1、考研数学一（概率统计）-试卷 12 及答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 （分数：2.00）A.0B.C.D.13.设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，YE(1)，则 P(X+Y1)等于( )（分数：2.00）A.B.1 一 eC.eD.2e4.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P(一 Xa，Yy)，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.1 一 F(一 a，y)B.1 一 F(一 a，y 一 0)
2、C.F(+，y0)一 F(一 a，y 一 0)D.F(+，y)一 F(一 a，y)5.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，1)，YN(1，1)，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 X，Y 为两个随机变量，P(X1，Y1)= ，P(X1)=P(Y1)= ，则 P(min(X，Y)1)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设二维随机变量(X，Y)在区域 D：x 2 +y 2 9a 2 (a0)上服从均匀分布，P=P(X 2 +9Y 2 9a 2 )，则( )（分数：2.
3、00）A.p 的值与 a 无关，且B.p 的值与 a 无关，且C.p 的值随 a 值的增大而增大D.p 的值随 a 值的增大而减少9.设(X，Y)服从二维正态分布，则下列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.X，Y 一定相互独立B.X，Y 的任意线性组合 l 1 X+l 2 Y 服从正态分布C.X，Y 都服从正态分布D.=0 时 X，Y 相互独立二、填空题(总题数：4，分数：8.00)10.设 XP(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(X+Y=2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则 Pmin(X，Y)=0=
4、 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_13.设随机变量 XN(0， 2 )，YN(0，4 2 )，且 P(X1，Y-2)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：30，分数：60.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X 的分布（分数：2.00）_16.设袋中有 5 个球，其中 3 个新球，2
5、个旧球，从中任取 3 个球，用 X 表示 3 个球中的新球个数，求 X的分布律与分布函数（分数：2.00）_17. （分数：2.00）_18. （分数：2.00）_19.有三个盒子，第一个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第二个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第三个盒子有 2 个红球 3 个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3 个球，以 X 表示红球个数(1)写出 X 的分布律；(2)求所取到的红球数不少于 2 个的概率（分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21.设某个系统由六个相同的元件先经过两两串联再并联而成，且各元件工作状态相互独立每个元件正常工作时间服从 E()(0)分布，求系
6、统正常工作时间 T 的概率分布（分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.设 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(一 a)+F(a)与 1 的大小关系（分数：2.00）_24.设 XN(0，1)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数（分数：2.00）_25.设 XU(0，2)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数（分数：2.00）_26.设 X，Y 的概率分布为 （分数：2.00）_27.设起点站上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0p1)，且中途下车与否相互独立，以 Y 表示中途下车人数(1)求在发车时有 n 个
7、乘客的情况下，中途有 m 个乘客下车的概率；(2)求(X，Y)的概率分布（分数：2.00）_28.袋中有 10 个大小相等的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次取 1 个，定义两个随机变量如下： （分数：2.00）_29.设(X，Y)在区域 D：0x1，y=x 内服从均匀分布(1)求随机变量 X 的边缘密度函数；(2)设Z=2X+1，求 D(Z)（分数：2.00）_30.设(X，Y)的联合概率密度为 （分数：2.00）_31. （分数：2.00）_32.设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动求两
8、台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度（分数：2.00）_33.设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，YN(0，1)，求 Z=2X-Y+3 的密度（分数：2.00）_34.设 X 在区间一 2，2上服从均匀分布，令 （分数：2.00）_35.设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为 （分数：2.00）_36.设二维随机变量(X，Y)的联合密度为 （分数：2.00）_37. （分数：2.00）_38.设(X，Y)的联合密度函数为 （分数：2.00）_39.设一设备开机后无故障工作时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间为 5 小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作 2 小
9、时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间 Y 的分布（分数：2.00）_40. （分数：2.00）_41.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，令 U=X 2 +Y 2 求： (1)f U (u)； (2)PUD(U)UE(U)（分数：2.00）_42. （分数：2.00）_43.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X，Y 相互独立，求随机变量 Z=X+Y 的概率密度（分数：2.00）_考研数学一（概率统计）-试卷 12 答案解析(总分：86.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要
10、求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 （分数：2.00）A.0 B.C.D.1解析：解析：由题意得 P(X 1 =一 1，X 2 =一 1)=P(X 1 =一 1，X 2 =1)=P(X 1 =1，X 2 =一 1)=P(X 1 =1，X 2 =1)=0 P(X 1 =一 1，X 2 =0)=P(X 1 =一 1)= ，P(X 1 ，X 2 =0)=P(X 1 =1)= ， P(X 1 =0，X 2 =一 1)=P(X 2 =一 1)= ，P(X 1 =0，X 2 =1)=P(X 2 =1)= 3.设随机变量 X，Y 相互独立，XU(0，2)，YE(1)，则 P(X+Y1)等于( )（
11、分数：2.00）A. B.1 一 eC.eD.2e解析：解析：4.设随机变量(X，Y)的分布函数为 F(x，y)，用它表示概率 P(一 Xa，Yy)，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.1 一 F(一 a，y)B.1 一 F(一 a，y 一 0)C.F(+，y0)一 F(一 a，y 一 0) D.F(+，y)一 F(一 a，y)解析：解析：P(一 Xa，Yy)=P(X一 a，Yy) 因为 P(yy)=P(X一 a，Yy)+P(X一 a，Yy)， 所以 P(X一 a，Yy)=P(Yy)一 P(X一 a，Yy)=F(+，y=0)一 F(一 a 一 0，y0)，选(C)5.设随机变量 X，
12、Y 相互独立，且 XN(0，1)，YN(1，1)，则( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：X，Y 独立，XN(0，1)，YN(1，1)，X+YN(1，2)P(X+Y1)=6.设 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布，则( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：7.设 X，Y 为两个随机变量，P(X1，Y1)= ，P(X1)=P(Y1)= ，则 P(min(X，Y)1)=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：8.设二维随机变量(X，Y)在区域 D：x 2 +y 2 9a 2 (a0)上服从均匀分布，P=P(X 2 +9Y 2 9a 2 )，
13、则( )（分数：2.00）A.p 的值与 a 无关，且B.p 的值与 a 无关，且 C.p 的值随 a 值的增大而增大D.p 的值随 a 值的增大而减少解析：解析：因为(X，Y)在区域 D：x 2 +y 2 9a 2 上服从均匀分布， 9.设(X，Y)服从二维正态分布，则下列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.X，Y 一定相互独立 B.X，Y 的任意线性组合 l 1 X+l 2 Y 服从正态分布C.X，Y 都服从正态分布D.=0 时 X，Y 相互独立解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以(B)，(C)，(D)都是正确的，只有当 =0 时，X，Y 才相互独立，选(A)二、填空题(
14、总题数：4，分数：8.00)10.设 XP(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(X+Y=2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P(X+Y=2)=P(X=0，Y=2)+P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=0)， 由 X，Y 相互独立得 P(X+Y=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=11.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从二项分布 B(n，p)，则 Pmin(X，Y)=0= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(1 一 p) n 一(1 一 p) 2n）解析：解析：
15、令 A=(X=0)，B=(Y=0)，则 Pmin(X，Y)=0=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(X=0)+P(Y=0)一P(X=0，Y=0)=2(1 一 p) n 一(1 一 p) 2n12.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：13.设随机变量 XN(0， 2 )，YN(0，4 2 )，且 P(X1，Y-2)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：30，分数：60.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程
16、或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X 的分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设袋中有 5 个球，其中 3 个新球，2 个旧球，从中任取 3 个球，用 X 表示 3 个球中的新球个数，求 X的分布律与分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的可能取值为 1，2，3， )解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19
17、.有三个盒子，第一个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第二个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第三个盒子有 2 个红球 3 个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3 个球，以 X 表示红球个数(1)写出 X 的分布律；(2)求所取到的红球数不少于 2 个的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设某个系统由六个相同的元件先经过两两串联再并联而成，且各元件工作状态相互独立每个元件正常工作时间服从 E()(0)分布，求系统正常工作时间 T 的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 T i =第 i 个元件的正
18、常工作时间，T i E()，i=1，2，6 F(t)=PTt)，注意Tt表示系统在0，t内一定正常工作 则Tt)=(T 1 t)+T 2 t)(T 3 t)+T 4 t)(T 6 t)+T 6 t)， 又 T 1 ，T 2 ，T 6 相互独立同分布，所以有 F(t)一 PTt=P(T 1 t+T 2 t) 3 而 P(T 1 t)+T 2 t)=1 一 PT 1 t，T 2 t)=1 一 PT 1 tPT 2 t= 所以 T 的分布函数为 )解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，对任意实数 a，讨论 F(一 a)+
19、F(a)与 1 的大小关系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 XN(0，1)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 XU(0，2)，Y=X 2 ，求 Y 的概率密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 X，Y 的概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 P(XY=0)=1，所以 P(X=一 1，Y=1)=P(X=1，Y=1)=0， )解析：27.设起点站上车人数 X 服从参数为 (0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为 p(0p1)，且中途下车与否相互独立
20、，以 Y 表示中途下车人数(1)求在发车时有 n 个乘客的情况下，中途有 m 个乘客下车的概率；(2)求(X，Y)的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A=(发车时有 n 个乘客)，B=(中途有 m 个人下车)，则 )解析：28.袋中有 10 个大小相等的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次取 1 个，定义两个随机变量如下： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(X，Y)的可能取值为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1) )解析：29.设(X，Y)在区域 D：0x1，y=x 内服从均匀分布(1)求随机变量 X 的边缘密度函数；(2
21、)设Z=2X+1，求 D(Z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设(X，Y)的联合概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 X，Y 分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的时间，则 T=X+Y， )解析：33.设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，YN(0，1)，求 Z=2X
22、-Y+3 的密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X，Y 相互独立且都服从正态分布，所以 X，Y 的线性组合仍服从正态分布，即 Z=2XY+3 服从正态分布，由 E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=5，D(Z)=4D(X)+D(Y)=9， 则 Z 的密度函数为 )解析：34.设 X 在区间一 2，2上服从均匀分布，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：35.设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 P(Y=1)=06， )解析：36.设二维随机变量(X，Y)的联合密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )
23、解析：37. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：38.设(X，Y)的联合密度函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：39.设一设备开机后无故障工作时间 X 服从指数分布，平均无故障工作时间为 5 小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作 2 小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间 Y 的分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：40. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：41.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，令 U=X 2 +Y 2 求： (1)f U (u)； (2)PUD(U)UE(U)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以(X，Y)的联合密度函数为)解析：42. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：43.设随机变量 XU(0，1)，YE(1)，且 X，Y 相互独立，求随机变量 Z=X+Y 的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
