P(A)+P(
22、B)+P(C)一 P(AB)P(AC)一 P(BC)+P(ABC)， P(A)=P(B)=P(C)=1 一 e -t ， F T (t)=3(1 一 e -t )一 3(1 一 e -t ) 2 +(1 一 e -t ) 3 于是 F T (t)= )解析：22.设随机变量 X 满足X1，且 P(X=一 1)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 x一 1 时，F(x)=0； )解析：23.设 X 的密度函数为 f X (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设随机变量 X 的概率密度为 f X (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F
23、 Y (y)=P(Yy)=P(e x y) 当 y1 时，X0，F Y (y)=0； 当 y1 时，X0，F Y (y)=P(e X y)=P(Xlny)= - lny f X (x)dx= 0 lny e -x dx， f Y (y)= )解析：25.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明：Y=1 一 e -2X 在区间(0，1)上服从均匀分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以其分布函数为 F X (x)= Y 的分布函数为 F Y (y)=P(Yy)=P(1 一 e -2X y)， 当 y0 时，F Y (y)=P(X0)=0；
24、当 y1 时，F Y (y)=P(一X+)=1； )解析：26.设 Y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E 一 A= =( 一 1)( 一 2)(Y)=0 得矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =Y 若 Y1，2 时，矩阵 A 一定可以对角化； 当 Y=1 时，A= ，=1 为二重特征值， 因为 r(EA)=2，所以 A 不可对角化； 当 Y=2 时，A= ，=2 为二重特征值， 因为 r(2EA)=1，所以 A 可对角化，故 A 可对角化的概率为 P(Y1，2)+P(Y 一 2)=P(Y=0)+P(Y=2)+P(Y=3)= )解析：27.设随机变量 XE()，令 Y
25、= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(X+Y=0)=P(Y=一 X)=P(X1)=P(X1)+P(X一 1) =P(X1)=1 一 P(X1)=1一 F X (1)=e - F Y (y)=P(Yy)=P(Yy，X1)+P(Yy，X1) =P(Xy，X1)+P(一Xy，X1)+P(一 Xy，X一 1) =P(Xy，0X1)+P(X一 y，X1) 当 y一 1 时，F Y (y)=P(X一 y)=e y ； 当一 1y0 时，F Y (y)=P(X1)=e - ； 当 0y1 时，F Y (y)=P(Xy)+P(X1)=1一 e -y +e - ； 当 y1 时，F Y (y)=P(
26、0X1)+P(X1)=1， 故 F Y (y)= )解析：28.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，独立同分布，且 X i （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X= =X 1 X 4 一 X 2 X 3 ，令 U=X 1 X 4 ，V=X 2 X 3 ，且 U，V 独立同分布 P(U=1)=P(X 1 =1，X 4 =1)=016，P(U=0)=084，X 的可能取值为一 1，0，1 P(X=一 1)=P(U=0，V=1)=P(U=0)P(V=1)=084016=01344， P(X=1)=P(U=1，V=0)=P(U=1)P(V=0)=016084=01344， P(X
27、=0)=1201344=07312，于是 X )解析：29.设随机变量 X，Y 独立同分布，且 P(X=i)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由于 X，Y 相互独立，所以 P(U=1，V=2)=P(U=1，V=3)=P(U=2，V=3)=0 所以(U，V)的联合分布律为 )解析：30.设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y)的联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：
28、(正确答案：(1)f X (X)= - + f(x，y)dy 当 x0 时，f X (x)=0； 当 x0 时，f X (x)= - + f(x，y)dy= 0 + 2e -(x+2y) dy=e -x 0 + e -2y d(2y)=e -x ， 则 f X (x)= f Y (y)= - + f(x，y)dx， 当 y0 时，f Y (y)=0； 当 y0 时，f Y (y)= 0 + 2e -(x+2y) dx=2e -2y 0 + e -x dx=2e -2y ， 则 f Y (y)= (2)因为 f(x，y)=f X (x)f Y (y)，所以随机变量 X，Y 相互独立 (3)F Z
29、 (z)=P(Zz)=P(X+2yz)= f(x，y)dxdy， 当 z0 时，F Z (z)=0； 当 z0 时， )解析：32.设随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.设随机变量 XN(，)，YU一 ，且 X，Y 相互独立，令 Z=X+Y，求 f Z (z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 XN(， 2 )，YU，所以 X，Y 的密度函数为 )解析：34.设随机变量 XU(0，1)，在 X=x(0x1)下，YU(0，x)(1)求 X，Y 的联合密度函数；(2)求 Y 的边缘密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
